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2015高中数学 第一章 解三角形学案 新人教A版必修5


2015 高中数学 第一章 解三角形学案 新人教 A 版必修 5
_1.1 正弦定理和余弦定理

1.1.1 正弦定理

正弦定理 [提出问题] 如图,在 Rt△ABC 中,A=30°,斜边 c=2, 问题 1:△ABC 的其他边和角为多少? 提示:∠B=60°,∠C=90°,a=1,b= 3. 问题 2:试计算 , , 的值,三者有何关系? sin A sin B sin C 提示:

a

b

c

b 3 c =2, = =2, =2,三者的值相等. sin A sin B sin 60° sin C

a

问题 3:对于任意的直角三角形是否也有类似的结论?

提示:是.如图 sin A= , ∴ =c.sin B= ,∴ =c. sin A c sin B = = . sin A sin B sin C

a c

a

b

b

∵sin C=1,∴

a

b

c

问题 4:在钝角△ABC 中,B=C=30°,b= 3,试求其他边和角. 提示:如图,△ACD 为直角三角形,∠C=30°

AC= 3,则 AD=

3 3 ,CD= , 2 2

BC=3.AB= 3,∠BAC=120°.
问题 5:问题 4 中所得数字满足问题 3 中的结论吗? 提示:满足. 问题 6:若是锐角三角形上述结论还成立吗?

1

提示:都成立. [导入新知] 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 = = . sin A sin B sin C

a

b

c

2.解三角形 一般地,把三角形的三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素,已知三 角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. [化解疑难] 对正弦定理的理解 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式, 它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.

已知两角及一边解三角形 [例 1] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,求 A,b,c. [解] A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由 = 得, sin B sin A

b

a

asin B 8?sin 60° a c b= = =4 6,由 = 得, sin A sin 45° sin A sin C
8? asin C 8?sin 75° c= = = sin A sin 45° 2+ 6 4 2 2

=4( 3+1).

∴A=45°,b=4 6,c=4( 3+1). [类题通法] 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.

2

注意:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特 殊角转化为特殊角的和或差,如 75°=45°+30°),再根据上述思路求解. [活学活用] 1.在△ABC 中,已知 c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形. 解:∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°. 由 由

a c csin A 10?sin 45° = 得 a= = =10 2. sin A sin C sin C sin 30° c csin B 10?sin 105° = 得 b= = =20sin 75°, sin B sin C sin C sin 30° b

∵sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° = 2+ 6 , 4 2+ 6 =5 2+5 6. 4

∴b=20?

已知两边及一边的对角解三角形

[例 2] 在△ABC 中,已知 c= 6,A=45°,a=2,解这个三角形. [解] ∵ = ,∴sin C= sin A sin C ∴C=60°或 C=120°. 当 C=60°时,B=75°,b=

a

c

csin A 6?sin 45° 3 = = , a 2 2

csin B 6sin 75° = = 3+1; sin C sin 60° csin B 6sin 15° = = 3-1. sin C sin 120°

当 C=120°时,B=15°,b=

∴b= 3+1,B=75°,C=60°或 b= 3-1,B=15°,C=120°. [类题通法] 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦 值可求两个角,要分类讨论. [活学活用] 2.在△ABC 中,若 c= 6,C= π ,a=2,求 A,B,b. 3
3

解:由

= ,得 sin A= sin A sin C

a

c

asin C 2 = . c 2

π 3 ∴A= 或 A= π . 4 4 又∵c>a,∴C>A, π ∴只能取 A= , 4 π π 5π csin B ∴B=π - - = ,b= 3 4 12 sin C 6?sin = π sin 3 5π 12

= 3+1.

判断三角形的形状 [例 3] 在△ABC 中,sin A=sin B+sin C,且 sin A=2sin B?cos C.试判断△ABC 的形状. [解] 由正弦定理,得 sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R ∵sin A=sin B+sin C, ∴? ? =? ? +? ? , ?2R? ?2R? ?2R? 即 a =b +c ,故 A=90°. ∴C=90°-B,cos C=sin B. ∴2sin B?cos C=2sin B=sin A=1. ∴sin B= 2 .∴B=45°或 B=135°(A+B=225°>180°,故舍去). 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a

b

c

? a ?2 ? b ?2 ? c ?2

∴△ABC 是等腰直角三角形. [类题通法] 1.判断三角形的形状,可以从考查三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手, 从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大 小,从而作出准确判断. 2.判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三 角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区 别. [活学活用] 3.在△ABC 中,若 b=acos C,试判断该三角形的形状.

4

解:∵b=acos C, = =2R.(2R 为△ABC 外接圆直径) sin A sin B ∴sin B=sin A?cos C. ∵B=π -(A+C),∴sin (A+C)=sin A?cos C. 即 sin Acos C+cos Asin C=sin A?cos C, ∴cos Asin C=0, π ∵A、C∈(0,π ),∴cos A=0,∴A= , 2 ∴△ABC 为直角三角形.

a

b

1.警惕三角形中大边对大角 [典例] 在△ABC 中,已知 a=2 3,b=2,A=60°,则

B=________.
sin A sin 60° 1 [解析] 由正弦定理,得 sin B=b? =2? = .∵0°<B<180°,∴B a 2 2 3 =30°, 或 B=150°.∵b<a, 根据三角形中大边对大角可知 B<A, ∴B=150°不符合条件, 应舍去,∴B=30°. [答案] 30° [易错防范] 1 1.由 sin B= 得 B=30°,或 150°,而忽视 b=2<a=2 3,从而易出错. 2 2.在求出角的正弦值后,要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍. [成功破障] 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B, C 所对应的边,且 b=6,a=2 3,A=30°,求

ac 的值.
解:由正弦定理 = 得 sin A sin B sin B=

a

b

bsin A 6sin 30° 3 = = . a 2 2 3

由条件 b=6,a=2 3,b>a 知 B>A.

5

∴B=60°或 120°. (1)当 B=60°时,C=180°-A-B =180°-30°-60°=90°. 在 Rt△ABC 中,C=90°,a=2 3,b=6,c=4 3, ∴ac=2 3?4 3=24. (2)当 B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°, ∴A=C,则有 a=c=2 3. ∴ac=2 3?2 3=12.

[随堂即时演练] 1.(2012?广东高考)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2 )

BC AC 3 2 AC 3 2 2 解析: 选 B 由正弦定理得: = , 即 = , 所以 AC= ? sin A sin B sin 60° sin 45° 2 3 2
=2 3,故选 B. 2.在△ABC 中,a=5,b=3,C=120°,则 sin A∶sin B 的值是( A. C. 5 3 3 7 B. D. 3 5 5 7 )

答案:A 3.在△ABC 中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin C,则△ABC 是________三角 形. 解析:由已知得 sin A-sin B=sin C,根据正弦定理知 sin A= ,sin B= ,sin 2R 2R
2 2 2 2

a

b

c C= , 2R
所以? ? -? ? =? ? , ?2R? ?2R? ?2R?

? a ?2 ? b ?2 ? c ?2

6

即 a -b =c ,故 b +c =a .所以△ABC 是直角三角形. 答案:直角 π 4. (2012?北京高考)在△ABC 中, 若 a=3, b= 3, ∠A= , 则∠C 的大小为________. 3

2

2

2

2

2

2

解析:由正弦定理可知 sin B= 以∠C=π -∠A-∠B=π - π 答案: 2

bsin A = a

3sin 3

π 3

1 π 5π = ,所以∠B= 或 (舍去),所 2 6 6

π π π - = . 3 6 2

5.不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=5,b=4,A=120°; (2)a=7,b=14,A=150°; (3)a=9,b=10,A=60°. 解:(1)sin B=

bsin 120° 4 3 3 = ? < , a 5 2 2

所以△ABC 有一解. (2)sin B= (3)sin B=

bsin 150° =1,所以△ABC 无解. a

bsin 60° 10 3 5 3 3 5 3 = ? = ,而 < <1,所以当 B 为锐角时,满足 sin a 9 2 9 2 9

B=

5 3 的 B 的取值范围为 60°<B<90°. 9 当 B 为钝角时,有 90°<B<120°,也满足 A+B<180°,所以△ABC 有两解.

