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3.2 一元二次不等式及其解法


问题: 某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供 选择,公司 A 每小时收费 1.5 元 ;公司 B 的收费原则如图所示 ,即在用 户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元 , 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时 ,按 17 小时计 算),请问该同学应选择哪家公司. 分析: 假设一次上网 x 小时

( 0 ? x ? 17, x ? N * ) 公司 A 收取的费用为 : 1.5x (元) 公司 B 收取的费用为: x{1.7 ? [1.7 ? ( x ? 1) 0.1]} (元) 2 x(35 ? x) 即 (元 ) 20

x(35 ? x) 如果选择 A 公司,则 >1.5x (0<x<17)要成立. 20 整理得 x 2 ? 5x ? 0

教材 P76

考察下面含未知数x的不等式:
15x2+30x-1>0 和 3x2+6x-1≤0. 这两个不等式有两个共同特点: (1)含有一个未知数x; (2)未知数的最高次数为2. 一般地,含有一个未知数,且未知

数的最高次数为2的整式不等式,叫做一
元二次不等式。

3.2一元二次不等式 及其解法

(2)一元二次不等式的解集 一般地,使某个一元二次不等式 成立 的x的 值 叫做这 个不等式的解,一元二次不等式的 所有解 组成的集合叫做 这个一元二次不等式的 解集.

一元二次函数、一元二次方程、与一元二次 不等式的关系 方程 不等式 函数 2 2 2 x ? 5x ? 0 x ? 5x ? 0 f ( x) ? x ? 5 x
y

方程的解

不等式的解集

x1 ? 0, x2 ? 5
y>0 y>0
O

? x x ? 0或x ? 5?
x2 ? 5 x ? 0
不等式的解集

? x 0 ? x ? 5?

y<0

5

x

问题:
2

(1)如何解一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
(2)二次函数y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是
2

什么曲线?
(3)一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的
2

解与二次函数y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象
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有什么联系?

一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解实
2

际上就是二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

与x轴交点的横坐标。

下面我们来研究如何应用二次函数的图象

来解一元二次不等式。
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首先,我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种:

(1)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2
2

(2)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) (3)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(4)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2
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设f(x)=ax2+bx+c (a>0),且设方程 f(x)=0在△>0时的两个根分别是x1、x2, 且x1<x2。

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判别式 △=b2-4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象

△>0
y x1 O

△=0
y

△<0
y

x2 x
O x1 x O x

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实 有两相等实根 b 根 x1=x2= ? 2a x1,x2 (x1<x2)

没有实根 R

ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或x>x2} {x|x≠ ? (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

b } 2a

{x|x1<x<x2}

Φ

Φ

这张表是我们今后求解一元二 次不等式的主要工具,必须熟练 掌握,其关键是抓住相应的一元 二次函数的图象。

记忆口诀:

大于0取两边, 小于0取中间.

填写上表的依据是二次函数的图象,这实际 上是一种数形结合的思想。 由此我们可以得出解一元二次不等式的一般 步骤: 一看:看二次项系数是否为正,若为 负化为正。(对不等式变形,使一端 为0) 二算:算△及对应方程的根。 三写:由对应方程的根,结合不等号 的方向,根据函数图象写出不等式的 解集。

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思考
1 对于ax2+bx+c 0(a<0)呢?
2 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的解集与 2 不等式

>

2 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集有 不等式

差异吗?

一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
y

一元二次函数
??0

f (x)=ax 2 ? bx ? c(a ? 0)

? x1} ? x2 {R x |x x1或 ?x ax 2 ? bx ? c ? 0的解 x
O

x1

x1=x2

x2

x

ax 2 ? bx ? c ? 0的解 x ? 1? x ? x 2 ?

一元二次不等式的解法

【例1】 求下列一元二次不等式的解集: (1)2x2-3x-2>0; (2)x2-3x+5>0; (3)-6x2-x+2≥0; (4)-4x2≥1-4x; (5)2x2-4x+7<0.

再次强调注意公式口
诀的大前提:

a>0

1.不等式 ax2+2x-3>0 一定表示一个一元二次不等式 吗?

提示:不一定.当a≠0时表示一个一元二次不等 式.当a=0时表示一个一元一次不等式.

二次方程,二次函数,二次不等式间的关系

【例 2】

若不等式 ax2 + bx + c>0 的解集为 {x| -

3<x<4},求不等式 bx2+2ax-c-3b<0 的解集.

【解】 ∵ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4}, ∴a<0 且-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根.
b -3+4=- , a 由韦达定理得 c -3×4= , a b=-a, 即 c=-12a.

∴不等式bx2+2ax-c-3b<0即为-ax2+2ax +15a<0,即x2-2x-15<0. 故所求的不等式的解集为{x|-3<x<5}.

含参数的一元二次不等式的解法

【例 3】 解下列关于 x 的不等式: (1)x2-(a2+a)x+a3>0;

【解】 (1)原不等式化为(x-a)(x-a2)>0 ①当a2-a>0,即a>1或a<0时, 原不等式的解为x>a2或x<a. ②当a2-a<0,即0<a<1时, 原不等式的解为x<a2或x>a; ③当a2-a=0,即a=0或a=1时, 原不等式的解为x≠a.

