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2014广东各地一模数学理科数学(2)


中山市高三级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试 数学试卷(理科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答 题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 1 ? i ,则 z1 ? z2 在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.设全集 U 是实数集 R, M ? x x ? 2或x ? ?2 , N ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 则图中阴影部分所表示的集合是 ( A. {x | ?2 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} ) B. {x | ?2 ? x ? 2} D. {x | x ? 2}
(第 2 题图)

) D.第四象限

?

?

?

?

3.已知平面向量 a ? ? 2 , 1? , b ? ? x, ? 2? ,若 a ∥ b , 则 a + b 等于( A. ? ?2, ?1? B. ? 2,1? C. ? 3, ?1? D. ? ?3,1?
(第 4 题图)

)

5? ?1? 4. 定义某种运算 S ? a ? b , 运算原理如上图所示, 则式子 (2 tan ) ? ln e ? lg100? ? ? 4 ? 3?

?1

的值为( ) A.4 B .8 C.11 D.13 5.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 CBD ,形成三 棱锥 C ? ABD 的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为 ( )
高三数学(理科) 第 1 页(共 4 页)

A.

1 2

B.

1 4

C.

2 4

D.

2 2

6.下列四个命题中,正确的有 ①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
2 ②命题 p :“ ?x0 ? R , x0 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定 ? p :“ ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;

③用相关指数 R 来刻画回归效果,若 R 越大,则说明模型的拟合效果越好; ④若 a ? 0.3 , b ? 2 , c ? log0.3 2 ,则 c ? a ? b .
2 0.3

2

2

A.①③④

B.①④

C.③④

D.②③

7.对 ? a 、 b ? R ,运算“ ? ”、“ ? ”定义为: a ? b = ? 则下列各式其中不恒成立的是( ⑴ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑶ [a ? b] ?[a ? b] ? a ? b A.⑴、⑶ C.⑴、⑵、⑶ )

? a, ( a ? b) ? a, ( a ? b) ,a ?b= ? , b .( a ? b ) b .( a ? b ) ? ?

⑵ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑷ [a ? b] ?[a ? b] ? a ? b B. ⑵、⑷ D.⑴、⑵、⑶、⑷

8. 已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,且 x ?[ ?1,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 , 则当 x ? [ ? 10 , 10 ] 时, y ? f ( x) 与 g ( x) ? log4 x 的图象的交点个数为( A.13 B.12 C.11 D.10 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.已知函数 f ( x) ? ? )

?log3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0

.

10.如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向 区域内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内 (含边界)的黄豆数为 375 颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面 积为 11.在二项式 ? x 2 ? 平方米.(用分数作答)

? ?

1? 4 ? 的展开式中,含 x 的项的系数是 x?
高三数学(理科) 第 2 页(共 4 页)

5



12.已知 0 ? ? ?

?
2

, cos( ? ?

?
6

)?

3 ,则 cos? ? 5

.

13.已知数列 {an } 为等差数列,若 a2 ? 3 , a1 ? a6 ? 12 , 则 a7 ? a8 ? a9 ? .

14.如图, AB / / MN ,且 2OA ? OM ,若 OP ? xOA ? yOB , (其中 x, y ? R ) ,则终点 P 落在阴影部分(含边界) 时,

y? x?2 的取值范围是 x ?1

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 设平面向量 a ? (cosx, sin x) , b ? (

3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1. 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ) 的值. ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? 5 6 3 3

16. (本题满分 12 分) 某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽 出 80 名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布 直方图如图所示. (Ⅰ)估计这次测试数学成绩的平均分和众数; (Ⅱ)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都 不相同,且都超过 94 分.若将频率视为概率,现用 简单随机抽样的方法,从 95,96,97,98,99,100 这 6 个数中任意抽取 2 个数,有放回 地抽取了 3 次,记这 3 次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为 ? ,求 ? 的分布列 及数学期望 E? .

高三数学(理科)

第 3 页(共 4 页)

17. (本小题满分 14 分) 如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,

P E A D

PA ⊥平面 ABCD , PA ? AB ? 2 , BC ? 4 .

E 是 PD 的中点,
(Ⅰ)求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 18. (本小题满分 14 分) 数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ? B

C

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) . 2 2

(Ⅰ)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若 cn ?

bn 5 ,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,证明: Tn ? . 1 ? bn 3

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? kx ,. (Ⅰ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: n ln F (1) ? ln F (2) ? ? ln F (n) ? ln(e n ?1 ? 2)(n ? N ? ) 2 20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a) , g ( x) ? ? x ? (a ?1) x ? a (其中 a 为常数) ;
2 2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? ( ?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实 数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ? 1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求 实数 a 的取值范围.

a 3

高三数学(理科)

第 4 页(共 4 页)

中山市高三级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试

理科数学参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. DAAD BCBC 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.

1 ; 4

10.

8 3

11. 10 ;

12.

4?3 3 ; 10

13. 45;

14. [ , 4]

4 3

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 设平面向量 a ? (cosx, sin x) , b ? (

3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1。 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ) 的值. ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? 5 6 3 3

15.解: 依题意 f ( x) ? (cosx, sin x) ? (

3 1 3 1 , ) ?1 ? cos x ? sin x ? 1 ………(2 分) 2 2 2 2

? s i nx (?

?
3

) ? ……………………………………………… 1 (4 分)

(Ⅰ) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2? ;………………………………………………(5 分) 令?

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , 解得 ?