[课时达标检测] 一、选择题 1.在△ABC 中,下列式子与 A. C. sin A 的值相等的是(

a

)

b c
sin C

B. D.

sin B sin A

c
sin C

c

解析:选 C 由正弦定理得

a c sin A sin C = ,所以 = . sin A sin C a c
)

2.(2013?浏阳高二检测)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A 与 B 的大小关系为(

7

A.A>B C.A≥B

B.A<B D.A、B 的大小关系不确定

解析:选 A ∵sin A>sin B,∴2Rsin A>2Rsin B,即 a>b,故 A>B. 3. 一个三角形的两个角分别等于 120°和 45°, 若 45°角所对的边长是 4 6, 那么 120° 角所对边长是( A.4 C.4 3 ) B.12 3 D.12

x 4 6 解析: 选 D 若设 120°角所对的边长为 x, 则由正弦定理可得: = , sin 120° sin 45°
4 6?sin 120° 于是 x= = sin 45° 4 6? 2 2 3 2

=12,故选 D.

4.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos A= 2a, 则 =(

2

b a

) B.2 2 D. 2
2 2

A.2 3 C. 3

解析:选 D 由正弦定理,得 sin Asin B+sin Bcos A= 2sin A, 即 sin B?(sin A+cos A)= 2sin A.
2 2

b sin B 所以 sin B= 2sin A.∴ = = 2. a sin A
5.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( A.在△ABC 中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC 中,若 sin 2A=sin 2B,则 a=b C.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A >B,若 A>B,则 sin A>sin B 都成立 )

a b+c D.在△ABC 中, = sin A sin B+sin C
解析:选 B 由正弦定理易知 A,C,D 正确.对于 B,由 sin 2A=sin 2B,可得 A=B, π 或 2A+2B=π ,即 A=B,或 A+B= , 2 ∴a=b,或 a +b =c ,故 B 错误. 二、填空题 6.在△ABC 中,若 a=14,b=7 6,B=60°,则 C=________.
2 2 2

8

解析:由正弦定理知 ∴sin A=

= ,又 a=14,b=7 6,B=60°, sin A sin B

a

b

asin B 14sin 60° 2 = = ,∵a<b,∴A<B, b 2 7 6

∴A=45°,∴C=180°-(B+A)=180°-(60°+45°)=75°. 答案:75° 7.在△ABC 中,B=30°,C=120°,则 a∶b∶c=________. 解析:A=180°-B-C=30°,由正弦定理得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C, 即 a∶b∶c=sin 30°∶sin 30°∶sin 120° =1∶1∶ 3. 答案:1∶1∶ 3 8.在△ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC=7,则 sin B=________.

解析:由正弦定理,得 sin C= =

AB?sin A BC

5sin 120° 5 3 = . 7 14

11 2 可知 C 为锐角,∴cos C= 1-sin C= . 14 ∴sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C) 3 3 =sin 60°?cos C-cos 60°?sin C= . 14 3 3 答案: 14 三、解答题 9.(2011?安徽高考)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,

b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高.
解:由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π -A,得 1 1-2cos A=0,所以 cos A= , 2 sin A= 3 . 2

9

再由正弦定理,得 sin B=

bsin A 2 = . a 2

π 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B< ,从而 2 cos B= 1-sin B=
2

2 . 2 2 3 1 6+ 2 ?( + )= . 2 2 2 4 3+1 . 2

由上述结果知 sin C=sin(A+B)=

设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsin C=

a2sin B b2sin A 10.在△ABC 中,已知 = ,试数列△ABC 的形状. cos B cos A
解:∵
2

a2sin B b2sin A = ,a=2Rsin A,b=2Rsin B, cos B cos A
2 2 2



4R sin Asin B 4R sin Bsin A = . cos B cos A

又∵sin Asin B≠0, ∴sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B, ∴2A=2B,或 2A+2B=π , π 即 A=B,或 A+B= . 2 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

1.1.2 余弦定理

余弦定理 [提出问题] 在△ABC 中,若 AB=2,AC=3,A=60°. 问题 1:这个三角形确定吗? 提示:确定. 问题 2:你能利用正弦定理求出 BC 吗? 提示:不能
10

问题 3:能否利用平面向量求边 BC?如何求得? 提示:能. ∵ BC = BA + AC

??? ?

??? ?

??? ?

∴ BC = BA + AC +2 BA ? AC
2 2 2

???? ?

????

???? ?

??? ?

??? ?

= BA + AC -2 BA AC cos A =4+9-2?2?3cos 60° =7 ∴ BC = 7 问题 4:利用问题 3 的推导方法,能否推导出用 b,c,A 表示 a? 提示:能. [导入新知] 余弦定理 余弦 定理

????

2

???? ?

2

???? ???? ?

???? ?

a2=b2+c2-2bccos_A,
公式表达

b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C

语言叙述

三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

余弦 定理 推论

b2+c2-a2 cos A= , 2bc
cos B=

a2+c2-b2 , 2ac a2+b2-c2 2ab

cos C=

[化解疑难] 对余弦定理的理解 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征:“平方”、“夹角”、“余弦”. (3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式, 它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.

11

已知三角形的三边解三角形 [例 1] 在△ABC 中,若 a∶b∶c=1∶ 3∶2,求 A,B,C. [解] 由于 a∶b∶c=1∶ 3∶2, 可设 a=x,b= 3x,c=2x.

b2+c2-a2 3x2+4x2-x2 3 由余弦定理的推论,得 cos A= = = ,故 A=30°. 2bc 2 2? 3x?2x
1 同理可求得 cos B= ,cos C=0,所以 B=60°,C=90°. 2 [类题通法] 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得 的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求三个角的余弦,进而求三个角. [活学活用] 1.边长为 5,7,8 的三角形中,最大角与最小角的和是________. 解析:设中间角为 θ ,由于 8>7>5,故 θ 的对边的长为 7,由余弦定理,得 cos θ 5 +8 -7 1 = = .所以 θ =60°,故另外两角和为 180°-60°=120°. 2?5?8 2 答案:120° 已知三角形的两边及其夹角解三角形 [例 2] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,c=4( 3+1),解此三角形. [解] 由余弦定理得: b = a + c - 2accos B = 8 + [4( 3 + 1)] -2?8?4( 3 +
2 2 2 2 2 2 2 2

1)?cos 60° 1 =64+16(4+2 3)-64( 3+1)? =96, 2 ∴b=4 6.

b2+c2-a2 96+16? 3+1?2-64 2 法一:由 cos A= = = , 2bc 2 2?4 6?4? 3+1?
∵0°<A<180°,∴A=45°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.

a b 8 4 6 法二:由正弦定理 = ,∴ = , sin A sin B sin A sin 60°
∴sin A= 2 ,∵b>a,c>a, 2
12

∴a 最小,即 A 为锐角. 因此 A=45°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. [类题通法] 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边, 其余角的求解有两种思路: 一是利用余弦定理的推论求出 其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解. 若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题(在(0, π )上,余弦值所对角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好. [活学活用] 2.在△ABC,已知 a=2 2,b=2 3,C=15°,解此三角形. 解:c =a +b -2abcos C=(2 2) +(2 3) -2?2 2?2 3?cos(45°-30°) =8-4 3 =( 6- 2)
2 2 2 2 2 2

∴c= 6- 2. 法一:由余弦定理的推论得 cos A= =

b2+c2-a2 2bc
2 2 2

?2 3? +? 6- 2? -?2 2? 2?2 3?? 6- 2?



