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辽宁省大石桥市第二高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题理(新)


大石桥二高中 2015—2016 学年度下学期期中考试 高二数学(理)科试卷
答题时间 120 分钟 试题满分 150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 .若集合 P={-2, 0, 2},i 是虚数单位,则( A.2i∈P B.
2 ∈P i


2

C.( 2 i) ∈P
<

br />D.

2 ∈P i3

2.已知全集 U ? ? 1, 2, 3, 4, 5?,集合 A ? {1, 2, 3} , B ? {2, 4} ,则 (CU A) ? B 为 ( A. {4} ) B. {2, 4, 5} C. {1, 2, 3, 4} D. {1, 2, 4, 5}

3.若 b<a<0,则下列结论不正确的是( ) 2 2 2 A.a <b B.ab<b b a C. + >2 D.|a|-|b|=|a-b| a b 4.若右侧程序框图输出 s 的值为-7,则判断框内可填 ( ) A.i<6 C. i<4 B.i<5 D.i<3

5.用反证法证明命题 : “三角形的内角至多有一个钝角” ,正确的假设是( ) A.三角形的内角至少有一个钝角 B.三角形的内角至少有两个钝角 C.三角形的内角没有一个钝角 D.三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角 6..5 位老师去听同时上的 4 节课,每位老师可以任选其中的一节课,不同的听法有( A. )

54

B.

5? 4 ? 3? 2

C.

45

D. 4 ? 3 ? 2 ? 1

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z=2x+4y 的最小值为 ? x?3 ?
A.5 B.-6 C.10 D.-10

(

)

n(2n 2 ? 1) 8.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? 时,由 n ? k 的假 3
2 2 2 2 2 2 2

设到证明 n ? k ? 1 时,等式左边应添 加的式子是(


1

A. (k ? 1) 2 ? 2k 2 C. (k ? 1)
2

B. (k ? 1) 2 ? k 2 D. (k ? 1)[2(k ? 1) 2 ? 1] )

1 3

9.如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是 ( ? π? A.y=sin?x+ ? 6? ? π? ? B.y=sin?2x- ? 6? ? π ? ? C.y=cos?4x- ? 3? ? π? ? D.y=cos?2x- ? 6? ?

10.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为 偶数” ,则 P( B A) ? A. ( ) C.

1 8

B.

1 2

2 5

D.

1 4
)项

11. (3 x ? )8 (n∈N+)的展开式中含有常数项为第( A.4
3

1 x

B.5
2

C.6

D.7

12.已知 f ( x) ? x ? 3x ? mx ? 1 在 [?2,2] 为单调增函数,则实数 m 的取值范围 为( ) B. m ? 0 C. m ? ?24 D. m ? ?1 A. m ? ?3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 10 13.二项展开式(2x-1) 中 x 的奇次幂项的系数之和为 14.已知 x ? (0, ??) 有下列各式: x ?

1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 , x x 2 2 x


x?

a 27 x x x 27 ? ? ? ? 3 ? 4 成立,观察上面各式,按此规律若 x ? 4 ? 5 ,则正数 a ? 3 x x 3 3 3 x

15.如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种 颜色可供选择,则不同的着方法共有 种? 16.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x(a ? R ) ,
2

3

2 1 4

5

则下列说法正确的是

.

①当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 有零点

②若函数 y ? f ( x) 有零点,则 a ? 0
2

③存在 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 有唯一的零点

④若函数 y ? f ( x) 有唯一的零点,则 a ? 1

三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,要求写出必要的解题和证明过程)

17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tan A = 2 2 (1)求 sin
2

B?C 2

+cos2A 的值; (2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值.

18.对某个品牌的 U 盘进行寿命追踪调查,所得情况如下面频率分布直方图所示. (1)图中纵坐标 y 0 处刻度不清,根据图表所提供的数据还原 y 0 ; (2)根据图表的数据按分层抽样,抽取 20 个 U 盘,寿命为 10 30 万次之间的应抽取几个; (3) 从 (2) 中抽出的寿命落在 10 30 万次之间的元件中任取 2 个元件, 求事件 “恰好有一个寿命为 10 20 万次,,一个寿命为 20 30 万次”的概率.

频率/组距

0.04

0.02 0.01 10 20 30 40 50 60 万次

y0

3

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, M , N 分别是 AB, PC 的中点,若 ?PDA ? 45 ,
?

(1)求证: MN // 平面 PAD 且 MN ? 平面 PCD 。 (2)探究矩形 ABCD 满足什 么条件时,有 PC ? BD

1 11 ? S ? 20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,点 ? n, n ? 在直线 y ? x ? 上. 2 2 ? n ?
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3 k ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,并求使不等式 Tn ? 对一切 n ? N* 都 (2an ? 11)(2an ?1 ? 11) 20

成立的最大正整数 k 的值.

21.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球。乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球。每次游戏从这两个箱子里个随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖。 (每次游戏结 束后将球放回原箱) (1)求在 1 次游戏结束后,? 摸出 3 个白球的概率? ? 获奖的概率? (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X).

22.(12 分)设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性. (Ⅲ) 若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ?[1, 2] , 恒有 取值范围.
4

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求实数 m 的 2

高二数学理科参考答案 选择题:1——5 CBDAB 6——10CBBDD 11——12 BA 填空题:13. 解答题:17. 1-3 2
10

14.

4 4 15.72

16.①③④ ∴ cos A ?

