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河南省郑州市2015年高中毕业班第二次质量预测数学【文】试题及答案


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2015 年高中毕业年级第二次质量预测 文科数学试题卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 B 卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷 时只交答题卡. 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5

分,共 60 分.在每小厄给出的四个选项中.只有 一个符合题目要求. 1.设 i 是虚数单位,复数 z ? A.1 B.

2i ,则|z|= 1? i

2

C. 3

D. 2

2.集合 U={0,1,2,3,4} ,A={1,2} ,B={x ? Z}x2 一 6x+5<0} ,则 C u(AUB)= A.{1,5,6} B.{1,4,5,6} C.{2,3,4} D. (1,6} 3.“a=1"是“直线 ax+y+1=0 与直线(a+2)x-3y-2=0 垂直”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的 m,n 的比 值

m = n

A.1

B.

1 3

C.

3 8

D.

2 9

5.将函数 f (x) = cosx- 3 sinx(x ? R)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度后,所得到 的图象关于原点对称,则 a 的最小值是 A.

? 12

B.

? 6
2

C.

? 3

D、

5? 6

6.已知双曲线的一个焦点与抛物线 x = 24y 的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为 300,则该双 曲线的标准方程为

7. 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, 且 (b-c) (sinB+ sinC)= (a- 3 c) · sinA, 则角 B 的大小为
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A. 300

B. 450

C. 600

D、 1200

8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是

A.

2 2

B、-1

C、0

D. ―1―

2 2

9.若正数 a,b 满足 2+log2 a=3+1og3b=1og6 (a+b),则 A. 36 B. 72 C. 108

1 1 ? 的值为 a b 1 D. 72

10.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为

A. 8 ?

B. 16 ?

C. 32 ?

D. 64 ?

11.已知函数 f(x)= 值范围是 A.[一 1,1) B.[0, 2]

, 函数 g(x)=f(x)一 2x 恰有三个不同的零点,则实数 a 的取 C.[一 2,2) D.[一 1,2)

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12.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? ? ? 的两焦点分别是 Fl,F2,过 F1 的直线交椭圆于 P,Q 两点, a 2 b2

若|PF2|=|F1F2|,且 2|PF1|=3|QF1|,则椭圆的离心率为 A、

3 5

B、

4 5

C、

3 4

D、

3 2 5

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选考题.考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分} 13.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 27a3 一 a6=0,则

S6 = S3

14.如图,y=f(x)是可导函数,直线 l: y=kx+2 是曲线 y= f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),其中 g' (x)是 g(x)的导函数,则 g '(3) =

15.已知实数 x,y 满足

设 b=x-2y,若 b 的最小值为一 2,则 b 的最大值为

16. 如图,矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成 △A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻折过程中,下面四个命题中不正确的是

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①|BM|是定值 ③存在某个位置,使 DE⊥A1 C

②点 M 在某个球面上运动 ④.存在某个位置,使 MB//平面 A1DE

三、解答题《本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、或演算步骤} 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2a.n-2. (I)求数列{ an }的通项公式; (B)设 数 k 的取值范围. ,求使(n-8)bn≥nk 对任意 n ? N*恒成立的实

18.(本小题满分 12 分) 最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施,某教育机构为了解我省广大师生对新高 考改革方案的看法,对某市部分学校 500 名师生进行调查,统计结果如下:

在全体师生中随机抽取 1 名“赞成改革”的人是学生的概率为 0.3,且 x=2y. (I)现从全部 500 名师生中用分层抽样的方法抽取 50 名进行问卷调查,则应抽取“不 赞成改革”的教师和学生人数各是多少? (11)在(I)中所抽取的“不赞成改革”的人中,随机选出三人进行座谈,求至少有一名 教师被选出的概率。
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19.(本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC-A'B'C'侧棱垂直于底面,AB=AC, ∠BAC=900,点 M,N 分别为 A'B 和 B'C'的中点. (I)证明:MN//平面 AA'C'C; (B)设 AB= ? AA',当 A 为何值时,CN⊥平面 A'MN,试证明你的结论.

20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? ? ? ,F1,F2 为左、右焦点,B 为短轴端点,且 S△BF1F2=4,离 a 2 b2

心率为

2 ,O 为坐标原点. 2

(I)求椭圆 C 的方程, (B)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M, N,且满足

OM ? ON ? OM ? ON ?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax-l+lnx,其中 a 为常数. (I)当 时,若 f(x)在区间(0,e)上的最大值为一 4,求 a 的值;

(II)当 a ? ? 时,若函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 e

ln x b ? 存在零点,求实数 b 的取值范围. x 2

请考生在第 22.23.24 三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分,做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4--1:几何证明选讲 奴图,已知圆 O 是△ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是圆 O 的直径.过点 C 作 圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F. (I)求证:AC· BC=AD· AE;
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(II)若 AF=2, CF=2 2 ,求 AE 的长

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 若以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标 方程为 ? sin(? ? 为参数) ,

?
4

)?

2 . t (t 为参数) 2

(I)求曲线 M 和 N 的直角坐标方程, (11)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求 t 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|3x+2| (I)解不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 1 , (B)已知 m+n=1(m,n>0),若 | x ? a | ? f ( x) ? 值范围.

