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广东省深圳市高级中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题(理)


高级中学 2014—2015 学年第二学期期末测试

高一理科数学
命题人:雷蕾 辛彦瑶 审题人:高书洪 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-12 题,共 60 分, 第Ⅱ卷为 13-22 题,共 90 分.全卷共计 150 分.考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(本卷共 60 分)
一、 选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A= ?x | ( x ?1)(4 ? x) ? 0? ,集合 B= ? y | y ? 2sin3x? ,则 A ? B= ( A (-1 , 2 )

?

B(2,4)

C

?

-2 , -1 )

D

?

-2 , 2

?
( )

答案 C 2.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 A. f ( x) ? 3 ? x B. f ( x) ? x ? 3x
2

x C . f ( x) ? x ?1

D. f ( x) ? ? log2 x ( )

答案:C 3.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A.12+4 2 C.28 答案 D

B.18+8 2 D.20+8 2

4.在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状是 A.等边三角形 答案 B B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

(

).

5.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ...

)

答案:D 6. 已知数列 ?an ? 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2 a7 的等差中项 为

5 ,则 S5 ? 4
B.33 C.3l D.29

A.35 答案 C

7.在空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点,则 MN 与 A.AC,BD 之一垂直 C.AC,BD 都不垂直 答案 B ( )

B.AC,BD 都垂直 D.AC,BD 不一定垂直

?x ? 0 2 ? 8.设变量 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 ? x ? y ? 的最大值是 ?y ? 1 ?
A 9 B 3 C 2 D 1 答案 A 9.设 l 为直线, ?、? 两个不同的平面.下列命题中正确的是 A.若 l∥α,l∥β ,则 α∥β C.若 l⊥α,l∥β ,则 α∥β 答案 B B.若 l ?





(

)

? ,l⊥β ,则 α∥β

D.若 ? ⊥β,l∥ ? ,则 l⊥β

10. 两圆相交于两点 A(1, 3) 和 B(m, n) , 且两圆圆心都在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, 则 m ? n 的值 是 A. 1 答案 D B. 2 C. 3 D. 4 ( )

11.当点 P 在圆 x2+y2=1 上变动时,它与定点 Q(3,0)的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是 ( A.(x+3)2+y2=4 C.(2x-3)2+4y2=1 答案 C 12.已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积” ,且 a ? b 是一个向量,它的 长度 a ? b ? a b sin ? ,若 u ? (2,0) , u ? v ? (1, ? 3) ,则 u ? (u ? v) ? B.(x-3)2+y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 )

r

r r





A. 4 3
答案 D

B.

3

C. 6

D. 2 3

第Ⅱ卷(本卷共计 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
b 13.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a,则 = a ____________. 答案: 2 14. 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 的 和 为 Sn , 若 a1 ? 24, S17 ? S10 . 则 Sn 取 最 大 值 时 n 的 值 为 _____________. 答案 13 或 14 15.已知正方体的棱长为 a,该正方体的外接球的半径为 3 ,则 a=________. 答案 2 16.曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个交点,则实数 k 的取值范围是 _______________.

答案 ?

? 5 3? ,? ? 12 4 ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤)
17.(本题满分 10 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(2sin B,
2B ? - 3),n=? ?cos 2B,2cos 2 -1?且 m∥n.

(1)求锐角 B 的大小;

(2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值.
2B ? 解 (1)∵m∥n,∴2sin B? ?2cos 2 -1?=- 3cos 2B,

∴sin 2B=- 3cos 2B,即 tan 2B=- 3. 2π π 又 B 为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B= ,∴B= 3 3 a2+c2-b2 π (2)∵B= ,b=2,由余弦定理 cos B= , 3 2ac 得 a2+c2-ac-4=0.又 a2+c2≥2ac,代入上式, 得 ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立). 1 3 S△ABC= acsin B= ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立),即 S△ABC 的最大值为 3.??10 2 4 分 18.(本题满分 12 分)如图,正四面体 S ? ABC 中,其棱长为 2. (1)求该几何体的体积; (2)已知 M , N 分别是棱 AB 和 SC 的中点.求直线 BN 和直线 SM 所成的角的余弦值. 解: (1) 取三角形 ABC 的中心 O ,连接 SO, 由正四面体的性质知 SO = SM ? OM ?
2 2

