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初高中衔接第4讲:二元二次方程组


第四讲

二元二次方程组

一、什么是二元二次方程组? 方程 x2 ? 2xy ? y 2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数,并且项的最高次数是 2 的整式方 2 程,这样的方程叫做二元二次方程.其中 x , 2xy , y 2 叫做这个方程的二次项,x , y 叫做一次项,
6 叫做常数项. 看下面的两个方程组:

? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, (1) ? ? 2 x ? y ? 1 ? 0;

? x 2 ? y 2 ? 20, ? (2) ? 2 2 ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0. ?

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的, 第二个方程组是由两个二 元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组.

二、主要研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法.
【例 1】解方程组

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

?4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 ?4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 【例 2】 (1)判断方程组 ? 解的情况; (2)变: ? ?kx ? y ? 1 ? 0 ?kx ? y ? 1 ? 0

【例 3】解方程组 ?

?x ? y ? 11 ? xy ? 28

三、由两个二元二次方程组成的方程组:
?x 2 - y 2 ? 5( x ? y ) ? 【例 4】解方程组: ? 2 ? x ? xy ? y 2 ? 43 ?

【例 5】解方程组: ?

?xy ? x ? 3 ?3xy ? y ? 8

【例 6】解方程组: ?

2 ? 2 ?x - 3xy - 4 y ? 0 2 ? 2 ? x ? 4 xy ? 4 y ? 1


解下列方程组: (1)


(2) ?

? y ? x ? 5, ? 2 2 ? x ? y ? 625;

? x ? y ? 3, ? xy ? ?10;

(3)

? x2 y 2 ? 1, ? ? 4 ?5 ? y ? x ? 3; ?

(4) ?

? y 2 ? 2x , ? 2 2 ? x ? y ? 8. ?

(5) ?

? 2 2 ?x - y ? 1 2 ? ?( x - y ) - 2( x - y ) - 3 ? 0

(6) ?

2 ? 2 ?x ? 2xy ? y - 4 ? 0 2 ? 2 ? x - 2 xy ? y - 1 ? 0

(7) ?

?3x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 0 ? ?( x ? y ) 2 ? 3( x ? y ) ? 18 ? 0 ?

(8) ?

?x 2 ? y 2 ? 4 ? ? xy - y 2 ? 4 ? 0 ?


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