1 1 ? (a ? 0) 恒成立,求实数 a 的取 m n

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数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以, an ? 2 n ( n ? N? ).……… 6 分 (2) bn ? log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ? log 2 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 由 (n ? 8)bn ? nk 对任意 n ? N 恒成立,即实数
*

n(n ? 1) . 2

(n ? 8)( n ? 1) ? k 对 n ? N* 恒成立; 2

1 ( n ? 8)( n ? 1) ,则当 n ? 3 或 4 时, cn 取得最小值为 ? 10 ,所以 k ? ?10 . ……… 12 分 2 x ? 0.3,? x ? 150 ,所以 y ? z ? 60 , 18.解解: (Ⅰ) 由题意 500 50 ? 20 ? 2, 应 抽 取 学 生 人 数 因 为 z ? 2 y , 所 以 y ? 20, z ? 40, 则 应 抽 取 教 师 人 数 500 50 ? 40 ? 4. …… 5 分 500
设 cn ? (Ⅱ)所抽取的“不赞成改革”的 2 名教师记为 a , b ,4 名学生记为 1,2,3,4,随机选出三人的不同选法 有 (a, b,1), (a, b,2), (a, b,3), (a, b,4), (a,1,2), (a,1,3), (a,1,4), (a,2,3), (a,2,4), (a,3,4) ,

(b,1,2)(b,1,3), (b,1,4), (b,2,3), (b,2,4), (b,3,4) , (1,2,3), (1,2,4), (1,3,4), (2,3,4),共 20 种,……… 9 分
至少有一名教师的选法有

(a, b,1), (a, b,2), (a, b,3), (a, b,4), (a,1,2), (a,1,3), (a,1,4), (a,2,3), (a,2,4), (a,3,4) , (b,1,2)(b,1,3), (b,1,4), (b,2,3), (b,2,4), (b,3,4) 共 16 种,
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16 4 ? . …… 12 分 20 5 19.证明(I)取 A?B ? 得中点 E ,连接 ME, NE ,因为 M , N 分别为 A?B 和 B?C ? 的中点, 所以 NE // A?C?, ME // AA? 又因为 A?C ? ? 平面AA?C ?C , A?A ? 平面AA?C ?C ,
至少有一名教师被选出的概率 p ? 所以 ME // 平面AA?C?C , NE // 平面AA?C?C , ……… 5 分

所以 平面MNE // 平面AA?C ?C ,因为 MN ? 平面A?MN , 所以 MN // 平面AA?C ?C ; ……… 6 分 (II)连接 BN ,设 AA? ? a ,则 AB ? ?AA? ? ?a ,

1 2?a, NC ? BN ? a 2 ? ?2 a 2 , 2 因为三棱柱 ABC ? A? B?C? 侧棱垂直于底面, 所以 平面A?B?C ? ? 平面BB?C ?C , 因为 AB ? AC ,点 N 是 B?C ? 的中点,所以 A?N ? 平面BB?C?C , ? CN ? A?N ,……… 9 分 要使 CN ? 平面A?MN , 只需 CN ? BN 即可, 1 2 2 2 2 a 2 ? ?2 a 2) ? 2?2 a 2 ,? ? ? 2 , 所以 CN ? BN ? BC ,即 ( 2 则 ? ? 2 时, CN ? 平面A?MN . ……… 12 分
由题意知 BC ?

x2 y 2 20.解:(1)因为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由题意得 a b
S ?BF1F2 ? 1 c 2 2 2 2 ? 2c ? b ? 4 , e ? ? ,a ? b ?c , 2 a 2
…… 4 分

?a 2 ? 8, x2 y 2 ? ? 1. 解得 ? 2 所以椭圆 C 的方程为 C : 8 4 ?b ? 4,
2 2 2

( 2 )假设存在圆心在原点的圆 x ? y ? r ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点

M, N ,
因为

OM ? ON ? OM ? ON ,所以有 OM ? ON ? 0 ,

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,

? y ? kx ? m ? 当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 。解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8
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得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

……… 6 分

则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0

x1, 2 ?

? 4km ? 16 k 2 m 2 ? 4(1 ? 2k 2 )( 2m 2 ? 8) 2(1 ? 2k 2 )

? x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 8 , x x ? ; 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

要使 OM ? ON ? 0 ,需 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? m2 ? 2 3m2 ? 8 2 2 ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,所以 k ? , 8 ?3m ? 8
2 2

2

2 所以 m ?

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m ? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆的一条切线, 3 3 3

所 以 圆 的 半 径 为 r?

m 1? k 2

, r ?
2

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 , 所 求 的 圆 为 ? , r? 2 3m ? 8 3 3 1? 8

x2 ? y 2 ?

8 , 3

……… 10 分

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 或m ? ? , 3 3

而当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( 与椭圆 ,? )或 8 4 3 , 3 3
…… 12

(?