5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) .……………………(8 分) 6 6 ? 9 ? 4 (Ⅱ)由 f (? ) ? sin(? ? ) ? 1 ? , 得 sin(? ? ) ? , 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? 3 , 所以 ? ? ? ? ? , 得 cos(? ? ) ? ? ,……………………… 因为 ? ? ? (10 分) 6 3 2 3 3 5 2? ? ? ? 4 3 24 sin(2? + ) ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ?2 ? ? ?? 3 3 3 3 5 5 25
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [? ……………………………………………………………………(12 分)
高三数学(理科)答案 第 1 页(共 9 页)

5? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? ……………… (7 分) 6 6

16.(本题满分 12 分) 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生,其数学成绩(均为整数) 的频率分布直方图如图所示. (I)估计这次测试数学成绩的平均分; (II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩 都不相同,且都超过 94 分.若将频率视为概率, 现用简单随机抽样的方法,从 95,96,97,98, 99,100 这 6 个数中任意抽取 2 个数,有放回地 抽取了 3 次,记这 3 次抽取中,恰好是两个学生 的数学成绩的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? . 16. 解: (I)利用中值估算抽样学生的平均分: 45× 0.05+55× 0.15+65× 0.2+75× 0.3+85× 0.25+95× 0.05 =72. 众数的估计值为 75 分 所以, 估计这次考试的平均分是 72 分. …………… (3 分) …………… (5 分) ……………(6 分)

(注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分)
2 (II)从 95, 96,97,98,99,100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果数是 C6 ? 15 ,

有 15 种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是 0.005× 10× 80=4(人) ,
2 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是 C4 ?6,

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 P ?

6 2 ? . 15 5

…………… (8 分)

随机变量 ? 的可能取值为 0、1、2、3,则有.
k ∴ P(? ? k ) ? C3 ( )k ( )3?k , k ? 0,1,2,3

2 5

3 5

∴变量 ? 的分布列为:
?

0

1

2

3

P

8 125

36 125

54 125

27 125
…………(10 分)

E? ? 0 ?

8 36 54 54 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

…………(12 分)

解法二. 随机变量 ? 满足独立重复试验,所以为二项分布, 即 ? ~ B(3, ) ………(10 分)

2 5

2 6 E? ? np ? 3 ? ? 5 5

…………(12 分)

高三数学(理科)答案

第 2 页(共 9 页)

17. (本小题满分 14 分) 如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,

P E A D

PA ⊥平面 ABCD , PA ? AB ? 2 , BC ? 4 . E 是 PD 的中点,
(Ⅰ)求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 B C 17.解法一: (Ⅰ)? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABC ,

? PA ? CD . --------------------------------------------------------------------------------(2 分)

? ABCD是矩形 , 而 PA ? AD ? A , ? CD ? 平面PAD .
CD ? 平面PDC

? AD ? CD .

PA, AD ? 平面 PAD
………………………(4 分)

?平面PDC ? 平面PAD .
∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ EO ? 平面 ABCD .

………………………(5 分)

(Ⅱ)连结 AC 、 EC ,取 AD 中点O , 连结 EO , 则 EO // PA , 过 O 作 OF ? AC 交 AC 于 F ,连结 EF , 则 ?EFO 就是二面角 E ? AC ? D 所成平面角. 由 PA ? 2 ,则 EO ? 1 . 在 Rt ?ADC 中, AD ? CD ? AC ? h 解得 h ? ……………………… (7 分)

4 5 . 5
………………………(8 分)

因为 O 是 AD 的中点,所以 OF ?

2 5 . 5 3 5 . 5

而 EO ? 1 ,由勾股定理可得 EO ?

………………………(9 分)

2 5 OF 2 cos ?EFO ? ? 5 ? . EF 3 3 5 5

……………………… (10 分)

(Ⅲ)延长 AE ,过 D 作 DG 垂直 AE 于 G ,连结 CG ,

? AE ,∴ AE ⊥平面 CDG , 过 D 作 DH 垂直 CG 于 H , 则 AE ? DH ,
又∵ CD
高三数学(理科)答案 第 3 页(共 9 页)

? 平面 AGC , 即 DH ? 平面 AEC , 所以 CD 在平面 ACE 内的射影是 CH , ?DCH 是直线与平面所成的角.
所以 DH ……………………… (12 分)

? DG ? AD ? sin ?DAG ? AD ? sin ?OAE ? AD ? 16 ? 5 6 5 ?4? CD ? 2 ? CG ? . 25 5

OE 1 4 5 ? 4? ? . AE 5 5
P E A O F C H G D

4 5 DG 2 ? sin ?DCG ? ? 5 ? .……………(14 分) CG 6 5 3 5
B

解法二:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建 立空间直角坐标系,则 A (0,0,0) ,

B (2,0,0),

C (2,4,0) ,

D (0,4,0) ,

E (0,2,1) ,

P (0,0,2) .

……………………(2 分)

∴ AB =(2,0,0) ,

AD =(0,4,0) ,

AP =(0,0,2) ,
z P

CD =(-2,0,0) ,
……………………(3 分)

AE =(0,2,1) ,

AC =(2,4,0) .

(Ⅰ)? CD ? AD ? 0 , ? CD ? AD . 又? CD ? AP ? 0 , ? CD ? AP . ………………………(5 分)

E A D y

? AP ? AD ? A ,

? CD ? 平面PAD ,
而 CD ? 平面PDC , ∴平面 PDC ⊥平面 PAD . (Ⅱ)设平面 AEC 的法向量 n = ………(7 分) x B

?x, y, z ?,令 z ? 1,则 n ? ?x, y,1? .