????5 分

S N C M A B

S

2 6 ,SO 为正四面体的高 3

S?ABC ? 3 1 2 2 V ? S?ABC ?SO ? 3 3
??6 分

N B E O A M

(2) 连接 MC ,取 MC 中点 E ,连接 BE , C NE , BN ,则 NE 平行于 SB. 则直线 BN 和直线 NE 所成的角即为直线 BN 和直线 SM 所成的角.

BN = 3 , NE =

7 3 2 2 , BE = EM ? MB ? 2 2

cos ?BNE ?

BN 2 ? NE 2 ? BE 2 2 ? 2 BN ?NE 3

?该几何体的体积

2 2 2 ,直线和直线所成的角的余弦值为 . ??12 分 3 3

19.(本题满分 12 分)已知直线 l :y=k(x+2 2 )与圆 O: x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,O 是坐 标原点,三角形 ABO 的面积为 S. (1)试将 S 表示成 k 的函数 S(k),并求出它的定义域; (2)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值. 解::如图, (1)直线 l 议程 kx ? y ? 2 2k ? 0(k ? 0), 原点 O 到 l 的距离为 oc ?

2 2k 1? k 2
2

8K 2 弦长 AB ? 2 OA ? OC ? 2 4 ? 1? K 2
2

△ ABO 面积

S?

4 2 K 2 (1 ? K 2 ) 1 ? AB ? 0,? ?1 ? K ? 1(K ? 0), AB OC ? 2 1? K 2 4 2 k 2 (1 ? k 2 ) 1? k 2 (?1 ? k ? 1且K ? 0?
??6 分

? S (k ) ?

(2) 令

1 1 ? t , ? t ? 1, 2 1? k 2

? S (k ) ?

4 2 k 2 (1 ? k 2 ) 1? k
2

3 1 ? 4 2 ? 2t 2 ? 3t ? 1 ? 4 2 ? 2(t ? ) 2 ? . 4 8
S max ? 2
??12 分

3 1 3 1 3 ? ,k2 ? ,k ? ? 时, ? 当 t= 时, 2 4 4 3 3 1? k

20. (本题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,平面 A 1BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且

AA1 ? AB ? 2 (1) 求证: AB ? BC ;
(2) 若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为

? ,求锐二面角 A ? AC ? B 的大小. 1 6
A1 B1 C1

A B

C

解: (1)证明:

D ,连接 AD , 如右图,取 A 1B 的中点
因 AA 1 ? AB ,则 AD ? A 1B 由平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1, 且平面 A 1BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ? A 1B ,

A
1

C1 E B1

D A B C

BC ? 平面 A1BC , 得 AD ? 平面A 1BC ,又
所以 AD ? BC . 因为三棱柱 ABC —A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA 1 ? 底面ABC , 所以 AA1 ? BC . 又 AA 1 ? AD=A ,从而 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,

AB ? BC . 又 AB ? 侧面 A 1 ABB 1 ,故

………………6 分

(2)连接 CD ,由(1)可知 AD ? 平面A 1BC ,则 CD 是 AC 在 平面A 1 BC 内的射影 ∴ ?ACD 即为直线 AC 与 平面A1BC 所成的角,则 ?ACD =

?
6

D 是 A1B 中点 在等腰直角 ?A1 AB 中, AA 1 ? AB ? 2 ,且点
∴ AD ?

1 ? ? A1 B ? 2 ,且 ?ADC = , ?ACD = 2 2 6

AC ? 2 2
E ,连 DE 过点 A 作 AE ? AC 1 于点
由(1)知 AD ? 平面A1BC ,则 AD ? AC 1 ,且 AE ? AD ? A ∴ ? AED 即为二面角 A ? AC 1 ? B 的一个平面角

且直角 ?A1 AC 中: AE ?

