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1995全国高考理科数学试题


1995 年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分.

第Ⅰ卷(选择题共 65 分)

一、 选择题(本大题共 15 小题,第 1—10 题每小题 4 分, 第 11—15 题每小题 5 分, 共

65 分. 在 每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知 I 为全集,集合 M,N ? I,若 M∩N=N,则 (A) M ? N 2.函数 y= ? (B) M ? N (C) M ? N (D) M ? N ( )
王新敞
奎屯 新疆

(

)

1 的图像是 x ?1

3.函数 y=4sin(3x+ (A) 6π

? ? )+3cos(3x+ )的最小正周期是 4 4 2?
(B) 2π
2

( (D)

)

(C)

3

? 3
( )

4.正方体的全面积是 a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是 (A)

?a 2
3

(B)

?a 2
2

(C) 2π a2

(D) 3π a2

5.若图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( (A) k1<k2<k3 (C) k3< k2< k1 (B) k3< k1< k2 (D) k1< k3< k2 (

)

6.在(1-x3)(1+x)10 的展开式中,x5 的系数是 (A) -297 (B) -252 (C) 297

) (D) 207 ( )

7.使 arcsinx>arccosx 成立的 x 的取值范围是 (A) ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

(B) ?

? 2 ? 1? ? 2 , ? ?

(C) ?? 1,

? ?

2? ? 2 ? ?

(D) ?? 1 , 0? ( )

8.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是 (A) y=±3x (B) y=±

1 x 3

(C) y=± 3 x

(D) y=±

3 x 3
( )

9.已知θ 是第三象限角,且 sin4θ +cos4θ =

5 ,那么 sin2θ 等于 9
(C)

(A)

2 2 3

(B) ?

2 2 3

2 3

(D) ?

2 3

10.已知直线 l⊥平面α ,直线 m ? 平面β ,有下面四个命题: ①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m ③l∥m ? α ⊥β 其中正确的两个命题是 (A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③ ( ) ④l⊥m ? α ∥β ( )

11.已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,2)

(D) ?2,? ? ?

12.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,若

Sn a 2n ,则 lim n 等于 ? n ?? b Tn 3n ? 1 n
( )

(A) 1

(B)

6 3

(C)

2 3

(D)

4 9
)

13.用 1,2,3,4,5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共( (A) 24 个 (B) 30 个 (C) 40 个 (D) 60 个

14.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为 e,则它的极坐标 方程是 ( )

(A) ? ?

c?1 ? e ? 1 ? e cos ? c?1 ? e ? 1 ? e cos ?

(B) ? ?

c 1 ? e2 1 ? e cos?

?

?

(C) ? ?

(D)

??

c 1 ? e2 e?1 ? e cos? ?

?

?

15.如图,A1B1C1-ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是 ( )

(A)

30 10

(B)

1 2

(C)

30 15

(D)

15 10

第Ⅱ卷(非选择题,共 85 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

?1? 16.不等式 ? ? ?3?

x 2 ?8

? 3 ? 2 x 的解集是__________

王新敞
奎屯

新疆

17. 已知圆台上、 下底面圆周都在球面上, 且下底面过球心, 母线与底面所成的角为 则圆台的体积与球体积之比为_____________ 18.函数 y=sin(x-
王新敞
奎屯 新疆

? , 3

? )cosx 的最小值是____________ 6

王新敞
奎屯

新疆

19.直线 l 过抛物线 y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线 段长为 4,则 a=
王新敞
奎屯 新疆

20.四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有 __________种(用数字作答)
王新敞
奎屯 新疆

三、解答题(本大题共 6 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 21.(本小题满分 7 分) 在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1,Z2,Z3,O (其中 O 是 原点),已知 Z2 对应复数 Z 2 ? 1 ? 3i .求 Z1 和 Z3 对应的复数.