C

?x ? 1 ? ?2 y ? 1 ? 0 ?n ? AE ? 0 ??x, y,1? ? ?0,2,1? ? 0 ? 由? 即? ?? ?? ?x, y,1? ? ?2,4,0? ? 0 ?2 x ? 4 y ? 0 ? y ? ? 1 ? ?n ? AC ? 0 ? 2 ?
∴ n = ?1,?

? ?

1 ? ,1? . 2 ?

………………………(9 分)

高三数学(理科)答案

第 4 页(共 9 页)

平面 ABC 的法向量 AP =(0,0,2) ,

cos? n, AP? ?
2 . 3

n ? AP n ? AP

?

2 2 ? . 3 3 ?2 2

所以二面角 E ? AC ? D 所成平面角的余弦值是 (Ⅲ)因为平面的法向量是 n = ?1,?

……………………(11 分)

? ?

1 ? ,1? ,而 CD =(-2,0,0) . 2 ?
. ……………………… (13 分)

?2 2 ?? 3 n ? CD 3 ? 2 2 2 直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 3
所以

cos ? ?

n ? CD

?

.

………………………(14 分)

18. (本小题满分 14 分) 数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ?

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) . 2 2

(I)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (II)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若 cn ?

bn 5 ,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,证明: Tn ? . 1 ? bn 3
1 2 3 2

18. 【解析】 (I)因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? , ………………………………(1 分) ② 当 n ≥ 2 时,an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 , …………………… (2 分)

1 2

1 3 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,
所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? , 2 2

……………………(3 分)
n

1 1 ?1? 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .…………(4 分) 2 2 ?2?
(II)由 (1)得 nbn ?

n . 2n
高三数学(理科)答案 第 5 页(共 9 页)

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2
所以 ① Tn ?

……………(5 分) ……………(7 分)

?1? 1? ? ? ?2? ? n ? 2? n? 2 Tn ? 1 2n 2n 1? 2 (III) 由(I)知 c ? 1 n 2n ? 1
(1)当 n ? 1 时,

n

.……………(9 分)

…………… (10 分)

c1 ?
n

1 5 ?1? 2 ?1 3 成立;
1

……………(11 分)

(2)当 n ? 2 时, 所以

2 ?1 ? (3 ? 2

n ?2

)?2

n ?2

?1 ? 0 ,

? cn ?

1 1 ? 2 ? 1 3 ? 2n ? 2 ,
n

……………… (13 分)

Tn ? 1 ? ?

1 1 1 1 2 1 2 5 ? 1? ? [1 ? ( ) n ] ? 1 ? [1 ? ( ) n ] ? 1 ? ? . ………(14 分) n?2 3 1? 1 2 3 2 3 3 k ?2 3 ? 2 2
(本题放缩方法不唯一,请酌情给分)

n

19. 已知函数 f ( x) ? e x ? kx ,. (I)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (II)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证:

ln F (1) ? ln F (2) ?

? ln F (n) ?

n ln(e n ?1 ? 2)(n ? N ? ) 2

19. 解:(Ⅰ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.………(1 分) 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

高三数学(理科)答案

第 6 页(共 9 页)

①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 此时 f ( x ) 在 [0, ? ?) 上单调递增. 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.…(3 分) ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 . 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: ……………………(4 分)

x
f ?( x ) f ( x)

(0, ln k )

ln k

(ln k, ? ?)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

, ?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅱ) ………………(7 分)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e x ? e? x ? 0 ,

?ln F ( x1 ) ? ln F ( x2 ) ? ln[(ex1 ? e? x1 )(ex2 ? e? x2 )]
又 (e 1 ? e 1 )(e 2 ? e
x x ?x ? x2

) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 ,
…………………… (10 分)

?ln F (1) ? ln F (n) ? ln(en?1 ? 2) ,
l nF ( 2?) l nF (n ? )
由此得:

lF n n? ( ln F (? 1)

? 1)
n ?1

n ?1

ln( ?e 2).

2)
……………………(12 分)

ln? (e

2[ln F (1) ? ln F (2) ?

? ln F (n)] ? [ln F (n) ? ln F (1)] ? n ln(en?1 ? 2)

? [ln F (1) ? ln F (n)] ? [ln F (2) ? ln F (n ?1)] ?
故 ln F (1) ? ln F (2) ?

? ln F (n) ?

n ln(e n ?1 ? 2),n ? N? 成立. ………………(14 分) 2
第 7 页(共 9 页)

高三数学(理科)答案

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 , g ( x) ? ? x2 ? (a ?1) x ? a (其中 a 为常数) ; (I)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值; (II)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? ( ?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实 数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. (III)记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ? 1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求 实数 a 的取值范围. 20.解: (I) f ( x) ? x( x ? a) ? x ? 2ax ? a x ,则 f ?( x) ? 3x ? 4ax ? a ? (3x ? a)( x ? a) ,
2 3 2 2 2 2

a 3

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 或

a ?1 a a ?1 ,而 g ( x) 在 x ? 处有极大值,∴ ? a ? a ? ?1 , 2 3 2

a ?1 a ? ? a ? 3 ;综上: a ? 3 或 a ? ?1 . ………………………………(3 分) 2 3 a 2 2 (II) 假设存在, 即存在 x ? ( ?1, ) , 使得 f ( x) ? g ( x) ? x( x ? a) ? [? x ? (a ?1) x ? a] 3