A1 A?AC 2 ? 2 2 2 6 ? ? AC 3 2 3 1

又 AD= 2 , ?ADE =

?
2



sin ?AED=

AD 2 3 ,且二面角 A ? AC ? ? 1 ? B 为锐二面角 AE 2 6 2 3

∴ ?AED =

?
3

,即二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为

? 3

????12 分

21. (本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 设 an 是 Sn 与 2 的等差中项, 数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 ,点 P(bn , bn?1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. (1) 求 an , bn ; (2) 若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Bn ,比较 (3) 令 Tn ?

1 1 1 与 2 的大小; ? ?? ? B1 B2 Bn

b b1 b2 是否存在正整数 M, 使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立? ? ?? ? n , a1 a2 an

若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由。 解: (1)由题意得 2an ? Sn ? 2 ,即 2a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? 2 ,所以 a1 ? 2 因为 Sn ? 2an ? 2, Sn?1 ? 2an?1 ? 2 ,所以 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2(an?1 ? an ) ,即 an?1 ? 2an , 所以数列 ?an ? 是以 2 为公比、首项 a1 ? 2 的等比数列,即 an ? 2 是以 2 为公差、首项 b1 ? 1 的等差数列,即 bn ? 2n ?1? n ? N *? (2) Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n2 ,所以
n

? n ? N *?
??4 分

因为点 P(bn , bn?1 ) 在直线 y ? x ? 2 上, 所以 bn?1 ? bn ? 2 , 即 bn?1 ? bn ? 2 , 所以数列 ?bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ??? B1 B2 Bn 1 2 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? ? 2 2 2 3 n?1 n n b b b 1 3 5 2n ? 1 (3)因为 Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? 2 ? 3 ? ? ? a1 a2 an 2 2 2 2n
所以 Tn ?

??8 分



1 2

1 3 2n ? 1 ? 3 ? ? ? n ?1 2 2 2 2



1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 1 1 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2 ①-②得 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 ? ? 2 ? 4 ? n ?1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2

所以 Tn ? 3 ?

1 2
n?2

?

2n ? 1 ?3 2n
????12 分

T1 ?

1 ?1 ? , Tn 单调递增,所以 Tn ? ? ,3 ? 2 ?2 ?

22. (本题满分 12 分) .已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a, b ? R) ,g ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 16 , 且 | f ( x) |?| g ( x) | 对 x ? R 恒成立. (1)求 a、b 的值;
1 1 (2)记 h(x) ? ? f (x) ? 4 ,那么当 k ? 时,是否存在区间 [ m, n] ( m ? n ) ,使得函数 h( x) 2 2 在区间 [ m, n] 上的值域恰好为 [km, kn] ?若存在,请求出区间 [ m, n] ;若不存在,请说明理由.

解: (1) g ( x) ? 2( x2 ? 2 x ? 8) ? 2( x ? 4)( x ? 2), g ( x) ? 0时,x ? 2或4 因为 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 f (?2) ? 0, f (4) ? 0 ,所以 f (?2) ? f (4) ? 0 所以 f ( x) ? ( x ? 4)( x ? 2) ? x2 ? 2 x ? 8 ,经检验,满足题意; (2) h( x) ? ? ????4 分

1 1 1 1 f ( x) ? 4 ? ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? ,对称轴为 x ? 1 , 2 2 2 2

1 1? 1? ? ? x ? R 时 h( x) 的值域为 ? ??, ? ,所以 ? m, n? ? ? ??, ? ,所以 n ? ,所以 n ? 1 2 2? 2? ? ?

1 h( x) max ? h(n) ? ? n 2 ? n ? kn 2 所以 1 h( x) min ? h(m) ? ? m 2 ? m ? km 2
所以 n = 0或2(1 ? k ),m= 0或2(1 ? k ) ,因为 n ? m ,所以

1 ? k ? 1时,存在,n = 2(1 ? k ), m ? 0; 2 k ? 1时,存在,n ? 0, m = 2(1 ? k ); k ? 1时,不存在.

????12 分


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