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海淀区2016届高三一模数学(文)试题及答案(官方word版)


海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(文科)
作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2016.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选

出符合题目 要求的一项。 1. 已知集合 A ? {x ? Z | ?2 ? x ? 3}, B ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则 A ? B ? A. {?2, ?1,0} B. {?2, ?1,0,1} C. {x | ?2 ? x ? 1} D. {x | ?2 ? x ? 1}

2. 已知向量 a ? (1, t ) , b ? (3,9) ,若 a ? b ,则 t ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
开 始
输入

3. 某程序的框图如图所示,若输入的 z ? i (其中 i 为虚数单位) , 则输 出的 S 值为 A. ?1 B. 1 C. ?i D. i

n=1


n >5


? x ? y +2 ? 0, 1 ? 4. 若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值为 2 ? y ? 0, ?
A.

输出 S 结束

n=n+1

5 2

B. 3

C.

7 2

D. 4
1

5. 某三棱椎的三视图如图所示,则其体积为

3 A. 3

3 B. 2

2 3 C. 3

2 6 D. 3

1

主视图 1

2 1

3 左视图

6. 已知点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 W : y 2 ? 4 x 上,且点 P 到 W 的准线的距离与
俯视图

点 P 到 x 轴的距离相等,则 x0 的值为 A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 2 则“ ? ?

?sin( x ? ? ), x ? 0, 7. 已知函数 f ( x ) ? ? ?cos( x ? ? ), x ? 0,
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

π ”是“函数 f ( x ) 是偶函数”的 4

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 某生产基地有五台机器设备,现有五项工作 待完成,每台机器完成每项工作获得的效益值 如右表所示. 若每台机器只完成一项工作,且 乙 完成五项工作后获得的效益值总和最大,则 .. 下列描述正确的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 获得的效益值总和为 78 戊 丙 丁
机器

工作 效益
一 二 三 四 五



15 22 9 7 13

17 23 13 9 15

14 21 14 11 14

17 20 12 9 15

15 20 10 11 11

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 函数 f ( x) ? 2 x ? 2 的定义域为___. 10. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ,则 a2 ? a1 ? __. 11. 已知 l 为双曲线 C :

π x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线,其倾斜角为 ,且 C 的右焦点为 (2,0) , 2 4 a b

则 C 的右顶点为__, C 的方程为__.

1 12. 在 , 2 3 , log 3 2 这三个数中,最小的数是__. 2
13. 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) . 若 f (

1

π 5π ) ? f (? ) ? 2 ,则函数 f ( x ) 的单调增区间为__. 12 12

14. 给定正整数 k ? 2 , 若从正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点中任取 组成一个 ..k 个顶点, 集合 M ? {X 1 , X 2 ,..., X k },均满足 ?X i , X j ? M ,?X l , , X t ? M , 使得直线 X i X j ? X l , X t , 则 k 的所有可能取值是__.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, ?C ?

2π ,a ? 6. 3

(Ⅰ)若 c ? 14 ,求 sin A 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 3 3 ,求 c 的值.

16.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是等比数列,其前 n 项和为 Sn , 满足 S2 ? a1 ? 0 , a3 ? 12 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2016 ?若存在,求符合条件的 n 的最小值;若不存在, 说明理由. 17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,点 M , N 分别为线段 PB , PC 上的点,且 MN ? PB . (Ⅰ)求证:平面 PBC ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求证:当点 M 不与点 P, B 重合时, MN //平面 ABCD ; (Ⅲ)当 AB ? 3, PA ? 4 时,求点 A 到直线 MN 距离的最小值.

P

M
A B

N

D
C

18.(本小题满分 13 分)

一所学校计划举办“国学”系列讲座. 由于条件限制,按男、女生比例采取分层抽样的方 法,从某班选出 10 人参加活动. 在活动前,对所选的 10 名同学进行了国学素养测试,这 10 名同学的性别和测试成绩 (百分制) 的茎叶图如图所示. (Ⅰ)根据这 10 名同学的测试成绩,估计该班男、女生国学 素养测试的平均成绩; (Ⅱ)比较这 10 名同学中男生和女生的国学素养测试成绩 的方差的大小;(只需直接写出结果) (Ⅲ)若从这 10 名同学中随机选取一男一女两名同学,求这两名同学的国学素养测试成绩

男 5 4 8 7 6 6 7 8 0 7 6



6

9

8

均为优良的概率.(注:成绩大于等于 75 分为优良) 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

3 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 与 y 轴交于 A, B 两点, 2 a b 2

| AB |? 2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 P 是椭圆 C 上的动点,且直线 PA , PB 与直线 x ? 4 分别交于 M , N 两点. 是否存在点 P ,使得以 MN 为直径的圆经过点 (2,0) ?若存在,求出点 P 的横坐标; 若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1? x . ex

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的零点和极值; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? [a, ??) ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 成立,求实数 a 的最小值. e2

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(文科) 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. [1, ??)

