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高中数学奥林匹克竞赛试题及答案


1 求一个四位数,它的前两位数字及后两位数字分别相同,而该数本身等于一个整数的平方. 1956 年波兰. x=1000a+100a+10b+b=11(100a+b) 其中 0<a?9,0?b?9.可见平方数 x 被 11 整除,从而 x 被 11 整除.因此,数 100a+b=99a+(a+b)能被 11 整除, 2 于是 a+b 能被 11 整除.但 0<a+b?18,以 a

+b=11.于是 x=11 (9a+1),由此可知 9a+1 是某个自然数的平方.对 a=1, 2 2,?,9 逐一检验,易知仅 a=7 时,9a+1 为平方数,故所求的四位数是 7744=88 . 2 假设 n 是自然数,d 是 2n 的正约数.证明:n +d 不是完全平方. 1953 年匈牙利. 【证 设 2n =kd,k 是正整数,如果 n +d 是整数 x 的平方,那么 k x =k (n +d)=n (k +2k) 但这是不可能的,因为 k x 与 n 都是完全平方,而由 k <k +2k<(k+1) 得出 k +2k 不是平方数. 3 试证四个连续自然数的乘积加上 1 的算术平方根仍为自然数. 1962 年上海高三决赛题 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 【证】 四个连续自然数的乘积可以表示成 n(n+1)(n+2)(n+3)=(n +3n)(n +8n+2)=(n +3n+1) -1 因此,四个连续自然数乘积加上 1,是一完全平方数,故知本题结论成立. 4 已知各项均为正整数的算术级数,其中一项是完全平方数,证明:此级数一定含有无穷多个完全平方数. 1963 年俄 【证】 设此算术级数公差是 d,且其中一项 a=m (m∈N).于是 a+(2km+dk )d=(m+kd) 对于任何 k∈N,都是该算术级数中的项,且又是完全平方数. 5 求一个最大的完全平方数,在划掉它的最后两位数后,仍得一个完全平方数(假定划掉的两个数字中的一个非零).1964 年俄. 【解】 设 n 满足条件,令 n =100a +b,其中 0<b<100.于是 n>10a,即 n?10a+1.因此 b=n 100a ?20a+1 由此得 20a+1<100,所以 a?4.经验算,仅当 a=4 时,n=41 满足条件.若 n>41 则 n -40 ?42 -40 >100.因此, 2 满足本题条件的最大的完全平方数为 41 =1681. 6 求所有的素数 p,使 4p +1 和 6p +1 也是素数. 1964 年波兰 【解】 当 p≡±1(mod 5)时,5|4p +1.当 p≡±2(mod 5)时,5|6p +1.所以本题只有一个解 p=5. 7 证明存在无限多个自然数 a 有下列性质:对任何自然数 n,z=n +a 都不是素数. 1969 德国. 【证】 对任意整数 m>1 及自然数 n,有 n +4m =(n +2m ) -4m n =(n +2mn+2m )(n -2mn+2m ) 而 n +2mn+2m >n -2mn+2m =(n-m) +m ?m >1 故 n +4m 不是素数.取 a=4?2 ,4?3 ,?就得到无限多个 符合要求的 a. 8 将某个 17 位数的数字的顺序颠倒,再将得到的数与原来的数相加.证明:得到的和中至少有一个数字是偶数. 1970 年苏 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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