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2014年(广东卷)数学(文科)


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试卷类型:A 2 0 1 4 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试( 广 东 卷 ) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用 时 120 分钟。 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B

)填涂在答题卡相应 位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 sh ,其中 s 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3 1 2 2 2 2 一组数据 x1 , x2 ,L , xn 的方差 s ? [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? L ? ( xn ? x ) ], n

其中 x 表示这组数据的平均数. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? ?2,3, 4? , N ? ?0, 2,3,5? ,则 M I N ?

A.?0, 2?

B.?2,3?

C.?3, 4?

D.?3,5?

2. 已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ?

A. ? 3 ? 4i B. ? 3 ? 4i r r r r 3. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (3,1) ,则 b ? a ?
A.(?2,1) B.(2, ?1)

C.3 ? 4i

D.3 ? 4i

C.(2,0)

D.(4,3)

?x ? 2 y ? 8 ? 4. 若变量 x , y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值等于 ?0 ? y ? 3 ?
A.7
5. 下列函数为奇函数的是

B.8
1 2x

C.10

D .11

A .2 x ?

B.x 2 sin x

C.2 cos x ? 1

x D. x2 ? 2

6. 为了了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本, 则分段的间隔为

A .50

B.40

C.25

D .20

“a ? b” “sin A ? sin B” 7. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的变分别为 a, b, c ,则 是 的

A . 充分必要条件 C. 必要非充分条件

B. 充分非必要条件 D. 非充分非必要条件

x2 y2 x2 ? k y 2 ? ? 1 与曲线 ? ?1的 8. 若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线 16 5 ? k 16 5
A . 实半轴长相等 C. 离心率相等 B. 虚半轴长相等 D. 焦距相等

9. 若空间中四条两两不相同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 / /l3 , l3 ? l4 ,则下列 结论一定正确的是

A . l1 ? l4 C. l1 与 l4 既不平行也不垂直
10.

B. l1 / / l4 D. l1与l4 位置关系不确定

对任意复数 w1 , w2 ,定义 w1 ? w2 ? w1 w2 ,其中 w2 是 w2 的共轭复数,对任意复数

z1 , z2 , z3 ,有如下四个命题:
① ? z1 ? z2 ? ? z3 ? ? z1 ? z3 ? ? ? z2 ? z3 ? ③ ? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? 则真命题的个数是 ② z1 ? ? z2 ? z3 ? ? ? z1 ? z2 ? ? ? z1 ? z3 ? ④ z1 ? z2 ? z2 ? z1

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 曲线 y ? ?5e x ? 3 在点 (0, ?2) 处的切线方程为 . .
2

12. 从字母 a , b, c, d , e 中任取两个不同的字母,则取到字母 a 的概率为 13. 等比数列 ?an ? 的各项均为正数且 a1a5 ? 4 ,则 log 2 a log 1 ? = .
2

a log 2 ?

a ? 3 log

2

a ? 4 log

2

5

a

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为

2? cos2 ? ? sin ? 与 ? cos? ? 1 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,
建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 的交点的直角坐标为 15. (几何证明选讲选做题)如图 1,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB ? 2AE , AC 与 DE 交于点 F ,则 .

?CDF的周长 = ?AEF的周长

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f ( ?? ) ? 3, ? ? (0,

?
3

), x ? R, f (

5? 3 2 )? . 12 2

?

), ,求 f ( ? ? ) . 2 6

?

17. (本小题满分 13 分) 某车间 20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 19 28 29 30 31 32 40 合计 (1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2)以这十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差. 18. (本小题满分 13 分) 如图 2,四边形 ABCD 为矩形, PD ⊥平面 ABCD , AB ? 1, BC ? PC ? 2 ,作如图 3 折 叠, 折痕 EF ∥ DC , 其中点 E , F 分别在线段 PD, PC 上, 沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上 工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

的点记为 M ,并且 MF ⊥ CF . (1)证明: CF ⊥平面 MDF ; (2)求三棱锥 M ? CDE 的体积. A B A M B

C E 19. (本小题满分 14 分) P F

D E P

C F

D

设各项为正数的数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,且 Sn 满足.

Sn 2 ? (n2 ? n ? 3)Sn ? 3(n2 ? n) ? 0, n ? N *
(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1 ( a1 ? 1) a2 ( a2 ? 1) ? 1 1 ? an (an ? 1) 3

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的一个焦点为 a2 b2

?