? x( x ? a)2 ? ( x ? a)( x ? 1) ? ( x ? a)[ x2 ? (1 ? a) x ? 1] ? 0 ,
当 x ? ( ?1, ) 时 , 又 a ? 0 , 故 x ? a ? 0 , 则 存 在 x ? ( ?1, ) , 使 得

a 3

a 3

x2 ? ( 1 ? a ) x ? 1 ? , 0
2

………………………………(4 分)

a ?1 a a? 3 ?a? ? 即 a ? 3 时, ? 1 当 ? (1 ? a) ? ? ? 1 ? 0 得 a ? 3或a ? ? ,? a ? 3 ; ? ? 2 3 2 ?3? ? 3?
………………………………(5 分)

2 当 ?1 ?

a ?1 a 4 ? (a ? 1)2 ? 即 0 ? a ? 3 时, ? 0 得 a ? ?1或a ? 3 ,………(6 分) 2 3 4
………………………………(7 分)

? a 无解;综上: a ? 3 .

(III)据题意有 f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根, g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,且 这 5 个实根两两不相等.
高三数学(理科)答案 第 8 页(共 9 页)

(ⅰ) g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,只需满足 g (

a ?1 ) ? 1 ? a ? 1或a ? ?3 ; 2
………………………………(8 分)

(ⅱ) f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根,

1当

a ? a 即 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? a 处取得极大值,而 f (a) ? 0 ,不符合题意,舍; 3
………………………………(9 分)

2 当

a ? a 即 a ? 0 时,不符合题意,舍; 3 a a a 33 2 ? a 即 a ? 0 时 , f ( x) 在 x ? 处 取 得极 大值 , f ( ) ? 1 ? a ? ;所以 3 3 3 2
………………………………(10 分)

3 当

a?

33 2 ; 2

因为(ⅰ) (ⅱ)要同时满足,故 a ?

3 33 2 ; (注: a ? 也对)…………………(11 分) 3 2 4

下证: 这 5 个实根两两不相等, 即证: 不存在 x0 使得 f ( x0 ) ?1 ? 0 和 g ( x0 ) ? 1 ? 0 同时成立; 若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1, 由

f ( x0 ) ? g ( x0 )
0





2 2 x ( ) ? ? x0 ? (a ?1) x0 ? a 0 x0 ? a





(x0 ? ) ( 2 a

?x

0

? a 1, x )0 ?

0x ?

当 x0 ? a 时, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,不符合,舍去; 当 x0 ? a 时,既有 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0
2

①; ②; 联立①②式,可得 a ? 0 ;

又由 g ( x0 ) ? 1 ,即 ? x0 ? (a ?1) x0 ? a ? 1
2

3 2 而当 a ? 0 时, H ( x) ? [ f ( x) ?1] ?[ g ( x) ?1] ? ( x ?1)(? x ? x ?1) ? 0 没有 5 个不同的零

点,故舍去,所以这 5 个实根两两不相等. 综上,当 a ?

33 2 时,函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点. ………………………(14 分) 2
高三数学(理科)答案 第 9 页(共 9 页)

韶关 2014 届高三年级调研测试 数 学(理 科)

本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题 卡上。用 2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号” 和“座位号”栏填写试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效. 4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 sh , s 是棱锥底面积, h 是棱锥的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 1. 设集合 A ? ??2,0, 2, 4? , B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,,则 A

?

?

B?(



A.?0?
2.已知 a 是实数,

B.?2?

C.?0,2?

D.?0,2,4?

a?i 是纯虚数,则 a 等于( ) 1? i

A.

1
0.5

B.

?1

C.

2

D. ? 2
).

3. 若 a ? 2 , b ? log? 3, c ? log 2

2 ,则有( 2

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 4. 已知椭圆与双曲线 4 12
10 ,那么椭圆的离心率等于( 3 4 A. B. 5 5
)

C.

5 4

D.

3 4

高三数学(理科)答案

第 10 页(共 9 页)

2 5. 函数 y ? 1 ? 2 sin ( x ?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为 正周期为

3? ) 是( 4

) B.最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2

3

3

6. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为( ) A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 3

0 7. 已 知 向 量 AB 与 AC 的 夹 角 为 120 , 且

1 正视图 2 1 2

1 侧视图

AB ? 2, AC ? 3

,



AP ? ? AB ? AC
) D.

,

俯视图

且, AP ? BC ,则实数 ? 的值为( A.

3 7

B. 13

C. 6

12 7

?x ? 2 y ? 6 ? 8. 设实数 x、 y 满足 ? 2 x ? y ? 6 , 则 z ? max ?2x ? 3 y ?1, x ? 2 y ? 2? 的取值范围是( ? x ? 0, y ? 0 ?
A. [2,5] B. [2,9] C. [5,9] D. [?1,9]

)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 1, a3 ? 2 ,则 S4= 10.已知函数 f ( x) ? x ? 4ln x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ___________. 11. 已知实数 x ?[0,10] ,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 47 的概 率为 .

12. 不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 1 解集是_____________________.

高三数学(理科)答案

第 11 页(共 9 页)

?log 2 x, x ? 0 13. 已知函数 f ( x) ? ? x ,且关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有一个实 3 , x ? 0 ?
根,则实数 a 的取值范围是________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC ? CD , 过 C 作 圆 O 的 切 线 交 AD 于 E . 若 AB ? 8 ,, DC ? 4 则
D E A O B

C

DE ? _________.
15. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 4 sin ? 的 圆 心 到 直 线

??