22.(本小题满分 10 分)求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值. 23.(本小题满分 12 分) 如图,圆柱的轴截面 ABCD 是正方形,点 E 在底面的圆周上,AF ⊥DE,F 是垂足. (1)求证:AF⊥DB; (2)如果圆柱与三棱锥 D-ABE 的体积的比等于 3π ,求直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. 24.(本小题满分 12 分) 某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供 政府补贴.设淡水鱼的市场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克.根据市场调查,当 8 ≤x≤14 时,淡水鱼的市场日供应量 P 千克与市场日需求量 Q 千克近似地满足关系: P=1000(x+t-8)( x≥8,t≥0), Q=500 40 ? ? x ? 8? (8≤x≤14).
2

当 P=Q 时市场价格称为市场平衡价格. (1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克 10 元,政府补贴至少为每千克多少元? 25.(本小题满分 12 分) 设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是其前 n 项和. (1)证明

lg S n ? lg S n ? 2 ? lg S n ?1 ; 2 lg?S n ? c ? ? lg?S n? 2 ? c ? ? lg?S n ?1 ? c ? 成立?并证明你的结 2

(2)是否存在常数 c>0, 使得 论. 26.(本小题满分 12 分) 已 知 椭 圆

x2 y2 ? ?1 , 直 线 24 16

l:

x y ? ? 1 .P 是 l 上点,射线 OP 交椭圆于点 12 8

R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|?|OP|=|OR|,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

1995 年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1.C 10.D 2.B 11.B 3.C 12.C 4.B 13.A 5.D 14.D 6.D 15.A 7.B 8.C 9.A

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算) 16.{x|-2<x<4} 17.

7 3 32

18. ?

3 4

19.4

20.144

三、解答题 21.本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力. 解:设 Z1,Z3 对应的复数分别为 z1,z3,依题设得

z1 ?

1

? ?? ? ?? z 2 [cos? ? ? ? i sin? ? ?] 2 ? 4? ? 4?
? ? 1 ? 3i ?? ? 2 2 2 ? ? i? ? 2 2 ? ?

?

1

? 1

3 ?1 3 ?1 ? i 2 2

z3 ?

? ?? ? z 2 ? cos ? i sin ? 4 4? 2 ?
2 2 ? ? i? ? 2 2 ? ?

=

1

? ? 1 ? 3i ?? ? 2

?

1? 3 1? 3 ? i 2 2

22.本小题主要考查三角恒等式和运算能力. 解: 原式 ?

1 ?1 ? cos 40?? ? 1 ?1 ? cos 100 ?? ? sin 20? cos 50? 2 2 1 1 ? 1 ? ?cos 100 ? ? cos 40?? ? ?sin 70? ? sin 30?? 2 2

?

3 1 ? sin 70? sin 30? ? sin 70? 4 2 3 ? 4

23.本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力. (1)证明:根据圆柱性质,DA⊥平面 ABE. ∵EB ? 平面 ABE, ∴DA⊥EB. ∵AB 是圆柱底面的直径,点 E 在圆周上, ∴AE⊥EB,又 AE∩AD=A, 故得 EB⊥平面 DAE. ∵AF ? 平面 DAE, ∴EB⊥AF. 又 AF⊥DE,且 EB∩DE=E, 故得 AF⊥平面 DEB. ∵DB ? 平面 DEB, ∴AF⊥DB. (2)解:过点 E 作 EH⊥AB,H 是垂足,连结 DH.根据圆柱性 质,平面 ABCD⊥平面 ABE,AB 是交线.且 EH 以 EH⊥平面 ABCD. 又 DH 平面 ABCD, 所以 DH 是 ED 在平面 ABCD 上的射影, 平面 ABE,所

从而∠EDH 是 DE 与平面 ABCD 所成的角. 设圆柱的底面半径为 R,则 DA=AB=2R,于是 V 圆柱=2π R3,

VD ? ABE ?