10. 2

11. ( 2,0),

x2 y2 ? ?1 2 2

12.

1 2

13. [?

5π π ? kπ, ? kπ],k ? Z 12 12

6, 7, 8 14. 5,

说明:1.第 9 题,学生写成 x ? 1 的不扣分 2.第 13 题写成开区间 (?

5π π ? kπ, ? kπ),k ? Z 的不扣分, 12 12

没有写 k ? Z 的,扣 1 分 3. 第 14 题有错写的,则不给分 只要写出 7 或 8 中之一的就给 1 分,两个都写出,没有其它错误的情况之下给 1 分 写出 5,6 中之一的给 2 分,两个都写出,且没有错误的情况之下给 4 分

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:(Ⅰ) 方法一: 在 ?ABC 中,因为

a c ? , sin A sin C

……………………….2 分

6 14 ? 即 sin A 3 2
所以 sin A ?

……………………….3 分

3 3 . 14

……………………….5 分

方法二:过点 B 作线段 AC 延长线的垂线,垂足为 D 因为 ?BCA ?

A

2π π ,所以 ?BCD ? 3 3
3 BC ? 3 3 2 BD 3 3 ? AB 14

……………………….1 分
14

在 Rt ?BDC 中, BD ?



……………………….3 分

B

6

3 C

D

在 Rt ?ABD 中, sin A ? (Ⅱ)方法一: 因为 S ?ABC ?

……………………….5 分

1 ? a ? b ? sin C . 2

……………………….7 分

所以 3 3 ?

1 3 解得 b ? 2 . ?6? ?b , 2 2

……………………….9 分

又因为 c2 ? a 2 ? b2 ? 2a ? b ? cos C . 所以 c ? 4 ? 36 ? 2 ? 2 ? 6 ? ( ? ) ,
2

…………………….11 分

1 2

所以 c ? 52 ? 2 13 . 方法二:过点 A 作线段 BC 延长线的垂线,垂足为 D 因为 ?ACB ?

…………………….13 分

2π π , 所以 ?ACD ? . 3 3 1 ? BC ? AD , 2
……………………….7 分
2π B 6 3 C 1

A

又因为 S ?ABC ?

3

1 即 3 3 ? ? 6 ? AD , 2

D

所以 AD ? 3 , CD ? 1 . 在 Rt ?ABD 中, AB 2 ? BD 2 ? AD 2 . 所以 AB ? 52 ? 2 13 . 16.解: (Ⅰ) 设数列 ?an ? 的公比为 q , 因为 S2 ? a1 ? 0 ,所以 2a1 ? a1q ? 0 . 因为 a1 ? 0, 所以 q ? ?2, 又因为 a3 ? a1q2 ? 12 , 所以 a1 ? 3 , 所以 an ? 3? (?2)n?1 (或写成 an ? ?

……………………….9 分 ……………………….11 分 …………………….13 分

……………………….1 分 ……………………….2 分 ……………………….3 分 ……………………….4 分

3 ? (?2) n ) 2

……………………….7 分

说明:这里的 公式都单独有分,即如果结果是错的,但是通项公式或者下面的前 n 项和公 式正确写出的,都给 2 分 (Ⅱ)因为

Sn ?

n 3? ? ?1 ? (?2) ? ?

1 ? (?2)

? 1 ? (?2) n .
n n

……………………….10 分 ……………………….11 分

令 Sn ? 2016 , 即 1 ? (?2) ? 2016 ,整理得 (?2) ? ?2015 . 当 n 为偶数时,原不等式无解; 当 n 为奇数时,原不等式等价于 2 ? 2015 ,解得 n ? 11 ,
n

所以满足 Sn ? 2016 的正整数 n 的最小值为 11.

……………………….13 分

17 解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC . 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC . 又 AB ? PA ? A , AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PAB .