2 . 2

∵0°<A<180°, ∴A=45°, 从而 B=120°. 法二:由正弦定理得

sin A=

asin C = c

2 2?

6- 2 4

6- 2



2 . 2

∵a<b, ∴A<B, 又 0°<A<180°, ∴A 必为锐角, ∴A=45°,从而得 B=120°. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 [例 3] 在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30°,求角 A、角 C 和边 a.
13

[解] 法一:由余弦定理 b =a +c -2accos B, 得 3 =a +(3 3) -2a?3 3?cos 30°, ∴a -9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30°, ∴C=120°. 当 a=6 时,由正弦定理得 1 6? 2 asin B sin A= = =1. b 3 ∴A=90°, ∴C=60°. 1 3 3 法二:由 b<c,B=30°,b>csin 30°=3 3? = 知本题有两解. 2 2 1 3 3? 2 csin B 3 由正弦定理得 sin C= = = , b 3 2 ∴C=60°或 120°, 当 C=60°时,A=90°,△ABC 为直角三角形. 由勾股定理得 a= b +c = 3 +?3 3? =6, 当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形, ∴a=3. [类题通法] 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法 可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍), 再利用正弦定理求其他的 两个角; 也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍), 再利用三角形内角和定理求出第 三个角,最后再利用正弦定理求出第三边. [活学活用] 3 3.已知:在△ABC 中,cos A= ,a=4,b=3,则 c=________. 5 解析:A 为 b,c 的夹角,由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 3 2 ∴16=9+c -6? c, 5 整理得 5c -18c-35=0. 7 解得 c=5 或 c=- (舍). 5 答案:5
14
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

判断三角形的形状 [例 4] 在△ABC 中,若 acos A+bcos B=ccos C,试判断△ABC 的形状.

b2+c2-a2 a2+c2-b2 [解] 由余弦定理可得 a? +b? 2bc 2ac
=c?

a2+b2-c2 2ab

等式两边同乘以 2abc 得

a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2),
整理化简得 a +b -2a b =c , ∴(a -b ) =c . 因此有 a -b =c 或 b -a =c . 即 a =b +c 或 b =a +c 故△ABC 为直角三角形. [类题通法] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考, 可用正、 余弦定理将已知条件转 化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状,也 可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内 角之间的关系,从而判断三角形形状. [活学活用] 4.在△ABC 中,若 cos A= sin B ,试判断其形状. sin C
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4

sin B b b +c -a b 解:由 cos A= 得 cos A= ,即 = , sin C c 2bc c ∴b +c -a =2b ,即 a +b =c , 因此△ABC 是以 C 为直角的直角三角形.
2 2 2 2 2 2 2

1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长 [典例]如图所示,在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA =60°,∠BCD=135°,求出 BC 的长. [解题流程]

15

[规范解答] 设 BD=x.在△ABD 中,根据余弦定理,AB =AD +BD -2AD?BDcos∠BDA,∴14 =10 +x -2?10?xcos 60°, 即 x -10x-96=0, 解得 x1=16,x2=-6(舍去),∴BD=16. ∵AD⊥CD,∠BDA=60°,∴∠CDB=30°. 在△BCD 中,由正弦定理, = , sin∠CDB sin∠BCD 16sin 30° ∴BC= =8 2. sin 135° [名师批注]
2 2 2 2 2 2 2

BC

BD

将四边形 ABCD 分解为两个△ABD 和△BCD, 利用余弦定理列出关于 x 的一元二次方程, 化简方程时易出错,应注意步骤及计算的准确性.

由 AD⊥CD,∠BDA=60°得∠CDB=30°,学生有时不易想到.

[活学活用] 如图所示,在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求

AB.
解:在△ADC 中,cos C=

AC2+DC2-AD2 72+32-52 11 = = . 2?AC?DC 2?7?3 14

5 3 AC AB 又∵0°<C<180°,∴sin C= .在△ABC 中, = , 14 sin B sin C sin C 5 3 5 6 ∴AB= ?AC= ? 2?7= . sin B 14 2

16

[随堂即时演练] 1.在△ABC 中,已知 A=30°,且 3a= 3b=12,则 c 的值为( A.4 C.4 或 8 B.8 D.无解
2 2 2

)

解析: 选 C 由 3a= 3b=12, 得 a=4, b=4 3, 利用余弦定理可得 a =b +c -2bccos

A,即 16=48+c2-12c,解得 c=4 或 c=8.
2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 解析:选 C 由

c2-a2-b2 >0,则△ABC( 2ab

)

B.一定是直角三角形 D.是锐角或直角三角形

c2-a2-b2 >0 得-cos C>0, 2ab

所以 cos C<0,从而 C 为钝角,因此△ABC 一定是钝角三角形. 3.(2012?陕西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2,B π = ,c=2 3,则 b=________. 6 解析:由余弦定理得 b =a +c -2accos B=4+12-2?2?2 3? 答案:2 4.在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,则最大的角是________. 解析:∵a>c>b,∴A 为最大角. cos A=
2 2 2

3 =4,所以 b=2. 2

b2+c2-a2 32+52-72 1 = =- , 2bc 2?3?5 2

又∵0°<A<180°, ∴A=120°. 答案:120° 5.在△ABC 中,已知 a=5,b=3,角 C 的余弦值是方程 5x +7x-6=0 的根,求第三 边 c 的长. 解:5x +7x-6=0 可化为(5x-3)(x+2)=0. 3 ∴x1= ,x2=-2(舍去). 5 3 ∴cos C= . 5
17
2 2

根据余弦定理,

c2=a2+b2-2abcos C
3 2 2 =5 +3 -2?5?3? =16. 5 ∴c=4,即第三边长为 4. [课时达标检测] 一、选择题 1. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 A= A.1 C. 3-1
2 2 2

π , a= 3, b=1, 则 c=( 3

)

B.2 D. 3
2

解析: 选 B 由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 得 c -c-2=0, 解得 c=2 或 c=-1(舍 去). 13 2.在△ABC 中,若 a=8,b=7,cos C= ,则最大角的余弦值是( 14 1 A.- 5 1 C.- 7 1 B.- 6 1 D.- 8 )

13 2 2 2 2 2 解析:选 C 由余弦定理,得 c =a +b -2abcos C=8 +7 -2?8?7? =9, 14 所以 c=3,故 a 最大,所以最大角的余弦值为 cos A=
2

b2+c2-a2 72+32-82 1 = =- . 2bc 2?7?3 7
)

3.在△ABC 中,B=60°,b =ac,则此三角形一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形
2 2

B.等边三角形 D.钝角三角形
2

解析:选 B 由余弦定理,得 b =a +c -ac, 又∵b =ac, ∴a +c -2ac=0,即(a-c) =0, ∴a=c. ∵B=60°, ∴A=C=60°. 故△ABC 是等边三角形. 4.(2013?宁阳高二检测)在△ABC 中,bcos A=acos B,则△ABC 是( A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.锐角三角形
18
2 2 2 2

)

