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高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:2.3等比数列 第2课时


2.3 等比数列 第 2 课时

一、选择题 1.在等比数列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,则 a8+a9 等于( A.90 C.70 [答案] D a6+a7 [解析] ∵q2= =2, a4+a5 ∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40. 2.(2014· 重庆理,2)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 [答案] D [解析] 设等比数列的公比为 q, a6 a9 ∵ = =q3, a3 a6 ∴a2 6=a3a9,∴a3,a6,a9 成等比数列,故选 D. 3.等比数列{an}各项为正数,且 3 是 a5 和 a6 的等比中项,则 a1· a2· …· a10=( A.3
9

)

B.30 D.40

)

)

B.3

10

C.311 [答案] B [解析] 由已知,得 a5a6=9, ∴a1· a10=a2· a9=a3· a8=a4· a7=a5· a6=9, ∴a1· a2· …· a10=95=310.

D.312

a2 9 4.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为( a11 A.9 C.2 [答案] D
30 [解析] a3a5a7a9a11=a5 1q =243,

)

B.1 D.3



a2 ?a1q8?2 5 9 = =a1q6= 243=3. a11 a1q10 )

5.已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,则 b5+b9 等于( A.2 C.8 [答案] C
2 [解析] ∵a3a11=a7 =4a7,∵a7≠0,

B.4 D.16

∴a7=4,∴b7=4,∵{bn}为等差数列, ∴b5+b9=2b7=8. a6 6.在等比数列{an}中,an>an+1,且 a7· a11=6,a4+a14=5,则 等于( a16 3 A. 2 1 C. 6 [答案] A
? a11=a4· a14=6 ?a7· [解析] ∵? , ? ?a4+a14=5 ? ? ?a4=3 ?a4=2 解得? 或? . ?a14=2 ? ? ?a14=3

)

2 B. 3 D.6

又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.∴ 二、填空题

a6 a4 3 = = . a16 a14 2

7.(2014· 江苏,7)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________. [答案] 4 [解析] 本题考查等比数列的通项及性质. 设公比为 q,因为 a2=1,则由 a8=a6+2a4 得 q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得 q2=2,所以 a6=a2q4 =4.在等比数列中 an=am· qn
-m

.

a1+a3+a5+a7 1 8.已知等比数列{an}的公比 q=- ,则 等于________. 3 a2+a4+a6+a8 [答案] -3 [解析] a1+a3+a5+a7 a1+a3+a5+a7 = a2+a4+a6+a8 a1q+a3q+a5q+a7q

1 = =-3. q 三、解答题 9.已知数列{an}为等比数列.

(1)若 a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求 an; (2)若 a3a5=18,a4a8=72,求公比 q. [解析] (1)∵a1a2a3=216,∴a2=6, ∴a1a3=36. 又∵a1+a3=21-a2=15, ∴a1、a3 是方程 x2-15x+36=0 的两根 3 和 12. a2 - 当 a1=3 时,q= =2,an=3· 2n 1; a1 1 1 - 当 a1=12 时,q= ,an=12· ( )n 1. 2 2 (2)∵a4a8=a3q· a5q3=a3a5q4=18q4=72, ∴q4=4,∴q=± 2.

一、选择题 1.设{an}是由正数组成的等比数列,公比 q=2,且 a1· a2· a3· …· a30=230,那么 a3· a6· a9· …· a30 等于( A.210 C.216 [答案] B [解析] 设 A=a1a4a7…a28,B=a2a5a8…a29, C=a3a6a9…a30,则 A、B、C 成等比数列, 公比为 q10=210,由条件得 A· B· C=230,∴B=210, ∴C=B· 210=220. 2.如果数列{an}是等比数列,那么(
2 A.数列{an }是等比数列

)

B.220 D.215

)

B.数列{2an}是等比数列 C.数列{lgan}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 [答案] A bn+1 a2 an+1 2 2 n+1 [解析] 设 bn=a2 = 2 =( ) =q , n,则 bn an an 2an+1 ∴{bn}成等比数列; =2an+1-an≠常数; 2an 当 an<0 时 lgan 无意义;设 cn=nan, 则 cn+1 ?n+1?an+1 ?n+1?q = = ≠常数. cn nan n

3.在等比数列{an}中,公比为 q,则下列结论正确的是( A.当 q>1 时,{an}为递增数列 B.当 0<q<1 时,{an}为递增数列 C.当 n∈N+时,anan+2>0 成立 D.当 n∈N+时,anan+2an+4>0 成立 [答案] C

)

[解析] 如等比数列-1,-2,-4,-8,…,的公比 q=2,而该数列为递减数列,排除 A;如等比数 1 1 1 1 列 1, , , ,…,的公比 q= ,而该数列为递减数列,排除 B;如等比数列-1,1,-1,1,-1,…,中 2 4 8 2 a1a3a5<0,排除 D,故选 C. 4.已知 2a=3,2b=6,2c=12,则 a,b,c( A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列 C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A [解析] 解法一:a=log23,b=log26=log2 3+1, c=log2 12=log2 3+2. ∴b-a=c-b. 解法二:∵2a· 2c=36=(2b)2,∴a+c=2b,∴选 A. 二、填空题 5. 公差不为零的等差数列{an}中, 2a3-a2 数列{bn}是等比数列, 且 b7=a7, 则 b6b8=________. 7+2a11=0, [答案] 16
2 [解析] ∵2a3-a2 7+2a11=2(a3+a11)-a7 2 =4a7-a7 =0,

)

∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4. ∴b6b8=b2 7=16. 6.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去 6 则成等比数列,则此未知数 是__________. [答案] 3 或 27
? ?2a=3+b [解析] 设此三数为 3、a、b,则? , 2 ??a-6? =3b ? ?a=3 ?a=15 ? ? 解得? 或? . ?b=3 ? ? ?b=27

∴这个未知数为 3 或 27. 三、解答题 7.{an}为等比数列,且 a1a9=64,a3+a7=20,求 a11. [解析] ∵{an}为等比数列, ∴a1· a9=a3· a7=64,又 a3+a7=20, ∴a3、a7 是方程 t2-20t+64=0 的两个根. ∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4, 当 a3=4 时,a3+a7=a3+a3q4=20, ∴1+q4=5,∴q4=4. 当 a3=16 时,a3+a7=a3(1+q4)=20, 5 1 ∴1+q4= ,∴q4= . 4 4 ∴a11=a3q8=64 或 1. 8.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若 b1+b2+b3=3,b1· b2· b3=-3,求此等比数列的 通项公式 an. [解析] 由 b1+b2+b3=3, 得 log2(a1·a2· a3)=3, ∴a1· a2· a3=23=8, ∵a2 a3,∴a2=2,又 b1· b2· b3=-3, 2=a1· 2 设等比数列{an}的公比为 q,得 log2( )· log2(2q)=-3. q ∴1-(log2q)2=-3,∴log2q=± 2. 1 解得 q=4 或 , 4 ∴所求等比数列{an}的通项公式为 an=a2· qn 2=22n
- -3

或 an=25

-2n

.

2 9.(2013· 全国大纲理,17)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2 ,且 S1,S2,S4 成等比数列,求

{an}的通项公式. [解析] 设{an}的公差为 d.
2 由 S3=a2 2,得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3. 2 由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2 =S1S4.

又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d2=-2d2,所以 d=0,此时 Sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得 d=0 或 d=2.

因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.


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