?
3

(? ? R ) 的距离是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
? 2 5 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45 , AC ? 10 , cos ?C ? ,点 D 是 AB 的中

5

点, 求:
D

A

(1)边 AB 的长; (2) cos A 的值和中线 CD 的长.
B C

17. (本小题满分 12 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘 制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组 为 [0, 20) , [20, 40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] . (1)求直方图中 x 的值; (2)如果上学路上所需时间不少于 60 分钟的学生可申请在学 校住宿,请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿;
高三数学(理科)答案 第 12 页(共 9 页)
x

频率/组距

0.0125 0.0065 0.003

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

(3)现有6名上学路上时间小于 40 分钟的新生,其中2人上学路上时间小于 20 分钟. 从这6人中任选2人,设这2人中上学路上时间小于 20 分钟人数为 X ,求 X 的分布列和 数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED ? 平面 ABCD ,

?BAD ?

?
3

, AD ? 2 .

(1) 求证:平面 FCB∥平面 AED ; (2) 若二面角 A ? EF ? C 为直二面角,求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 ? 的正弦 值.

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ax3 ? 3x2 ? 3x (a ? 0) (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 [1,3] 的最大值为 8 ,求 a 的值.

20.(本小题满分 14 分) 已知 ?an ? 为公差不为零的等差数列,首项 a1 ? a ,?an ? 的部分项 ak1 、 ak2 、?、 akn 恰为等比数列,且 k1 ? 1 , k 2 ? 5 , k3 ? 17 .
高三数学(理科)答案 第 13 页(共 9 页)

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an (用 a 表示) ; (2)设数列 {kn } 的前 n 项和为 Sn , 求证:

1 1 ? ? S1 S2

?

1 3 ? ( n 是正整数). Sn 2

Ks5u

21.(本小题满分 14 分) 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点 A0 ( , 2 ) , 线段 FA 的中点在抛物线上. 设

动直线 l : y ? kx ? m 与抛物线相切于点 P , 且与抛物线的准线相交于点 Q , 以 PQ 为直径 的圆记为圆 C . (1)求 p 的值; (2)试判断圆 C 与 x 轴的位置关系; (3)在坐标平面上是否存在定点 M ,使得圆 C 恒过点 M ?若存在,求出 M 的坐标; 若不存在,说明理由.

2014 届高三年级第一次模拟测试 (理科)参考答案和评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或 几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力 比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.
高三数学(理科)答案 第 14 页(共 9 页)

CAABA CDB 题目解析: 1. 解析: B ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,所以 A 2.解析:

B ? C.?0,2?,选 C

a ? i (a ? i )(1 ? i ) a ? 1 ? (a ? 1)i ? ? 是纯虚数,则 a ? 1 ? 0 ; a ? 1 ,选 A 1? i 2 2
0.5

3. 解析: a ? 2 选 A.

? 20 ? 1 , b ? log? 3 ? ? 0,1? ,c ? log 2

2 ?a ? b ? c ? log 2 1 ? 0 , 2

4 选B 5 3? 3? 2 ) ? cos 2( x ? ) ? ? sin 2 x , 5. 解析:y ? 1 ? 2sin ( x ? 所以 f ( x ) 是最小正周期为 ? 4 4
4. 解析: a ? 5 , c ? 4 ? 12 ? 4 , e ? 的奇函数,选 A 6. 解析:由三视图易知,该几何体是底面积为

3 ,高为 3 的三棱锥,由锥体的体积公式得 2

1 3 3 V ? ? ? 3 ? .选 C Ks5u 3 2 2
7. 解析: AP ? BC ? (? AB ? AC) ? ( AC ? AB) ? 0 得

? AB ? AC ? ? ( AB ) 2 ? ( AC ) 2 ? AC ? AB ) ? 0 ? ?3? ? 4? ? 9 ? 3 ? 0 ? ? ?
8. 解析: :作出可行域如图,当平行直线系 2 x ? 3 y ? 1 ? z 在直 线 BC 与点 A 间运动时, 2 x ? 3 y ? 1 ? x ? 2 y ? 2 ,此时

12 ,选 D 7
y

z ? 2x ? 3y ?1??5,9? ,平行直线线 x ? 2 y ? 2 ? Z 在点

B 3

A x

6 c O 3 O 与 BC 之 间 运 动 时 , 2 x ? 3 y ? 1 ? x ? 2 y ? 2 , 此 时 , z ? x ? 2 y ? 2 ??2,8? .

? z ?? 2,9? .选 B
二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 6 14. 2 10. 3x ? y ? 4 ? 0 , 15. 1 .
高三数学(理科)答案 第 15 页(共 9 页)

11.

1 2

12. [1, ??)

13. (1, ? )

题目解析: 9. 解析:可已知可得, a1 ? a4 ? 3,? S4 ? 6 10. 解析:由几何概型得到输出的 x 不小于 47 的概率为 P= =

? 11. 解 析 : f ( x ) ? 1
'

4 , f ' (1) ? ?3 , f (1) ? 1 切 线 方 程 y ? 1 ? ?3( x ? 1) , 即 x

3x ? y ? 4 ? 0 Ks5u

??3, x ? ?1 12. 解 析 : 设 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 , 则 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?2 x ? 1, ?1 ? x ? 2 . 由 ?3, 2 ? x y ?