解析:选 B 因为 bcos A=acos B, 所以 b?
2

b2+c2-a2 a2+c2-b2 =a? . 2bc 2ac
2 2 2 2 2

所以 b +c -a =a +c -b . 所以 a =b . 所以 a=b.故此三角形是等腰三角形. 5.在△ABC 中,B=60°,最大边与最小边之比为( 3+1)∶2,则最大角为( A.45° C.75° B.60° D.90° )
2 2

解析:选 C 由题意可知 c<b<a,或 a<b<c, 不妨设 c=2x,则 a=( 3+1)x,

a2+c2-b2 ∴cos B= . 2ac
1 ? 3+1? x +4x -b 即 = 2 2?? 3+1?x?2x ∴b =6x . ∴cos C= =
2 2 2 2 2 2

a2+b2-c2 2ab
2 2 2 2

? 3+1? x +6x -4x 2? 3+1?x? 6x



2 , 2

∴C=45°, ∴A=180°-60°-45°=75°. 二、填空题 6.(2012?湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a +b+c)=ab,则角 C=________ 解析:∵(a+b) -c =ab, ∴cos C= 2π 答案: 3 sin B 7.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为________. sin C 解析:由余弦定理可得 49=AC +25-2?5?AC?cos 120°,整理得:
2 2 2

a2+b2-c2 1 2π =- ,C= . 2ab 2 3

AC2+5?AC-24=0,
解得 AC=3 或 AC=-8(舍去),

19

sin B AC 3 再由正弦定理可得 = = . sin C AB 5 3 答案: 5 8.在△ABC 中,若 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则 C 的大小是________. 解析:因为 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,由正弦定理可得 a∶b∶c=3∶5∶7,设

a2+b2-c2 1 a=3k(k>0),则 b=5k,c=7k,由余弦定理的推论得 cos C= =- ,又 0°<C 2ab 2
<180°,所以 C=120°. 答案:120° 三、解答题 9.在△ABC 中,若已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,并且 sin C=2sin Bcos A,试判断 △ABC 的形状. 解:由正弦定理,可得 sin B= ,sin C= . 2R 2R 由余弦定理,得 cos A=

b

c

b2+c2-a2 . 2bc

b2+c2-a2 代入 sin C=2sin Bcos A,得 c=2b? . 2bc
整理得 a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以 a +b -c =ab,
2 2 2

a2+b2-c2 1 即 cos C= = . 2ab 2
π 故 C= . 3 又 a=b, 所以△ABC 为等边三角形. 10.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b?cos A=c?cos A+a?cos

C
(1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求 bc 的值. 解:(1)根据正弦定理 2b?cos A=c?cos A+a?cos C? 2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C =sin (A+C)=sin B,
20

∵sin B≠0, 1 ∴cos A= , 2 ∵0°<A<180°, ∴A=60°. (2)由余弦定理得: 7=a =b +c -2bc?cos 60° =b +c -bc=(b+c) -3bc, 把 b+c=4 代入得 bc=3,故 bc=3.
2 2 2 2 2 2

_1.2 应用举例

1.2.1 正、余弦定理在实际中的应用

测量中的基本术语 [提出问题] 李尧出校门向南前进 200 米,再向东走了 200 米,回到自己家中. 问题 1:李尧家在学校的哪个方向? 提示:东南方向. 问题 2:能否用角度再进一步确定其方位? 提示:可以,南偏东 45°或东偏南 45°. [导入新知] 实际测量中的有关名称、术语 名称 基线 仰角 定义 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角 图示

俯角 基线

在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线

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方向 角

从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北 或正南或正东或正西,方向角小于 90°) 南偏西 60°?指以正 南方向为始边,转向 目标方向线形成的角

方位 角

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角

[化解疑难] 解三角形实际问题的一般步骤, 在弄清题意的基础上作出示意图, 在图形中分析已知三 角形中哪些元素,需求哪些量.用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.

测量高度问题

[例 1] 如图,为了测量河对岸的塔高 AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D, 测得 CD=200 米, 在 C 点和 D 点测得塔 顶 A 的仰角分别是 45°和 30°,且∠CBD=30°,求塔高 AB. [解] 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=45°, 若设 AB=h, 则 BC=h; 在 Rt△ABD 中,∠ADB=30°,则 BD= 3 h. 在△BCD 中,由余弦定理可得

CD2=BC2+BD2-2?BC?BD?cos∠CBD,
即 200 =h +( 3h) -2?h? 3h?
2 2 2 2 2

3 , 2

所以 h =200 ,解得 h=200(h=-200 舍去) 即塔高 AB=200 米. [类题通法] 测量高度问题的要求及注意事项 (1)依题意画图是解决三角形应用题的关键, 问题中, 如果既有方向角(它是在水平面上 所成的角),又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角),在绘制图形时,可画立体图形和平

22

面图形两个图,以对比分析求解; (2)方向角是相对于在某地而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一点的方 向角.从这个意义上来说,方向角是一个动态角,在理解题意时,应把它看活,否则在理解 题意时将可能产生偏差. [活学活用] 1.如图,A、B 是水平面上两个点,相距 800 m,在 A 点测得山 顶 C 的仰角是 25°,∠BAD=110°,又在点 B 测得∠ABD=40°,其 中 D 点是点 C 在水平面上的垂足.求山高 CD(精确到 1 m). 解:在△ABD 中,∠ADB=180°-110°-40°=30°, 由正弦定理得

AD=

ABsin B 800?sin 40° = sin∠ADB sin 30°

≈1 028.5(m), 在 Rt△ACD 中,CD=ADtan 25° ≈480(m). 答:山高约为 480 m.

测量角度问题

[例 2] 如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3- 1)n mile 的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°的方向, 距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时, 走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私 船沿着什么方向能最快追上走私船? [解] 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°, ∴由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos ∠BAC
=( 3-1) +2 -2?( 3-1)?2?cos 120° =6, ∴BC= 6, 且 sin ∠ABC= ?sin ∠BAC=
2 2

AC BC

2 6

?

3 2 = . 2 2
23

∴∠ABC=45°. ∴BC 与正北方向垂直. ∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin ∠BCD=

BD?sin ∠CBD 10tsin 120° 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°. 即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追上走私船. [类题通法] 解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题; (2)画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角和距离,这样借助于正弦定理或 余弦定理,就容易解决问题了; (3)最后把数学问题还原到实际问题中去. [活学活用]

2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,我 海军护航舰在 A 处获悉后,立即测出该货船在方位角为 45°,距离为 10 海里的 C 处,并测得货船正沿方位角为 105°的方向,以 10 海里/小时的 速度向前行驶, 我海军护航舰立即以 10 3海里/小时的速度前去营救, 求 护航舰的航向和靠近货船所需的时间. 解:在△ABC 中,根据余弦定理,有 AB =AC +BC -2AC?BCcos 120°, 可得(10 3t) =10 +(10t) -2?10?10tcos 120°, 1 2 整理得 2t -t-1=0,解得 t=1 或 t=- (舍去). 2 舰艇需 1 小时靠近货船. 此时 AB=10 3,BC=10, 又 AC=10,所以∠CAB=30°, 所以护航舰航行的方位角为 75°.
2 2 2 2 2 2

24

1.探究距离测量问题 测量距离问题分为三种类型:两点间不可通又不可视,两点间可视但不可达,两点都不 可达.解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三 角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. 【角度一】 两点不相通的距离

如图所示,要测量一水塘两侧 A、B 两点间的距离,其方法先选 定适当的位置 C,用经纬仪测出角 α ,再分别测出 AC,BC 的长 b,a, 则可求出 A,B 两点间的距离. 即 AB= a +b -2abcos α . 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试计算 AB 长. 解:在△ABC 中,由余弦定理得
2 2