2.解含有参数的一元二次型的不等式的注意事项 (1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类 讨论; (2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大 于零)后,再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨 论; (3)如果判别式大于零,但两实根的大小还不能确定, 此时再以两实根的大小作为分类标准进行分类讨论.

分式不等式



x?3 ?0 x?2

分子、分母都是整式,并且分母含有未知数 的不等式叫做分式不等式.

分式不等式的解法 先整理成标准型 式来解; f ?x ? (1) >0?f (x )·g(x )>0; g?x ? f ?x ? (2) <0?f (x )·g(x )<0; g?x ? f ?x ?·g?x ?≥0, f ?x ? (3) ≥0? g?x ?≠0; g?x ? f ?x ?·g?x ?≤0, f ?x ? (4) ≤0? g?x ?≠0. g?x ? f ?x ? f ?x ? >0(<0)或 ≥0(≤ 0),再化成整式不等 g?x ? g?x ?

分式不等式的解法

【例1】

解下列不等式.

2x-1 2-x (1) ≥0;(2) >1. 3x+1 x+3 【分析】 不等式组. 等价转化为一元二次不等式或一元一次

一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为 R 的情况, ? ?a>0, ? 2 ? Δ<0. 即 ax +bx +c>0(a≠0)恒成立?? _____ ? ?a<0, ? 2 Δ<0. ? ax +bx +c<0(a≠0)恒成立?? _______

(2)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即: k≥f(x)(k>f(x))恒成立?k≥f(x)max(k>f(x)max);k≤f(x)(k<f(x)) 恒成立?k≤f(x)min(k<f(x)min).

不等式的恒成立问题

【例 2】 关于 x 的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

【解】?若a2-1=0,即a=±1时, 若a=1,不等式变为-1<0,解集为R; ∴a=1时满足条件. ?若a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式解集为R的条件是
a2-1<0, Δ=?a-1?2+4?a2-1?<0. 3 解得- <a<1. 5 3 综上所述,当- <a≤1 时,原不等式解集为全体实数. 5

1 若 a=-1,不等式变为 2x-1<0,解集为{x|x< }. 2

一元二次不等式的实际应用

某企业上年度的年利润为 200 万元, 本年度为适应市场 需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本,投入成本增 加的比例为 x(0<x<1).现在有甲、乙两种方案可供选择,通 过市场调查后预测,若选用甲方案,则年利润 y 万元与投入 成本增加的比例 x 的函数关系式为 y=f(x)=-20x2+ 60x+ 200(0<x<1);若选用乙方案,则 y 与 x 的函数关系式为 y= g(x)=-30x2+65x+200(0<x<1).试讨论根据投入成本增加 的比例 x,如何选择最适合的方案?

一元二次方程根的分布问题 一元二次方程 f(x) = ax2+ bx + c= 0 的根的分布范围问 题.一般从以下三个方面考虑: (1)判别式;(2)区间端点函数值的正负; b (3)对称轴 x=- 与区间端点的关系. 2a

(1)方程 f(x)=0 在区间(k,+∞)内有两个实根的条件是 Δ≥0, b - >k, 2a f?k?>0 Δ≥0, 也可写成 ?x1-k??x2-k?>0, ?x1-k?+?x2-k?>0

.

a>0 a<0

一元二次方程根的分布问题

【例 4】 关于 x 的方程 x2-2(m+2)x+m2-1=0. (1)m 为何实数时,方程有两正实数根?

【解】 (1)设f(x)=x2-2(m+2)x+m2-1, 因为方程有两正实数根,所以函数图象如图甲所示,
Δ≥0, 则应满足 m+2>0, f?0?=m2-1>0,
5 解得- ≤m<-1 或 m>1, 4 5 - ,-1 即 m 的取值范围是 4 ∪(1,+∞).

(2)方程 f(x)=0 有一根大于 k, 另一根小于 k 的条件是 f(k)<0;

a>0

a<0

关于x的方程x2-2(m+2)x+m2-1=0

(2)m为何实数时,方程有一正实数根、一负实数根?

(2)因为方程有一正实数根、一负实数根,所以相应函数图 象如图乙所示, 由题意,得f(0)<0,即m2-1<0,

解得-1<m<1,即m的取值范围是(-1,1).

已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个根,一个 根小于1,一个根大于1,求实数k的取值范围.

解:令 f(x)=2kx2-2x-3k-2.由已知,方程 2kx2-2x- 3k-2=0 的两根一个大于 1,一个小于 1.

①若k>0,则f(1)<0,即2k-2-3k-2<0, ∴k>-4.又k>0,∴k>0. ②若k<0,则f(1)>0,即2k-2-3k-2>0, ∴k<-4.又k<0,∴k<-4. 综合①②可知k的取值范围为k>0或k<-4.

(3)方程f(x)=0在区间(k1,k2)内有两个实根的条件是 ?Δ≥0, ? ?k1<- b <k2, 2a ? ?f?k1?>0, ? ?f?k2?>0.
(4)方程f(x)=0在区间(k1,k2)外有两个不等实根的条件
? ?f?k1?<0, 是? ? ?f?k2?<0.

对于非以上四种情况的根的分布问题,可以类比以上 问题去找条件.


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