5,0 ,离心率为

?

5 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? 1(a ? R) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 3

? 1? (2)当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? ? 0, ? ? 2?

1 ?1 ? ? ,1? ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) . 2 ?2 ?

2014 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 广 东 卷 )

数学(文科)参考答案:
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C 7. A 8. D 9. D 10. B

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 5 x ? y ? 2 ? 0 12.

2 5

13. 5

14. (1, 2)

15. 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.

解 : (1) f (

5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. 12 12 3 4 2 2

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 3 ? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin( ?? ? ) 3 3 ? 3(sin ? cos ? 6sin ? cos ? 3sin ? ? 3 ? sin ? ? 3 ? 6 , ? ? (0, ),? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 3 2 3

?

?

?

?

? cos ? sin ) ? 3(sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 3 3 3 3

?

?

?

?
3

? ? ? ? 6 ? f ( ? ? ) ? 3sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) ? 3cos ? ? 3 ? ? 6 6 6 3 2 3

17.

解 : (1)这20名工人年龄的众数为30, 极差为40 ? 19 ? 21.
(2)茎叶图如下: 1 9

2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0

? 3? 年龄的平均数为 :

(19 ? 28 ? 3 ? 29? 3 ? 30? 5 ? 31? 4? 32? 3? 40) ? 30 , 20 1 故这20名工人年龄的方差为 : ? (?11) 2 ? 3 ? (?2) 2 ? 3 ? (?1) 2 ? 5 ? 0 2 ? 4 ?12 ? 3 ? 2 2 ? 10 2 ? ? ? 20 1 ? (121 ? 12 ? 3 ? 4 ? 12 ? 100) 20 1 ? ? 252 20 ? 12.6

18.

解 : (1)证明 : PD ? 平面ABCD, PD ? PCD,? 平面PCD ? 平面ABCD, 平面PCD 平面ABCD ? CD, MD ? 平面ABCD, MD ? CD, ? MD ? 平面PCD, CF ? 平面PCD,? CF ? MD, 又CF ? MF , MD, MF ? 平面MDF , MD ? CF ? 平面MDF . 1 1 (2) CF ? 平面MDF ,? CF ? DF , 又易知?PCD ? 600 ,??CDF ? 300 , 从而CF = CD = , 2 2 1 DE CF DE 2 3 3 3 1 3 EF∥DC ,? ? ,即 = ,? DE ? ,? PE ? , S ?CDE ? CD ? DE ? , DP CP 4 4 2 8 3 2 MD ? ME 2 ? DE 2 ? PE 2 ? DE 2 ? ( 3 3 2 3 6 ) ? ( )2 ? , 4 4 2 MF ? M ,

1 1 3 6 2 ?VM ?CDE ? S ?CDE ? MD ? ? ? ? . 3 3 8 2 16

19.

解 : (1)令n ? 1得 : S12 ? (?1) S1 ? 3 ? 2 ? 0, 即S12 ? S1 ? 6 ? 0,? ( S1 ? 3)( S1 ? 2) ? 0, S1 ? 0,? S1 ? 2, 即a1 ? 2.
2 2 (2)由S n ? (n 2 ? n ? 3) S n ? 3(n 2 ? n) ? 0, 得 : ( S n ? 3) ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ? 0,

an ? 0(n ? N ? ),? S n ? 0, 从而S n ? 3 ? 0,? S n ? n 2 ? n,
2 ?当n ? 2时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? ? ?(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 2n,

又a1 ? 2 ? 2 ?1,? an ? 2n(n ? N ? ). (3)当k ? N ?时, k 2 ? k k 3 1 3 ? k 2 ? ? ? (k ? )(k ? ), 2 2 16 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ak (ak ? 1) 2k (2k ? 1) 4 k (k ? 1 ) 4 (k ? 1 )(k ? 3 ) 2 4 4 ? ? ? 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ?? ? 1 1? 1 ? 1? 4 ? 4 k? (k ? 1) ? ? (k ? ) ? ?(k ? 1) ? ? ? 4 4? 4 ? 4? ? 1 1 ? ? a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) ? 1 an (an ? 1)

? ? ? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? ? ? 1 1 1 1? 4 ? 1? 1 2 ? 1 2? 3? n? ( n ? 1) ? ? ? 4 4 4 4 4 4? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? . 4 1 ? 1 (n ? 1) ? 1 3 4n ? 3 3 4 4

20.