AB2=AC2+BC2-2AC?BCcos∠ACB,
∴AB =400 +600 -2?400?600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 m. 即 A、B 两点间的距离为 200 7 m. 【角度二】 两点间可视但有一点不可到达
2 2 2

如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C, 可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α ,∠CAB=β ,在 △ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则 A、B 两点间的距离为________. 解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°, 所以由正弦定理得, ∴AB= = , sin C sin B

AB

AC

AC?sin C 60?sin 45° = =20 6(m). sin B sin 60°

即 A、B 两点间的距离为 20 6 m. 答案:20 6 m 【角度三】 两点都不可到达

如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,测出 AB 的距离,其方法测量者可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同 时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α ,∠ACD=β ,∠CDB=γ ,∠BDA

25

=δ .在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理 计算出 AB. 若测得 CD= 间的距离. 解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°, ∴∠DAC=60°, ∴AC=DC= 3 . 2 3 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求 A,B 两点 2

3 2 在△BCD 中,∠DBC=45°,由正弦定理,得 BC= ?sin∠BDC= ?sin sin∠DBC sin 45°

DC

30°=

6 . 4

在△ABC 中,由余弦定理,得

AB2=AC2+BC2-2AC?BCcos 45°

3 3 3 6 2 3 = + -2? ? ? = . 4 8 2 4 2 8 ∴AB= 6 (km). 4 6 km. 4

∴A,B 两点间的距离为

[随堂即时演练] 1.若 P 在 Q 的北偏东 44°50′方向上,则 Q 在 P 的( A.东偏北 45°10′方向上 C.南偏西 44°50′方向上 )

B.北偏东 45°50′方向上 D.西偏南 45°50′方向上

解析:选 C 如图所示,点 Q 在点 P 的南偏西 44°50′的方向上.

26

2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望

C 岛和 A 岛成 75°视角,则 B、C 间的距离是(
A.10 3 海里 C.5 2 海里 B.

)

10 6 海里 3

D.5 6 海里

解析:.选 D 如图,C=180°-60°-75°=45°,AB=10,由正 10 BC 弦定理得 = , sin 45° sin 60° ∴BC=5 6(海里),故选 D. 3.如图,线段 AB、CD 分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼 顶部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角为 α =30°, 测得乙楼底部 D 的俯角 β =60°,已知甲楼高 AB=24 米,则乙楼高 CD=________米. 解析:过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,ED=AB=24 米,则 AE= = tan 60° 24 3 =8 3(米) 3 =8(米) 3

ED

在 Rt△ACE 中,CE=AE?tan 30°=8 3? ∴CD=CE+ED=8+24=32(米) 答案:32

4.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸的标记物 C,测得∠CAB =45°, ∠CBA=75°, AB=120 米, 则河的宽度为________. 解析:如图∠ACB=180°-45°-75°=60°, 在△ABC 中, = . sin∠ACB sin∠CAB sin 45° 120 2 ∴BC=120? = , sin 60° 3 120 2 河宽为 BCsin∠CBA= sin 75°=20( 3+3)米. 3 答案:20( 3+3)米 5.如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度由 B 向 C 航行,航行的方 位角是 140°.A 处有一灯塔,其方位角是 110°,在 C 处观察灯塔 A 的方 位角是 35°,由 B 到 C 需航行半个小时,求 C 到灯塔 A 的距离. 1 解:在△ABC 中,BC=40? =20(km), 2 ∠ABC=140°-110°=30°,
27

AB

BC

∠ACB=(180°-140°)+35°=75°, ∴∠BAC=75°. 由正弦定理,得 = , sin 30° sin 75° ∴AC= =

AC

BC

BCsin 30°
sin 75°



10 sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°

=10( 6- 2)(km). 6+ 2

40

答:C 到灯塔 A 的距离为 10( 6- 2) km. [课时达标检测] 一、选择题 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α ,β 的关系为( A.α >β C.α +β =90° B.α =β D.α +β =180° )

解析:选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图.知 α = β ,故应选 B. 2.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km),灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间距离为( A. 2a km C.a km ) B. 3a km D.2a km

解析:选 A △ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=90°,

AB= 2a.
3.有一长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长 坡面的方法将它的倾斜角改为 30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是( A.5 C.10 2 B.10 D.10 3 )

解析:选 C 如图,设将坡底加长到 B′时,倾斜角为 30°,在△

ABB′中,利用正弦定理可求得 BB′的长度.
在△ABB′中,∠B′=30°, ∠BAB′=75°-30°=45°,AB=10 m, 由正弦定理,得 2 10? 2 ABsin 45° BB′= = =10 2(m). sin 30° 1 2

28

∴坡底延伸 10 2 m 时,斜坡的倾斜角将变为 30°. 4.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( A. C. 17 6 海里/小时 2 17 2 海里/小时 2 B.34 6海里/小时 D.34 2海里/小时 = , sin 45° sin 120° )

解析:选 A 如图所示,在△PMN 中,

PM

MN

68? 3 ∴MN= =34 6, 2

MN 17 ∴v= = 6(海里/小时). 4 2
5.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按 固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里,则乙船每小时航行( A.10 2海里 C.30 海里 ) B.20 2海里 D.30 2海里

解析:选 D 如图,连结 A1B2,在△A1A2B2 中,易知∠A1A2B2=60°,又易求得 A1A2=30 2 1 ? =10 2=A2B2, 3 ∴△A1A2B2 为正三角形, ∴A1B2=10 2. 在△A1B1B2 中,易知∠B1A1B2=45°, ∴B1B2=400+200-2?20?10 2?
2

2 =200, 2

∴B1B2=10 2,∴乙船每小时航行 30 2海里. 二、填空题 6.某人从 A 处出发,沿北偏东 60°行走 3 3 km 到 B 处,再沿正东方向行走 2 km 到 C 处,则 A,C 两地距离为________km.

29

解析:如右图所示,由题意可知 AB=3 3,BC=2,∠ABC=150°. 由余弦定理,得

AC2=27+4-2?3 3?2?cos 150°=49, AC=7.
则 A,C 两地距离为 7 km. 答案:7 7.一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转 105°,爬行 10 cm 捕捉 到另一只小虫,这时它向右转 135°爬行回它的出发点,那么 x=________. 解析:如图所示,设蜘蛛原来在 O 点,先爬行到 A 点,再爬行到

B 点,易知在△AOB 中,AB=10 cm,∠OAB=75°,
∠ABO=45°, 则∠AOB=60°,由正弦定理知:

AB?sin∠ABO 10?sin 45° 10 6 x= = = (cm). sin∠AOB sin 60° 3
10 6 答案: cm 3 8.某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向,后来船沿南偏东 60°方向航行 30 n mile 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离为________ n mile. 解析:如图所示,B 是灯塔,A 是船的初始位置,C 是船航行后的位置, 则 BC⊥AD,∠DAB=30°, ∠DAC=60°,则在 Rt△ACD 中,

DC=ACsin ∠DAC=30sin 60°=15 3 n mile, AD=ACcos ∠DAC=30cos 60°=15 n mile,
则在 Rt△ADB 中,

DB=ADtan∠DAB=15tan 30°=5 3 n mile,
则 BC=DC-DB=15 3-5 3=10 3 n mile. 答案:10 3 三、解答题 9.海岛 O 上有一座海拔 1 000 米的山,山顶上设有一个观察站 A,上午 11 时,测得一 轮船在岛北偏东 60°的 C 处,俯角 30°,11 时 10 分,又测得该船在岛的北偏西 60°的 B 处,俯角 60°.则该船的速度为每小时多少千米? 解:如图所示,设观察站 A 在水平面上的射影为 O,依题意 OB=OA?tan 30°= 米),
30