8 2 6 2 6 ,? ) 满足 OM ? ON ? 0 , 综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? 满足条件. 3 3 3

21. 解: (Ⅰ) 由题意 f ( x ) ? a ?
/

1 1 1 1 / , 令 f () 所以 0 ? ? ? e , x 0 ? 解得 x ? ? 因为 a ? (?? ,? ) , a x e a

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1 1 ,由 f / ( x) ? 0 解得 ? ? x ? e a a 1 1 从而 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ? ) ,减区间为 (? , e) a a 1 1 2 所以, f ( x) max ? f ( ? ) ? ?1 ? 1 ? ln( ? ) ? ?4 , 解得, a ? ?e .……. 5 分 a a ln x b ln x b ? 有实数根, ? 存在零点,即方程 f ( x) ? (Ⅱ)函数 g ( x) ? f ( x) ? x 2 x 2 1 x 由 已 知 , 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 {x | x ? 0} , 当 a ? ? 时 , f ( x) ? ? ? 1 ? ln x , 所 以 e e 1 1 x?e f ?( x) ? ? ? ? ? , e x ex / / 当 0 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, f ( x) ? 0 ,所以, f ( x ) 的单调增区间为 (0, e) ,减区间
由 f / ( x) ? 0 解得 0 ? x ? ? 为 (e,??) , 所以 f ( x) max ? f (e) ? ?1 , 令 h( x ) ? 所以, | f ( x) | ≥1. ……… 9 分

ln x b 1 ? ln x ? ,则 h ?( x) ? . 当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, x 2 x2 从而 h( x) g ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减, 1 b ln x b ? 有实数根, 所以, h( x) max ? h(e) ? ? 要使方程 f ( x ) ? x 2 e 2, 1 b 2 只需 h( x) max ? h(e) ? ? ? 1 即可,则 b ? 2 ? . …12 分 e 2 e
22. (Ⅰ)证明:连结 BE ,由题意知 ?ABE 为直角三角形. 因为 ?ABE ? ?ADC ? 90 , ?AEB ? ?ACB , ?ABE ∽ ?ADC ,
0

F A

AB AE ? 所以 ,即 AB ? AC ? AD ? AE . AD AC
又 AB ? BC ,所以 AC ? BC ? AD ? AE . ……… 5 分

O B E D C

2 B 又 AF ? 2, CF ? 2 2 , 所 以 ( Ⅱ ) 因 为 FC 是 圆 O 的 切 线 , 所 以 F C ? F ?A F,

BF ? 4, AB ? BF ? AF ? 2 ,
因 为 ?A C F ? ? F B C , 又 ?C F B ? ? A F C , 所 以 ?AFC ∽ ?CFB . 所 以

AF AC ? ,得 FC BC

AC ?

AF ? BC ? 2 CF

cos?ACD ?

2 14 AB 4 14 ,? sin ?ACD ? ? sin ?AEB, ? AE ? ? . 4 4 sin ?AEB 7

…… 10 分

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23. (Ⅰ)由 x ? 3 cos? ? sin ? 得 x2 ? ( 3 cos? ? sin ? )2 ? 2 cos2 ? ? 2 3 sin ? cos? ? 1 , 所以曲线 M 可化为 y ? x2 ?1 , x ? [?2,2] , ……2 分 由 ? sin(? ?

?
4

)?

2 2 2 2 t ,得 ? sin ? ? ? cos? ? t, 2 2 2 2

所以 ? sin ? ? ? cos ? ? t ,所以曲线 N 可化为 x ? y ? t .……… 4 分 (Ⅱ)若曲线 M , N 有公共点,则当直线 N 过点 (2,3) 时满足要求,此时 t ? 5 ,并且向左下方平 行运动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,联立 ?

?x ? y ? t ,得 2 ? y ? x ?1

x2 ? x ?1 ? t ? 0 , ? ? 1 ? 4(1 ? t ) ? 0 ,解得 t ? ?

5 5 ,综上可求得 t 的取值范围是 ? ? t ? 5 . 4 4
解得 ?

……… 10 分

24. 解: (I)不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 1 ,即 3x ? 2 ? x ? 1 ? 4 , 当x? ? 当?

2 时,即 ? 3x ? 2 ? x ? 1 ? 4, 3

2 ? x ? 1 时,即 3x ? 2 ? x ? 1 ? 4, 3 当 x ? 1 时,即 3x ? 2 ? x ? 1 ? 4, 无解, 5 1 综上所述 x ? ( ? , ) . ……… 5 分 4 2 1 1 1 1 n m ? 4, (Ⅱ) ? ? ( ? )( m ? n) ? 1 ? 1 ? ? m n m n m n 2 ? ? 2 x ? 2 ? a, x ? ? 3 , ? 2 ? 令 g ( x) ? x ? a ? f ( x) ? x ? a ? 3 x ? 2 ? ??4 x ? 2 ? a, ? ? x ? a, 3 ? ??2 x ? 2 ? a, x ? a, ? ? 2 2 ? x ? ? 时, g ( x ) max ? ? a ,要使不等式恒成立, 3 3 2 10 只需 g ( x ) max ? ? a ? 4 即 0 ? a ? . ……… 10 分 3 3
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5 2 ?x?? , 4 3 2 1 解得 ? ? x ? , 3 2

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