……………………….1 分 ……………………….2 分 ……………………….3 分 ……………………….4 分 ……………………….5 分

(Ⅱ)证明:

由(Ⅰ)知,

BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB ,所以 BC ? PB .

……………………….6 分 ……………………….7 分 ……………………….9 分 …………………….10 分

在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN / / BC , 又 BC ? 平面 ABCD , MN ? 平面 ABCD , 所以 MN //平面 ABCD .

(Ⅲ)解:因为 MN / / BC , 所以 MN ? 平面 PAB , 而 AM ? 平面 PAB ,所以 MN ? AM , 所以 AM 的长就是点 A 到 MN 的距离, 而点 M 在线段 PB 上 所以 A 到直线 MN 距离的最小值就是 A 到线段 PB 的距离, 在 Rt ?PAB 中, AB ? 3, PA ? 4, 所以 A 到直线 MN 的最小值为

…………………….11 分 …………………….12 分 …………………….13 分

12 . 5

…………………….14 分

18.解: (Ⅰ)设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为 x1 , x2 . 则 x1 ?

64 ? 76 ? 77 ? 78 ? 73.75 4 56 ? 79 ? 76 ? 70 ? ?88 ? 87 x2 ? ? 76 6

……………………….2 分 ……………………….4 分

(Ⅱ)女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. (Ⅲ)设“两名同学的成绩均为优良”为事件 A , 男生按成绩由低到高依次编号为 a1 , a2 , a3 , a4 , 女生按成绩由低到高依次编号为 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , 则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种取法

……………………….7 分 ……………………….8 分

…………………….10 分

(a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a1 , b5 ) , (a1 , b6 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , b4 ) , (a2 , b5 ) , (a2 , b6 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a3 , b3 ) , (a3 , b4 ) , (a3 , b5 ) , (a3 , b6 ) , (a4 , b1 ) , (a4 , b2 ) , (a4 , b3 ) , (a4 , b4 ) , (a4 , b5 ) , (a4 , b6 ) ,
其中两名同学均为优良的取法有 12 种取法 …………………….12 分

(a2 , b3 ) , (a2 , b4 ) , (a2 , b5 ) , (a2 , b6 ) , (a3 , b3 ) , (a3 , b4 ) , (a3 , b5 ) , (a3 , b6 ) , (a4 , b2 ) , (a4 , b3 ) , (a4 , b4 ) , (a4 , b5 ) , (a4 , b6 )
所以 P ( A) ?

12 1 ? , 24 2
1 . 2
…………………….13 分

即两名同学成绩均为优良的概率为

19. 解: (Ⅰ)由已知 AB ? 2 ,得知 2b ? 2 , b ? 1 , ……………………….1 分

又因为离心率为
2 2 2

3 c 3 ,所以 ? . a 2 2

……………………….2 分

因为 a ? b ? c ,所以 a ? 2, , 所以椭圆 C 的标准方程为

……………………….4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

……………………….5 分

(Ⅱ)解法一:假设存在. 设 P( x0 , y0 )

M (4, m) N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0 y0 ? 1 x ? 1, x0

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ? 1, x0 x0

……………………….8 分

所以 MN ? m ? n ? 2 ?

8 , x0

……………………….9 分

线段 MN 的中点 (4,

4 y0 ), x0

……………………….10 分

若以 MN 为直径的圆经过点 (2,0) ,

则 (4 ? 2)2 ? (

4 y0 4 ? 0)2 ? (1 ? )2 , x0 x0

……………………….11 分

因为点 P 在椭圆上,所以

8 x0 2 ? y0 2 ? 1 ,代入化简得 1 ? ? 0 , ……………………….13 分 4 x0

所以 x0 ? 8 , 而 x0 ? ? ?2, 2? ,矛盾, 所以这样的点 P 不存在. 解法二: 0) . 假设存在,记 D (2, 设 P( x0 , y0 ) ……………………….14 分

M (4, m) N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0 y0 ? 1 x ? 1, x0

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ?1, x0 x0

……………………….8 分

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
……………………….9 分

???? ? ???? ? 因为 MN 为直径,所以 DM ? DM ? 0

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ???? ? ???? ? 1) ? (2, ? 1) ? 0 所以 DM ? DN ? (2, x0 x0
???? ? ???? 16 y02 ? (4 ? x0 )2 ?0 所以 DM ? DN ? 4 ? x02
因为点 P 在椭圆上,所以