3 (千 3

OC=OA?tan 60°=
则 BC= =

3(千米),

OB2+OC2-2OB?OC?cos 120°

13 (千米). 3 13 10 ÷ =2 39(千米/小时). 3 60

∴船速 v=

10.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60°方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船正 向北行驶,若甲船是乙船速度的 3倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙 船?此时乙船行驶多少海里. 解:设甲沿直线与乙船同时到 C 点, 则 A、B、C 构成一个△ABC, 如图,设乙船速度为 v, 则甲船速度为 3v,到达 C 处用时为 t. 由题意 BC=vt,AC= 3vt,∠ABC=120°. 在△ABC 中, 由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cos120°,
∴3v t =a +v t +avt. ∴2v t -avt-a =0, 解得 vt=- (舍)或 vt=a. 2 ∴BC=a, 在△ABC 中 AB=BC=a, ∴∠BAC=∠ACB=30°. 答:甲船应取北偏东 30°的方向去追乙,此时乙船行驶 a 海里. 1.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用
2 2 2 2 2 2 2 2

a

三角形的面积公式

[提出问题] 在△ABC 中,若 AC=3,BC=4,
31

C=60°.
问题 1:△ABC 的高 AD 为多少? 3 3 提示:AD=AC?sin C=3?sin 60°= . 2 问题 2:△ABC 的面积为多少? 1 1 3 3 提示:S△ABC= BC?AD= ?4? =3 3. 2 2 2 问题 3:若 AC=b,BC=a,你发现△ABC 的面积 S 可以直接用 a,b,C 表示吗? 1 提示:能.S= absin C. 2 [导入新知] 三角形的面积公式 1 (1)S= a?ha(ha 表示 a 边上的高). 2 1 1 1 (2)S= absin C= bcsin A= acsin B. 2 2 2 [化解疑难] 1 1 三角形的面积公式 S= absin C 与原来的面积公式 S= a?h(h 为 a 边上的高)的关系为: 2 2

h=bsin C,实质上 bsin C 就是△ABC 中 a 边上的高.

三角形的面积计算 [例 1] 在△ABC 中,已知 C=120°,AB=2 3,AC=2,求△ABC 的面积. [解] 由正弦定理知 即 = , sin C sin B

AB

AC

2 3 2 = , sin 120° sin B

1 所以 sin B= , 2 由于 AB>AC, 所以 C>B,故 B=30°. 从而 A=180°-120°-30°=30°. 所以△ABC 的面积
32

S= AB?AC?sin A
1 = ?2 3?2?sin 30° 2 = 3.

1 2

[类题通法] 1.求三角形面积时,应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法, 这样不仅能减少一些不必要的计算,还能使计算结果更加接近真实值. 1 1 1 2.事实上,在众多公式中,最常用的公式是 S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B, 2 2 2 即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积, 反过来, 给出三角形的面 积利用上述公式也可求得相应的边或角,应熟练应用此公式. [活学活用] 1.(1)在△ABC 中,若 A=60°,b=16,S△ABC=64 3,则 c=________. (2)在△ABC 中,若 a=3,b=2,c=4,则其面积等于________. 1 解析:(1)由已知得 S△ABC= ?bc?sin A, 2 1 即 64 3= ?16?c?sin 60°,解得 c=16. 2

b2+c2-a2 4+16-9 11 (2)由余弦定理得 cos A= = = , 2bc 2?2?4 16
所以 sin A= 3 15 2 1-cos A= , 16

1 1 3 15 3 15 于是 S△ABC= bcsin A= ?2?4? = . 2 2 16 4 3 15 答案:(1)16 (2) 4 三角形中的恒等式证明问题 [例 2] 在△ABC 中,求证:

a-ccos B sin B = . b-ccos A sin A

c?a2+c2-b2? a- 2ac [解] 法一:左边= 2 c?b +c2-a2? b- 2bc


a2-c2+b2 2b ? 2 2a b -c2+a2

b 2Rsin B sin B = = = =右边, a 2Rsin A sin A
33

其中 R 为△ABC 外接圆的半径. ∴

a-ccos B sin B = . b-ccos A sin A

sin A-sin Ccos B 法二:左边= sin B-sin Ccos A = = ∴ sin ?B+C?-sin C?cos B sin ?A+C?-sin C?cos A sin Bcos C sin B = =右边,(cos C≠0) sin Acos C sin A

a-c?cos B sin B = . b-c?cos A sin A

[类题通法] 解决此类问题, 既要用到三角形中特有的恒等变形公式, 又要用到任意角三角函数的恒 等变形公式,两者要结合,灵活运用.三角形边和角的相互转换公式,主要是正弦定理、余 弦定理这两个定理,因此这类题型都可用不同的途径求解. [活学活用] 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,求证: - =c? 证明:由余弦定理的推论得 cos B= cos A=

a b b a

?cos B-cos A?. a ? ? b ?

a2+c2-b2 , 2ac

b2+c2-a2 ,代入等式右边,得 2bc

右边=c?

?a +c -b -b +c -a ?=2a -2b =a -b =a-b=左边, 2abc ? 2ab ab b a ? 2abc ? ?cos B-cos A?. a ? ? b ?
三角形中的综合问题

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴ - =c?

a b b a

[例 3] (2012?江西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B -C)-1=6cos Bcos C. (1)求 cos A; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2,求 b,c. [解] (1)由 3cos(B-C)-1=6cos Bcos C, 得 3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1, 1 即 cos(B+C)=- , 3 1 从而 cos A=-cos(B+C)= . 3

34

1 2 2 (2)由于 0<A<π ,cos A= ,所以 sin A= . 3 3 1 又 S△ABC=2 2,即 bcsin A=2 2,解得 bc=6. 2 由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 b +c =13, 解方程组?
?bc=6, ? ?b +c =13, ?
2 2 2 2 2 2 2

得?

?b=2, ? ?c=3, ?

或?

?b=3, ? ?c=2. ?

[类题通法] 解决三角形的综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用 到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.因此,掌握正、余弦定理,三角函数的公式和性 质是解题关键. [活学活用]

? ? ??? A 2 5 ??? 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = , AB ? AC 2 5
=3. (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.

A 2 5 解:(1)∵cos = , 2 5
3 4 2A ∴cos A=2cos -1= ,sin A= . 2 5 5 又由 AB ? AC =3,得 bccos A=3,∴bc=5, 1 ∴S△ABC= bcsin A=2. 2 (2)∵bc=5,b+c=6, ∴b=5,c=1 或 b=1,c=5. 由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A=20, ∴a=2 5.
2 2 2

??? ?

??? ?

2.破解多边形中的几何问题

? ??? ? ??? 1 [典例] (12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AC=CD= AB=1, AB ? AC =1, 2
35

3 sin∠BCD= . 5 (1)求 BC 边的长; (2)求四边形 ABCD 的面积. [解题流程]

[规范解答]

? ???? ? ? ???? ??? ? ??? 1 (1)∵AC=CD= AB=1,∴ AB ? AC = AB ? AC ?cos∠BAC= 2
2cos∠BAC=1, 1 ∴cos∠BAC= ,∴∠BAC=60°.(3 分) 2 在△ABC 中,由余弦定理有:BC =AB +AC -2AB?AC?cos∠BAC= 1 2 2 2 +1 -2?2?1? =3,∴BC= 3(6 分) 2 (2)由(1)知,在△ABC 中有:AB =BC +AC ,∴△ABC 为直角三角形, 且∠ACB=90°,(7 分) 1 1 3 ∴S△ABC= BC?AC= ? 3?1= .(8 分) 2 2 2 又∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, 3 3 sin∠BCD= ,∴cos∠ACD= ,(9 分) 5 5 4 2 从而 sin∠ACD= 1-cos ∠ACD= ,(10 分) 5 1 1 4 2 ∴S△ACD= AC?CD?sin∠ACD= ?1?1? = .(11 分) 2 2 5 5 ∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD= 3 2 4+5 3 + = .(12 分) 2 5 10
2 2 2 2 2 2

36

[名师批注] 向量数量积运算公式易用错,在△ABC 中, AB 和 AC 夹角有时误认为∠ABC,从而不 得分.