2 x ? 1 ? 1 ,解得 1 ? x ,所以解集为 [1, ??)
13. 解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y ? f ( x) 与 y ? ? x ? a 的图象, O 其中 a 表示直线在 y 轴上截距,由图可知,当 a ? 1 时,直线 y ? ? x ? a 1 1

x

y

y ? ?x ?

与 y ? log2 x 只有一个交点.
14. 解析:利用已知条件可得 ?ABC ~ ?CDE ,

AB BC 8 4 ? ? ? ? DE ? 2 DC DE 4 DE

15. 解析:如下图, 设圆心到直线距离为 d ,因为圆的半径为 2 , d ? 2 ? sin 30 ? 1
D E A
d

C O B

x o

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 解:解:由 cos ?C ?

2 5 ? 0 可知, ?C 是锐角, 5

高三数学(理科)答案

第 16 页(共 9 页)

所以, sin ?C ? 1 ? cos 2 ?C ? 1 ? (

2 5 2 5 ………………………….2 分 ) ? 5 5
1 0? 2 2 5 5 ? 2

由正弦定理

AC AB ? sin ?B si ? nC

AC AB ? ?s i n ?C ? sin ?B

………………. ………………………………………………………………………5 分 (2) cos A ? cos(180? ? 45? ? C) ? cos(135? ? C )

?

2 10 (? cos C ? sin C ) ? ? , ………………………………………………8 分 2 10

由余弦定理:

CD ? AD2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC cos A ? 1 ? 10 ? 2 ?1? 10 ? (?
………………. ………………………………………………12 分 17. (本题满分 12 分) (1)由直方图可得:

10 ) ? 13 10

频率/组距
x

20 ? x ? 0.0125 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 .[ 学所以 x = 0.025 .???????????2 分
(2)新生上学所需时间不少于 60 分钟的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 ?????????????4 分 因为 1000 ? 0.12 ? 120

0.0125 0.0065 0.003

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

所以 1000 名新生中有 120 名学生可以申请住宿.??????6 分 (3) X 的可能取值为 0,1,2. ?????????????7 分 所以 X 的可能取值为 0,1, 2 ????????????7分

P( X ? 0) ?

0 2 C2 ? C4 2 ? 2 C6 5 2 0 C2 ? C4 1 ? 2 C6 15

P( X ? 1) ?

1 1 C2 ? C4 8 ? 2 C6 15

P( X ? 2) ?

所以 X 的分布列为:
高三数学(理科)答案 第 17 页(共 9 页)

X P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
?????????11 分

2 8 1 2 EX ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ????????????12 分 5 15 15 3
18.(本小题满分 14 分) (1)矩形 BDEF 中, FB∥ED, --------1 分

FB ? 平面 AED , ED ? 平面 AED , FB ∥ 平面 AED ,-2 分 同理 BC ∥ 平面 AED ,-------3 分 又 FB ? BC ? B u? 平面 FBC ∥平面 EDA . ------4 分 (2)取 EF 的中点 M .
由于 ED ? 面 ABCD , ED ∥ FB ,? ED ? AD, ED ? DC, FB ? BC, FB ? AB 又 ABCD 是菱形, BDEF 是矩形,所以,?ADE, ?EDC, ?ABF , ?BCF 是全等三角 形, AE ? AF, CE ? CF , 所以 AM ? EF, CM ? EF , ?AMC 就是二面角 A ? EF ? C 的平面角-------8 分

AM ? MC
E 解法 1(几何方法) : 延长 CB 到 G ,使 BC ? BG ,由已知可得, ADBG 是平行四边形,又 BDEF 矩形,所以 AEFG 是平行四边形, A, E , F , G 共面,由上证可知, M F D N C B G

AM ? MC CM ? EF ,EF , AM 相交于 M ,CM ? 平面 AEFG , ?CGM 为所求.
由 AD ? 2 , ?DAB ? 60 ,得 AC ? 2 3 等腰直角三角形 AMC 中, AC ? 2 3 ,可得 MC ? 6 直角三角形 GMC 中, sin ?CGM ?
A

CM 6 ? CG 4
EF ? M 得 CM ? 平面 AEF ,

AM ? EF , MC 解法 2 几何方法) : 由 AM ? MC ,
连结 BM ,设 BC ? 2. 则在 ?MBC 中, CM ?
高三数学(理科)答案

欲求直线 BC 与平面 AEF 所成的角,先求 BC 与 MC 所成的角. ------12 分

2MN ? 2 ? 3 ? 6 , MB ? 2 ,
z E M

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MC 2 ? BC 2 ? MB 2 6 ? ? . ? sin ? ? 6 . 用余弦定理知 cos?MCB ? 2MC ? BC 4 4
解法 3(向量方法) :以 D 为原点, DC 为 y 轴、 DE 为 z 轴 建立如图的直角坐标系,由 AD ? 2. 则 M (

---14 分

3 1 , , 3) , 2 2 3 3 , ,? 3 ) , -------12 分 2 2

C (0,2,0) ,平面 AEF 的法向量 n ? MC ? (?

CB ? DA ? ( 3,?1,0) . cos n, CB ?
19.(本小题满分 14 分) 解:(1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3

n ? CB n CB

??