解: (1)? tan ? 2 2, A ? (0, ? )
2

B?C 1 2 ∴ sin ]+(2cos A-1) 2 +cos2A= 2 [1-cos(B+C)
=

1 3

1 1 2 (1+cosA)+(2cos A-1)=- . 2 9

(2)∵

b2 ? c2 ? a2 2 1 2 2 2 2 =cosA= , ∴ bc=b +c -a ≥2bc-a , 2bc 3 3 3 2 9 ∴bc≤ a . 又∵a= 3 ,∴bc≤ . 4 4

当且仅当 b=c=

3 9 9 时,bc= ,故 bc 的最大值是 . 2 4 4

18. 解: (1)? 0.01?10 ? 20y0 ? 0.02?10 ? 0.04?10 ? 1

? y0 ? 0.015 ................................................ 3 分
(2)10~30 万次之间的 U 盘所占频率为 0.01 ?10 ? 0.015 ?10 ? 0.25 设 10~30 万次之间的 U 盘应抽取 x 个,

x ? 0.25 ,? x ? 5 ................ 6 分 20

(3)10~20 万次应抽取 20 ?10 ? 0.01 ? 2 个,设为 a1 , a2 , 20~30 万次应抽取 20 ? 10 ? 0.015 ? 3 个,设为 b1 , b2 , b3 , 寿 命 落 在 10 30 万 次 之 间 的 元 件 中 任 取 2 个 元 件 , 一 切 可 能 结 果 组 成 的 基 本 事 件 空 间 为

(a1 , a2 ) ( , a1 , a3 ) ( , a1 , b1 ) ( , a1 , b2 ) ( , a2 , a3 ) ,? ? ??? ? (a2 , b1 ) ( , a2 , b2 ) ( , a3 , b1 ) ( , a3 , b2 ) ( , b1 , b2 )? ?
“ 抽 取 的 两 个 U 盘 恰 好 有 一 个 寿 命 为 10 20 万 次 , , 一 个 寿 命 为 20 30 万 次 ” 为 事 件 A ,

(a1 , b1 ) ( , a1 , b2 ) ( , a2 , b1 ) ,? ? 6 3 A?? ? , P ( A) ? ? . ....................... 10 分 10 5 (a2 , b2 ) ( , a3 , b1 ) ( , a3 , b2 ) ? ?
19(1)证明:如图,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE。

1 ? E , N 分别 为 PD,PC 的中点,? EN // CD 2 1 又 M 为 AB 的中点,? AM // CD 2

? EN // AM ,? 四边形 A MNE 为平行四边形。
5

? MN // AE ,? MN // 平面PAD

----------4 分

? PA ? 平面ABCD, ?PDA ? 45?
? ?PAD为等腰直角三角形。 ? AE ? PD
又? CD ? AD, CD ? PA, AD ? PA ? A

? CD ? 平面PAD, 而AE ? 平面PAD, ? CD ? AE
又 CD ? PD ? D,? AE ? 平面PCD,? MN ? 平面PCD -----------8 分 (2)若 PC ? BD ,又 PA ? BD , PA ? PC ? P

? BD ? 平面PAC ? BD ? AC 即矩形 ABCD 的对角线互相垂直,
此时矩形为正方形。 即当矩形 ABCD 为正方形时,满足 PC ? BD ----------------12 分

20.(Ⅰ)由题意,得

Sn 1 11 1 11 ? n ? ,即Sn ? n2 ? n. n 2 2 2 2

????2 分

11 ? ? 1 11 ?1 ? 故当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? n 2 ? n ? ? ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? ? n ? 5. 2 2 2 2 ? ? ? ?
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 6 ? 1 ? 5 , (Ⅱ) bn ? 所以

????5 分

an ? n ? 5(n ? N* ) .

????6 分 ????8 分
3? 1 ? 3n

3 3 3? 1 1 ? ? ? ? ? ?. (2an ? 11)(2an ?1 ? 11) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
3 ?? 1? ?1 1? ? 1 1 ??

? 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .?10 分 ? ? ? ?1 ? ?? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

由于 Tn ?1 ? Tn ? 3(

n ?1 n 3 ? ) ? ? 0 ,因此 Tn 单调递增, 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

故 (Tn ) min ? 1.令 1 ?

k ,得 k ? 20 ,所以 kmax ? 19 . 20

????12 分

21.

(1) p1 ?

1 5

p2 ?

7 ????6 分 10

(2)分布列略, E ? X ? ?

7 ????12 分 5

22.解:(Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) . 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ( x) ? 1 ?
'

1 x ?1 ? , x x

' ' 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0.

6

? f ( x)极小值 =f (1) ? 1, 无极大值.(4 分)
(Ⅱ) f ( x) ? (1 ? a ) x ? a ?
'

1 (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 ? x x

?


(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 x

(5 分)

1 (1 ? x) 2 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ( x) ? ? ? 0, f ( x) 在定义域上是减函数; a ?1 x

1 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 或 x ? 1; a ?1 a ?1 1 ' ? x ? 1. 令 f ( x) ? 0, 得 a ?1 1 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 1 或 x ? ; 当 a ?1 a ?1 1 ' . 令 f ( x) ? 0, 得 1 ? x ? a ?1
当 综上,当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数;

1 1 ) 和 (1, ??) 单调递减,在 ( ,1) 上单调递增; a ?1 a ?1 1 1 ) 上单调递增; , ?? ) 单调递减,在 (1, 当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 和 ( a ?1 a ?1
当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, (8 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (3, 4) 时, f ( x) 在 [1, 2] 上单减,

f (1) 是最大值, f (2) 是最小值.

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ?

a 3 ? ? ln 2 , 2 2

(10 分)

?

a 3 a ?3 (a 2 ? 1) m ? ln 2 ? ? ? ln 2 ,而 a ? 0 经整理得 m ? 2 , 2 2 a ?1 2
1 a ?3 1 ? ,所以 m ? . 2 15 a ? 1 15
(12 分)

由3 ? a ? 4得0 ?

7


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