??? ?

??? ?

利用了诱导公式求 cos∠ACD,求解时对取正负号不把握. [活学活用] 2 7 在△ABC,中,AB=2,cos C= ,D 是 AC 上一点,AD=2DC,且 cos 7 5 7 ∠DBC= . 14 求:(1)∠BDA 的大小;(2) AD ? CB . 5 7 2 7 21 21 解:(1)由已知得 cos∠DBC= ,cos C= ,从而 sin∠DBC= ,sin C= , 14 7 14 7 5 7 2 7 21 21 1 π ∴cos∠BDA=cos(∠DBC+∠C)= ? - ? = ,∴∠BDA= . 14 7 14 7 2 3 (2)设 DC=x,则 AD=2x,AC=3x,设 BC=a,则在△DBC 中,由正弦定理得 , sin∠BDC ∴a= 7x. = sin∠DBC

??? ?

??? ?

x

a

???? ? 2 7 2 2 在△ABC 中, 由余弦定理, 得 4=(3x) +( 7x) -2?3x? 7x? .解得 x=1, ∴ AC 7
=3, BC = 7.

???? ?

? ???? ? ???? ??? ? ??? ? 2 7? ∴ AD ? CB = AD ? CB cos(π -C)=2? 7??- ?=-4. ? 7 ?

[随堂即时演练] 3 1.已知△ABC 的面积为 ,且 b=2,c= 3,则 A 的大小为( 2 A.60°或 120° C.120° 1 解析:选 A 由 S△ABC= bcsin A 得 2
37

)

B.60° D.30°或 150°

3 1 = ?2? 3?sin A, 2 2 所以 sin A= 3 , 2

故 A=60°或 120°,故选 A.

AC cos B 2.在△ABC 中,若 = ,则( AB cos C
A.A=C C.B=C

) B.A=B D.以上都不正确

AC sin B cos B 解析:选 C ∵ = = AB sin C cos C
∴sin Bcos C=cos Bsin C ∴sin(B-C)=0 又∵-π <B-C<π , ∴B-C=0,即 B=C. 3.等腰△ABC 中,顶角 A=120°,腰长 AB=1,则底边 BC 长为________. 解析:易知∠B=∠C=30°,

BC 1 由正弦定理知: = , sin 120° sin 30°
∴BC= 3. 答案: 3 4.三角形的两边分别为 3 cm,5 cm,它们所夹角的余弦值为方程 5x -7x-6=0 的根, 则这个三角形的面积为________. 3 2 解析:方程 5x -7x-6=0 的两根为 x1=2,x2=- , 5 3 因此两边夹角的余弦值等于- , 5 4 并可求得正弦值为 , 5 于是三角形面积
2

S= ?3?5? =6(cm2).
答案:6 cm
2

1 2

4 5

5.在△ABC 中,若 B=30°,AB=2 3,AC=2,求△ABC 的面积. 解:∵AB=2 3,AC=2,B=30°,

38

1 2 3? 2 ABsin B 3 ∴根据正弦定理,有 sin C= = = , AC 2 2 又∵AB>AC,∴C>B,则 C 有两解, (1)当 C 为锐角时,C=60°,A=90°, 1 ∴S△ABC= AB?ACsin A=2 3. 2 (2)当 C 为钝角时,C=120°,A=30°, 1 ∴S△ABC= AB?ACsin A= 3. 2 综上可知,△ABC 的面积为 2 3或 3.

[课时达标检测] 一、选择题 1. 在△ABC 中, 已知 AB=2, BC=5, △ABC 的面积为 4, 若∠ABC=θ , 则 cos θ 是( A. 3 5 3 B.- 5 4 D.± 5 )

3 C.± 5

1 解析:选 C ∵S△ABC= AB?BCsin∠ABC 2 1 = ?2?5?sin θ =4. 2 4 ∴sin θ = . 5 又 θ ∈(0,π ), 3 2 ∴cos θ =± 1-sin θ =± . 5 2.在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b=8 3,则△ABC 的面积为( A.32 3 C.32 3或 16 B.16 D.32 3或 16 3 )

bsin A 解析:选 D 在△ABC 中,由正弦定理 = ,得 sin B= = sin A sin B a
又 b>a,∴B=60°或 120°. 当 B=60°时,C=180°-30°-60°=90°,

a

b

1 8 3? 2 3 = , 8 2

39

1 ∴S△ABC= ?8?8 3=32 3; 2 当 B=120°时,C=180°-30°-120°=30°, 1 1 1 ∴S△ABC= absin C= ?8?8 3? =16 3. 2 2 2 3.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积 S△ABC= A. 3 C. 7 B.3 D.7 3 ,则边 BC 的边长为( 2 )

1 3 解析:选 A ∵S△ABC= AB?ACsin A= , 2 2 ∴AC=1 由余弦定理可得

BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos A
=4+1-2?2?1?cos 60°=3. 即 BC= 3. 4.△ABC 的周长为 20,面积为 10 3,A=60°,则 BC 的边长等于( A.5 C.7 解析:选 C 如图由题意得 B.6 D.8 )

a+b+c=20 ?1? ? ?1 ?2bcsin 60°=10 3 ?2? ? ?a =b +c -2bccos 60° ?3?
2 2 2

由(2)得 bc=40. 由(3)得 a =b +c -bc=(b+c) -3bc =(20-a) -3?40 ∴a=7. 5.某人从出发点 A 向正东走 x m 后到 B,向左转 150°再向前走 3 m 到 C,测得△ABC 3 3 2 的面积为 m ,则此人这时离开出发点的距离为( 4 A.3 m C.2 3 m 解析:选 D 在△ABC 中, B. 2 m D. 3 m )
2 2 2 2 2

40

S= AB?BCsin B,
∴ 3 3 1 = ?x?3?sin 30°, 4 2

1 2

∴x= 3. 由余弦定理,得

AC=


AB2+BC2-2AB?BC?cos B
3+9-9= 3 (m).