6 6 . ---14 分 . ? sin ? ? 4 4

???????????????.1 分

其判别式 ? ? 36 ? 36a ? 36(1 ? a) , 因为 a ? 1 , 所以, ? ? 0 ,对任意实数, f ' ( x) ? 0 恒成立,Ks5u

所以, f ( x ) 在 (??, ??) 上是增函数???????????????.4 分 (2)当 a ? 1 时,由(1)可知, f ( x ) 在 (??, ??) 上是增函数,所以 f ( x ) 在 [1,3] 的最 大值为 f (3) ,由 f (3) ? 8 ,解得 a ? 分 当 0 ? a ? 1 时 , ? ? 36 ? 36a ? 36(1 ? a) ? 0 ,方程 3ax ? 6 x ? 3 ? 0 的两根为
2

26 (不符合,舍去)???????????6 27

x1 ?

1? 1? a 1? 1? a , x2 ? ,???????????????8 分 a a
1 a

f ' ( x) ? 3ax2 ? 6x ? 3 图象的对称轴 x ?
因为 x1 ? 1 ?

1? 1? a 1 ? a ( 1 ? a ? 1) ?1 ? ?0 a a
高三数学(理科)答案 第 19 页(共 9 页)

(或 x1 ?

1 1 1? 1? a ? ? 1 ), 所以 0 ? x1 ? 1 ? ? x2 a a 1? 1? a

由 x2 ? 3 解得 a ? ①当 0 ? a ?

5 9

5 , 因为 f ' (1) ? 3(1 ? a) ? 0 , 所以 x ? [1,3] 时,f ' ( x) ? 0 , f ( x ) x ? 3, 9 2

在 [1,3] 是减函数, f ( x ) 在 [1,3] 的最大值 ymax ? f (1) , 由 f( 解得 a ? 8(不 1 ) ? 8 , 符合,舍去).?????????????.?????????12 分 ②当

5 ? a ? 1 , x2 ? 3 , x ?[1, x2 ] , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, x2 ] 是减函数, 9



x ?[ x2 ,3] 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 [ x2 ,3] 是增函数.所以 f ( x) 在 [1,3] 的最大值 f (1) 或
( ) ? 8 , f (3) ? 8 , f (3) , 由 f1 解得 a ? 8(不符合, 舍去) ,a ?
分 综上所述 a ?

26 ????????14 27

26 27

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) , 由已知得 a1 =a , a5 ? a ? 4d , a17 ? a ? 16d 成等比数列, ∴

) a ? 0 ???????????2 分 (a ? 4 d 2 ) ? a( a? 1 6d ,且
a 2

得d ? 0或d ?

∵ 已知 ?an ? 为公差不为零 ∴ ∴

d?

a , 2

???????????3 分

a n ?1 ? a ? (n ? 1 ) ? a . ???????????4 分 an ? a 1) d 1 ?( n ? 2 2 k ?1 n ?1 a a (2)由(1)知 an ? ∴ akn ? n 2 2
???????????5 分

高三数学(理科)答案

第 20 页(共 9 页)

而等比数列 {akn } 的公比 q ? ∴

a5 a1 ? 4d ? ? 3. a1 a1
???????????6 分

akn ? a1 ? 3n?1 ? a ? 3n?1
kn ? 1 a ? a ? 3n?1 , 2

因此 akn ? ∵ a?0

∴ kn ? 2 ? 3n?1 ?1 ∴ Sn ? (2 ? 3 ? 2 ? 3 ?
0 1 n?1

???????????7 分

2(1 ? 3n ) ? n ? 3n ? n ? 1 ? 2? 3 ) ? n ? 1? 3
???????????9 分
n?1 n ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 2n

0 1 2 ∵当 n ? 1 时, 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? 0 1 n ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2n ? 2n ? 2n ? 1 ? 2n ? n ? 1
n 3n ? n ? 1? 2 (或用数学归纳法证明此不等式)

∴ ∴

1 1 1 ? n ? n (n ? 2 ) Sn 3 ? n ? 1 2
∴当 n ? 1 时,

???????????11 分

1 3 ? 1 ? ,不等式成立; S1 2 ?
1 1 1 1 ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 2 Sn ? 1 2n

当 n ? 2 时,

1 1 ? ? S1 S2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 3 1 3 2 ? 1? 4 ? ? ( )n ? 1 2 2 2 1? 2
综上得不等式

1 1 ? ? S1 S2

?

3 1 ? 成立. Sn 2
???????????14

分 法二∵当 n ? 3 时, 3 ? (1 ? 2) ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ?
n n 0 1 2 2 n?1 n ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 2n

高三数学(理科)答案

第 21 页(共 9 页)

0 1 2 ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? 2n2 ? 1 ? n2 ? 2n ? 1

∴ ∴

(或用数学归纳法证明此不等式) 3n ? n ?1 ?n (n ? 1 )

1 1 1 1 1 (n ? 3) ???????????11 分 ? n ? ? ? Sn 3 ? n ? 1 n( n? 1 ) n n ? 1 1 3 ? 1 ? ,不等式成立; S1 2

∴当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时,

1 1 1 7 3 ? ? 1? 2 ? ? ,不等式成立; S1 S2 3 ? 2 ?1 6 2 1 1 ? ? S1 S2 ?
1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ?( ? )? Sn 3 ? 1 ? 1 3 ? 2 ? 1 3 4 1 1 3 1 3 ? 1? ? ? ? ? ? 6 3 2 n ?1 2 1 1 ?( ? ) n n ?1

当 n ? 3 时,

综上得不等式

1 1 ? ? S1 S2

?