解 : (1)c ? 5, e ?

c 5 5 ? ? ,? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 5 ? 4, a a 3 x2 y 2 ? 椭圆C的标准方程为: ? ? 1. 9 4 (2)若一切线垂直x轴, 则另一切线垂直于y轴, 则这样的点P共4个, 它们的坐标分别为(?3, ?2), (3, ?2). 若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y ? y0 ? k ( x ? x0 ), x2 y 2 ? ? 1 中并整理得: 9 4 2 (9k 2 ? 4) x 2 ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? ? 0, 依题意, ? ? 0, 即y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , 将之代入椭圆方程
2 2 2 2 即:(18k ) 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 36 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? (9k ? 4) ? 0, 即4( y0 ? kx0 ) ? 4(9k ? 4) ? 0,

? ( x0 2 ? 9)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 2 ? 4 ? 0, Q 两切线相互垂直,? k1k2 ? ?1, 即 : ? x0 2 ? y0 2 ? 13, 显然(?3, ?2), (3, ?2)这四点也满足以上方程, ?点P的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 13 .
21.

y0 2 ? 4 ? ?1, x0 2 ? 9

解 : (1) f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? a, 方程x 2 ? 2 x ? a ? 0的判别式 : ? ? 4 ? 4a, ?当a ? 1时, ? ? 0,? f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)在(??, ??)上为增函数. 当a ? 1时, 方程x 2 ? 2 x ? a ? 0的两根为 ? 1 ? 1 ? a , 当x ? (??, ?1 ? 1 ? a )时, f ' ( x) ? 0,? 此时f ( x)为增函数, 当x ? (?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a )时, f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)为减函数, 当x ? (?1 ? 1 ? a , ??)时, f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)为增函数, 综上, a ? 1时, f ( x)在( ??, ??)上为增函数, 当a ? 1时, f ( x)的单调递增区间为( ??, ?1 ? 1 ? a ), ( ?1 ? 1 ? a , ??), f ( x)的单调递减区间为(?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ).

1 1 1 1 ?1 1 ? (2) f ( x0 ) ? f ( ) ? x03 ? x0 2 ? ax0 ? 1 ? ? ( )3 ? ( ) 2 ? a( ) ? 1? 2 3 2 2 ?3 2 ? 1? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? x03 ? ( )3 ? ? ? x0 2 ? ( ) 2 ? ? a( x0 ? ) 3? 2 ? ? 2 ? 2 x 1 ? 1? 1 1 1 1 ? ?( x0 ? )( x0 2 ? 0 ? ) ? ? ( x0 ? )( x0 ? ) ? a( x0 ? ) 3? 2 2 4 ? 2 2 2 1 x2 x 1 1 ? ( x0 ? )( 0 ? 0 ? ? x0 ? ? a ) 2 3 6 12 2 1 1 ? ( x0 ? )(4 x0 2 ? 14 x0 ? 7 ? 12a ) 12 2 1 1 1 ? 若存在x0 ? (0, ) ( ,1), 使得f ( x0 ) ? f ( ), 2 2 2 1 1 2 必须4 x0 ? 14 x0 ? 7 ? 12a ? 0在(0, ) ( ,1)上有解. 2 2 2 a ? 0,?? ? 14 ? 16(7 ? 12a ) ? 4(21 ? 48a) ? 0, 方程的两根为 : 依题意, 0 ? ?14 ? 2 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ? , x0 ? 0,? x0只能是 , 8 4 4

?7+ 21 ? 48a 25 7 ? 1, 即7 ? 21 ? 48a ? 11,? 49 ? 21 ? 48a ? 121, 即 ? ?a?? , 4 12 12 ?7+ 21 ? 48a 1 5 5 又由 = , 得a ? ? , 故欲使满足题意的x0 存在, 则a ? ? , 4 2 4 4 25 5 5 7 1 1 1 ?当a ? (? , ? ) (? , ? )时, 存在唯一的x0 ? (0, ) ( ,1)满足f ( x0 ) ? f ( ). 12 4 4 12 2 2 2 25 7 5 1 1 1 ? ? 当a ? (??, ? ] [? , 0) ?? ? 时, 不存在x0 ? (0, ) ( ,1)使 f ( x0 ) ? f ( ). 12 12 2 2 2 ? 4?


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