1 2R 2 AD ? S ?ABE ? ? EH. 3 3

由 V 圆柱:VD-ABE=3π ,得 EH=R,可知 H 是圆柱底面的圆心, AH=R, DH= DA2 ? AH 2 ? 5R ∴∠EDH=arcctg

DH =arcctg 5 , EH

24. 本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力, 以及函数的概念、 方程和不等式的解法等基础知识和方法. 解:(1)依题设有 1000(x+t-8)=500 40 ? ? x ? 8? ,
2

化简得

5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.

当判别式△=800-16t2≥0 时, 可得 x=8-

4 2 t± 50 ? t 2 . 5 5

由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:

?0 ? t ? 50 ? ① ? 4 2 50 ? t 2 ? 14 ?8 ? 8 ? t ? 5 5 ? ?0 ? t ? 50 ? ② ? 4 2 50 ? t 2 ? 14 ?8 ? 8 ? t ? 5 5 ?
解不等式组①,得 0≤t≤ 10 ,不等式组②无解.故所求的函数关系式为

4 2 x ?8? t ? 50 ? t 2 5 5
函数的定义域为[0, 10 ]. (2)为使 x≤10,应有 8? 化简得

4 2 t? 50 ? t 2 ≤10 5 5

t2+4t-5≥0.

解得 t≥1 或 t≤-5,由 t≥0 知 t≥1.从而政府补贴至少为每千克 1 元. 25.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问 题和解决问题的能力. (1)证明:设{an}的公比为 q,由题设 a1>0,q>0. (i)当 q=1 时,Sn=na1,从而 Sn· Sn+2- S n?1 =na1· (n+2)a1-(n+1)2 a1
2

2

2 =- a1 <0

(ⅱ)当 q≠1 时, S n ?

a1 1 ? q n ,从而 1? q

?

?

2 Sn· Sn+2- S n ?1

?

a12 1 ? q n 1 ? q n ? 2

?

?1 ? q ?2

??

? ? a ?1 ? q ?
2 1

n ?1 2

?1 ? q ?2

2 n = ? a1 q ? 0.

2 由(i)和(ii)得 Sn· Sn+2- S n ?1 .根据对数函数的单调性,知 2 lg(Sn· Sn+2)<lg S n ?1 ,



lg S n ? lg S n ? 2 ? lg S n ?1 . 2

(2)解:不存在. 证明一:要使

lg?S n ? c ? ? lg?S n? 2 ? c ? ? lg?S n ?1 ? c ? .成立,则有 2

?( S n ? c)(S n ? 2 ? c) ? ( S n ?1 ? c) 2 , ① ? ?S n ? c ? 0.
② 分两种情况讨论: (i)当 q=1 时, (Sn—c)( Sn+2—c) =( Sn+1—c)2 =(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2 = ? a1 <0.
2

可知,不满足条件①,即不存在常数 c>0,使结论成立. (ii)当 q≠1 时,若条件①成立,因为 (Sn—c)( Sn+2—c)-( Sn+1—c)2

?a 1? qn ? ? a 1 ? q n? 2 ? ? a 1 ? q n ?1 ? ? c? ? 1 ? c? ? ? 1 ? c? =? 1 ? 1? q ?? 1 ? q ? ? 1? q ?
=-a1qn[a1-c(1-q)],

?

?

?

?

?

?

2

且 a1qn≠0,故只能有 a1-c(1-q)=0,即 c ? 此时,因为 c>0,a1>0,所以 0<q<1.

a1 1? q

a1 a1 q n 但 0<q<1 时, S n ? ?? ? 0 ,不满足条件②,即不存在常数 c>0,使结论 1? q 1? q
成立. 综合(i)、(ii),同时满足条件①、②的常数 c>0 不存在,即不存在常数 c>0,使

lg?S n ? c ? ? lg?S n? 2 ? c ? ? lg?S n ?1 ? c ? . 2
证法二:用反证法,假设存在常数 c>0,使

lg?S n ? c ? ? lg?S n? 2 ? c ? ? lg?S n ?1 ? c ? , 2
则有

?S n ? c ? 0, ?S ? c ? 0, ? n ?1 ? ?S n ? 2 ? c ? 0, ?( S ? c)(S ? c) ? ( S ? c) 2 . n?2 n ?1 ? n
由④得
2 SnSn+2- S n ?1 =c (Sn + Sn+2-2 Sn+1). ⑤