3 1 ? 成立. Sn 2
???????????14

分 (法三) 利用二项式定理或数学归纳法可得: 3n?1 ? n ? 1(n ? 2) 所以, n ? 2 时, 3n ? (n ? 1) ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ,

1 1 ? ? S1 S2
n ? 1 时,

?

1 1 1 ? 1? ( ? 2 3 Sn

2

1 ? ??? ? 3

n? 1

1 ? ) 3

?

5 4?

n?

1 ? ? 1 4 3

5 4

3 2

1 1 1 ? 1 综上得不等式 ? ? S1 S1 S2

?

3 1 ? 成立. Sn 2

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)利用抛物线的定义得 F ( 方程得 2 p ?

p p 2 , 0) ,故线段 FA 的中点的坐标为 ( , ) ,代入 2 4 2
???????????2 分

p 1 ? ,解得 p ? 1 。 4 2
高三数学(理科)答案

第 22 页(共 9 页)

(2)由(1)得抛物线的方程为 y 2 ? 2 x ,从而抛物线的准线方程为 x ? ?

1 2

???????????3 分 由?

? y2 ? 2x ? y ? kx ? m

得方程

k 2 y ? y ? m ? 0, 2
???????????4 分

?k ? 0 ?k ? 0 ? 由直线与抛物线相切,得 ? ?? 1 m? ?? ? 0 ? 2k ? 1 1 1 1 且 y ? ,从而 x ? ,即 P ( 2 , ) , k 2k 2 2k k
1 ? y ? kx ? ? 1 1? k 2 ? 2k ), 由? ,解得 Q(? , 2 2k ?x ? ? 1 ? ? 2
∴ PQ 的中点 C 的坐标为 C (

???????????5 分

???????????6 分

1? k 2 3 ? k 2 , ) Ks5u 4k 2 4k

圆心 C 到 x 轴距离 d ? (
2

3? k2 2 ) , 4k

1? k 2 2 1? k 2 2 2 PQ ? ( ) ?( ) 2k 2 2k
∵(

1 1 1? k 2 2 1? k 2 2 3? k2 2 PQ )2 ? d 2 ? [( ) ? ( ) ] ? ( ) 2 4 2k 2 2k 4k ?( 3k 2 ? 1 2 ) 4k 2

???????????????8 分

∵k ? 0, ∴ 当k ? ?

1 3 2 2 时, ( PQ ) ? d ? 0 ,圆 C 与 x 轴相切; 2 3

当k ? ?

1 3 2 2 时, ( PQ ) ? d ? 0 ,圆 C 与 x 轴相交;????????9 分 2 3
高三数学(理科)答案 第 23 页(共 9 页)

1 1 1 1? k 2 )?0 (或,以线段 PQ 为直径圆的方程为: ( x ? 2 )( x ? ) ? ( y ? )( y ? 2k 2 k 2k
令 y ? 0得 x ?
2

k 2 ? 1 1 ? 2k 2 x? ?0 2k 2 4k 2

??(

k2 ?1 2 1 ? 2k 2 (3k 2 ? 1)2 ) ? 4 ? ? ?0 2k 2 4k 2 4k 4



当k ? ?

3 时, ? ? 0 ,圆 C 与 x 轴相切; 3 3 时, ? ? 0 ,圆 C 与 x 轴相交;????????9 分 3

当k ? ?

(3)方法一:假设平面内存在定点 M 满足条件,由抛物线对称性知点 M 在 x 轴上,设 M 点 坐 标 为 ,???????????????????????????? 10 分 M ( x1 ,0) 由(2)知 P (

1 1 1 1? k 2 , ) Q ( ? , ) , 2k 2 k 2 2k

1 1 1 1? k 2 ) 。 ∴ MP ? ( 2 ? x1 , ), MQ ? (? ? x1 , 2k k 2 2k
由 MP ? MQ ? 0 得, (

1 1 1 1? k 2 ? x )( ? ? x ) ? ? ?0 1 1 2k 2 2 k 2k

所以 x1 ?
2

1 1? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 x ? x ? ? 0 x ? ,即 或 1 1 1 2 2k 2 4k 2 2k 2
???????????13 分

所以平面上存在定点 M ( , 0) ,使得圆 C 恒过点 M . ???????????14 分 证法二: 由 (2) 知 P(

1 2

1 1 1 1? k 2 1? k 2 3 ? k 2 C , ) Q ( ? , ) C ( , ) PQ , , 的中点 的坐标为 2k 2 k 2 2k 4k 2 4k

1? k 2 2 1? k 2 2 2 PQ ? ( ) ?( ) 2k 2 2k
所以圆 C 的方程为 ( x ?

1? k 2 2 3 ? k 2 2 1 1? k 2 2 1? k 2 2 ) ? ( y ? ) ? [( ) ?( ) ] 4k 2 4k 4 2k 2 2k
高三数学(理科)答案 第 24 页(共 9 页)

???????????11 分 整理得 x ?
2

1 1 1 1 3? k2 x ? y 2 ? ? 2 ( ? x) ? ( )y ? 0 2 2 2k 2 2k
???????????12 分

上式对任意 k ? 0 均成立,

1 ? 2 1 2 ?x ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ? 1 ? ?1 ?x ? 当且仅当 ? ? x ? 0 ,解得 ? 2 ???????????13 分 ?2 ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ?
Ks5u

高三数学(理科)答案

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