……………………….11 分

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4

……………………….12 分

???? ? ???? ?4 x02 ? 8 x0 ? x02 8 x0 ? x02 ? ?0 代入得到 DM ? DN ? 4 ? x02 x02
所以 x0 ? 8 ,这与 x0 ? [ ? 2,2] 矛盾

……………………….13 分

……………………….14 分

所以不存在 法三 : 0) , H (4, 0) 假设存在,记 D (2, 设 P( x0 , y0 )

M (4, m) N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0 y0 ? 1 x ? 1, x0

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ?1, x0 x0

……………………….8 分

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
所以 DH 2 ? HN ? HM ……………………….9 分

因为 DH ? MN , 所以 4 ? |

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1| ? | ? 1| x0 x0
……………………….11 分

所以 4=|

16 y02 ? 16 ? 8 x0 ? x02 | x02

因为点 P 在椭圆上,所以

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4

……………………….12 分

代入得到 4 ?|

8 ? 5 x0 |, x0

解得 x0 ? 8 或 x0 ?

8 9

……………………….13 分

当 x0 ? 8 时,这与 x0 ? [ ? 2,2] 矛盾 当 x0 ?

8 时,点 M , N 在 x 轴同侧,矛盾 9
……………………….14 分

所以不存在 20.解: (Ⅰ)因为 f '( x) ? 所以 f '(0) ? ?2 .

x?2 , ex

……………………….1 分 ……………………….2 分

因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 .……………………..4 分 (Ⅱ)令 f ( x) ?

1? x ? 0 ,解得 x ? 1 , ex
……………………….5 分

所以 f ( x) 的零点为 x ? 1 . 由 f '( x) ?

x?2 ? 0 解得 x ? 2 , ex
(??, 2)
?

则 f '( x ) 及 f ( x) 的情况如下:

x
f '( x ) f ( x)

2 0 极小值 ?

(2, ??)

?
1 e2
?
……………………….7 分

?

所以函数 f ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值 ?

1 e2

……………………….8 分

(Ⅲ)法一:

1? x ?0 . ex 1? x 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 0 . e
当 x ? 1 时, f ( x) ?

……………………….9 分

若 a ? 1 ,由(Ⅱ)可知 f ( x ) 的最小值为 f (2) , f ( x ) 的最大值为 f ( a ) ,…………………….10 分 所以“对任意 x1 , x2 ? [a, ??) ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 即?

1 1 恒成立”等价于 f (2) ? f (a) ? ? 2 2 e e
……………………….11 分 ……………………….12 分 ……………………….13 分

1 1? a 1 ? a ?? 2 , 2 e e e

解得 a ? 1 . 所以 a 的最小值为 1.

法二:

1? x ?0 . ex 1? x 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 0 . e
当 x ? 1 时, f ( x) ? 且由(Ⅱ)可知, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? ?

……………………….9 分

1 , e2

……………………….10 分

若 a ? 1 ,令 x1 ? 2, x2 ? [a,1) ,则 x1 , x2 ? [a, ??)

而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f (2) ? ? 所以 a ? 1 .

1 ,不符合要求, e2
……………………….11 分

当 a ? 1 时, ?x1 , x2 ? [1, ??) , f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2) ? ? 综上, a 的最小值为 1.

1 ,即 a ? 1 满足要求, e2

……………………….12 分 ……………………….13 分

法三:

1? x ?0 . ex 1? x 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 0 . e
当 x ? 1 时, f ( x) ? 且由(Ⅱ)可知, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? ? 若 2 ? [a, ??) ,即 a ? 2 时, 令 x1 ? 2, 则任取 x2 ? [a, ??) , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (2) ? f ( x2 ) ? ?

……………………….9 分

1 , e2

……………………….10 分

1 1 ? f ( x2 ) ? ? 2 2 e e

所以 f ( x2 ) ? 0 对 x2 ? [a, ??) 成立, 所以必有 x2 ? 1 成立,所以 [a, ??) ? [1, ? ? ?) ,即 a ? 1 . 而当 a ? 1 时, ?x1 , x2 ? [1, ??) , f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x 1 ) ? 0 ? f (2)? ? 分 而当 a ? 2 时,求出的 a 的值,显然大于 1, 综上, a 的最小值为 1. ……………………….13 分 ……………………….11 分

1 ,即 a ? 1 满足要求, e2

……………………….12


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