① ② ③ ④

根据平均值不等式及①、②、③、④知 Sn + Sn+2-2 Sn+1 =(Sn—c)+( Sn+2—c)-2(Sn+1—c) ≥2

?S n ? c??S n?2 ? c? -2( Sn+1—c)=0.

因为 c>0,故⑤式右端非负,而由(1)知,⑤式左端小于零,矛盾.故不存在常数 c>0, 使

lg?S n ? c ? ? lg?S n ? 2 ? c ? =lg( Sn+1—c) 2
26.本小题主要考查直线、椭圆的方程和性 质,曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法,利 用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想

和综合运用知识的能力. 解法一:由题设知点 Q 不在原点.设 P、R、Q 的坐标分别为(xP,yP),(xR,yR),(x, y),其中 x,y 不同时为零. 当点 P 不在 y 轴上时,由于点 R 在椭圆上及点 O、Q、R 共线,得方程组
2 2 ? xR yR ? ?1 ? ? 24 16 ? ? yR ? y ? ? xR x

解得

? 2 48x 2 x ? ? R 2x 2 ? 3y 2 ? ? 2 ? y 2 ? 48 y R ? 2x 2 ? 3y 2 ?





由于点 P 在直线 l 上及点 O、Q、P 共线,得方程组

?xp yp ?1 ? ? ? 12 8 ?y ? p ? y ? x ? xp

24x ? ?x p ? 2x ? 3 y ? 解得 ? ? y ? 24y p ? 2x ? 3y ?





当点 P 在 y 轴上时,经验证①-④式也成立. 由题设|OQ|?|OP|=|OR|2,得
2 2 x 2 ? y 2 ? xP ? yP ?

?x

2 R

2 ? yR

?

2

将①-④代入上式,化简整理得

242 x 2 ? y 2

?2 x ? 3 y ?

?

?

2

2

?

48 x 2 ? y 2 2x 2 ? 3 y 2

?

?

因 x 与 xp 同号或 y 与 yp 同号,以及③、④知 2x+3y>0,故点 Q 的轨迹方程为

?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2
5 2 5 3

? 1 (其中 x,y 不同时为零).

所以点 Q 的轨迹是以(1,1)为中心,长、短半轴分别为 行的椭圆、去掉坐标原点.

10 15 和 且长轴与 x 轴平 2 3

解法二:由题设知点 Q 不在原点.设 P,R,Q 的坐标分别为(xp,yp),(xR,yR),(x, y),其中 x,y 不同时为零. 设 OP 与 x 轴正方向的夹角为α ,则有 xp=|OP|cosα ,yp=|OP|sinα ; xR=|OR|cosα ,yR=|OR|sinα ; x=|OQ|cosα ,y=|OQ|sinα ; 由上式及题设|OQ|?|OP|=|OR|2,得

? ?xP ? ? ? yP ? ? ? ?x 2 ? R ? ? 2 ? yR ? ?

? ? ? ?

OP OQ OP OQ OP OQ OP OQ

x, y, x2 , y2,









由点 P 在直线 l 上,点 R 在椭圆上,得方程组

xP yP ? ? 1, 12 8
2 xR y2 ? R ? 1, 24 16





将①,②,③,④代入⑤,⑥,整理得点 Q 的轨迹方程为

?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2
5 2 5 3

? 1 (其中 x,y 不同时为零).

所以点 Q 的轨迹是以(1,1)为中心,长、短半轴分别为 的椭圆、去掉坐标原点.

10 15 和 且长轴与 x 轴平行 2 3


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