二、填空题 1 6.△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为________. 3 1 解析:不妨设 b=2,c=2,cos A= , 3 则 a =b +c -2bc?cos A=9, ∴a=3. 又∵sin A= 1-cos A=
2 2 2 2

2 2 , 3 3

∴外接圆半径为 R=

9 2 = . 2sin A 8 2 2 2? 3 =

a

9 2 答案: 8 7. 一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120°的方向航行, 已知河水流速为 2 km/h, 则经过 3 h,该船实际航程为________. 解析:如图所示,在△ACD 中,AC=2 3,CD=4 3,∠ACD=60°, 1 2 ∴AD =12+48-2?2 3?4 3? =36, 2 ∴AD=6,即该船实际航程为 6 km. 答案:6 km 8.在△ABC 中,a=b+2,b=c+2,又知最大角的正弦等于 解析:由题意知 a 边最大.sin A=
2 2 2

3 ,则三边长为________. 2

3 , 2

∴A=120°,∴a =b +c -2bccos A. ∴a =(a-2) +(a-4) +(a-2)(a-4). ∴a -9a+14=0,a=2(舍去),a=7.
41
2 2 2 2

∴b=a-2=5,c=b-2=3. 答案:a=7,b=5,c=3 三、解答题 7 9.在△ABC 中,若 c=4,b=7,BC 边上的中线 AD 的长为 ,求边长 a. 2

解:∵AD 是 BC 边上的中线, ∴可设 CD=DB=x,则 CB=a=2x. 7 ∵c=4,b=7,AD= , 2 7 2 2 2 7 +x -? ? 2 在△ACD 中,有 cos C= , 2?7?x 7 +?2x? -4 在△ABC 中,有 cos C= . 2?7?2x 49 2 49+x - 4 49+4x2-16 ∴ = 14x 28x 9 解得 x= .∴a=2x=9. 2 10.(2010?浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S= 3 2 2 2 (a +b -c ). 4
2 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)求 sinA+sinB 的最大值. 1 3 解:(1)由题意可知 absin C= ?2abcos C, 2 4 所以 tan C= 3, π 因为 0<C<π ,所以 C= . 3 2π (2)由已知 sin A+sin B=sin A+sin(π -C-A)=sin A+sin( -A) 3 =sin A+ 3 1 π cos A+ sin A= 3sin(A+ )≤ 3. 2 2 6

当△ABC 为正三角形时取等号, 所以 sin A+sin B 的最大值是 3.
42

解三角形

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.在△ABC 中,已知 a =b +c +bc,则 A=( A. C. π 3 2π 3
2 2 2 2 2 2

)

B. D.

π 6 π 2π 或 3 3

解析:选 C ∵a =b +c +bc,

b2+c2-a2 b2+c2-b2-c2-bc -bc 1 ∴由余弦定理的推论得 cos A= = = =- , 2bc 2bc 2bc 2
2π ∴A= . 3 2.在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于( A. 6 3 1 2 B. 6 2 3 2 )

C.

D.

解析:选 A ∵A=180°-45°-60°=75° ∴A>C>B ∴边 b 最短. 由 = sin B sin C

b

c

得 b= =

csin B sin C

sin 45° 6 = . sin 60° 3 )

3.在△ABC 中,A=60°,a= 6,b=4,那么满足条件的△ABC( A.有一个解 C.无解 B.有两个解 D.不能确定 3 =2 3. 2

解析:选 C bsin A=4?sin 60°=4?

43

又 a= 6,且 6<2 3,故△ABC 无解. 4.△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则 AB ? BC 的值为( A.19 C.-18 B.14 D.-19

??? ?

??? ?

)

解析:选 D 在△ABC 中,由余弦定理得 cos B= = 49+25-36 19 = 2?7?5 35

AB2+BC2-AC2 2AB?BC

???? ? ???? ? ? ??? ? ??? 19 ∴ AB ? BC =- AB BC cos B=-7?5? =-19. 35
5.若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=( A. C. 15 4 3 15 16 B. D. 3 4 11 16 )

解析:选 D 依题意,结合正弦定理得 6a=4b=3c,设 3c=12k(k>0),则有 a=2k,b

a2+c2-b2 ?2k?2+?4k?2-?3k?2 11 =3k,c=4k,由余弦定理得 cos B= = = ,故选 D. 2ac 2?2k?4k 16
6.已知圆的半径为 4,a,b,c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形 的面积为( A.2 2 C. 2 解析:选 C ∵ ∴sin C= , 8 1 abc ∴S△ABC= absin C= 2 16 = 16 2 = 2. 16 ) ) B.8 2 D. 2 2

= = =2R=8, sin A sin B sin C

a

b

c

c

7.在△ABC 中,a=k,b= 3k(k>0),A=45°,则满足条件的三角形个数是( A.0 C.2 解析:选 A 由正弦定理得 B.1 D.无数个 = , sin A sin B

a

b

44

∴sin B= 形.

bsin A 6 = >1,即 sin B >1,这是不成立的.所以没有满足此条件的三角 a 2

4 8. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B=2A, a=1, b= , 则△ABC 是( 3 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定

)

4 3 1 2 2 解析:选 C 由正弦定理得 = ,则 cos A= ,从而 cos B=cos 2A=2cos A sin A sin 2A 3 1 -1=- <0,所以角 B 为钝角,△ABC 是钝角三角形. 9 9.已知锐角三角形的三边长分别为 1,3,a,那么 a 的取值范围( A.(8,10) C.(2 2,10) B.(2 2, 10) D.( 10,8)
2 2 2

)

解析: 选 B 设 1,3, a 所对的角分别为∠C、 ∠B、 ∠A, 由余弦定理知 a =1 +3 -2?3cos

A<12+32=10,
3 =1+a -2?acos B<1+a , ∴2 2<a< 10. 10. 江岸边有一炮台高 30 米, 江中有两条船, 则炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°, 而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距( A.10 3米 C.20 30米 B.100 3米 D.30 米 )
2 2 2

解析:选 D 设炮台顶部为 A,两条船分别为 B、C,炮台底部为 D,可知∠BAD=45°, ∠CAD=60°, ∠BDC=30°, AD=30.分别在 Rt△ADB, Rt△ADC 中, 求得 DB=30, DC=30 3. 在△DBC 中,由余弦定理得

BC2=DB2+DC2-2DB?DCcos 30°,解得 BC=30.
故选 D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.在△ABC 中,已知 b=50 3,c=150,B=30°,则边长 a=________. 解析:由余弦定理得

a2+c2-2accos 30°=b2
∴a -150 3a+15 000=0 解得 a=100 3或 50 3.
2

45

答案:100 3或 50 3

? ??? ? ??? π 12.已知△ABC 的面积 S= 3,A= ,则 AB ? AC =________. 3
1 解析:S△ABC= ?|AB|?|AC|?sin A, 2 1 3 即 3= ?|AB|?|AC|? , 2 2 所以|AB|?|AC|=4, 于是 AB ? AC = AB ? AC ?cos A 1 =4? =2. 2 答案:2 13.(2012?上冈高级中学高二期中)△ABC 为钝角三角形,且∠C 为钝角,则 a +b 与
2 2

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

c2 的大小关系为________. a2+b2-c2 解析:cos C= ,∵∠C 为钝角, 2ab
∴cos C<0,∴a +b -c <0, 故 a +b <c . 答案:a +b <c
2 2 2 2 2 2 2 2 2

14.在△ABC 中,a=14,A=60°,b∶c=8∶5,则该三角形的面积为________. 解析:设另两边长分别为 8x 和 5x,则 64x +25x -14 cos 60°= 2 80x 解得 x=2 所以 b=16,c=10 1 1 ∴S△ABC= bcsin A= ?16?10sin 60°=40 3. 2 2 答案:40 3 三、解答题(共 4 小题,共 50 分) 15.(12 分)在△ABC 中,已知 a=2 3,b=6,A=30°,求 B 及 S△ABC. 解:在△ABC 中,由正弦定理, 得 sin B= sin A=
2 2 2

b a

1 3 ? = . 2 3 2 2

6

又 A=30°,且 a<b, ∴B=60°或 B=120°.

46

①当 B=60°时,C=90°,△ABC 为直角三角形, 1 故 S△ABC= ab=6 3. 2 ②当 B=120°时,C=30°,△ABC 为等腰三角形, 1 1 故 S△ABC= absin C= ?2 3?6sin 30°=3 3. 2 2 2 5 16.(12 分)在△ABC 中,∠B=45°,AC= 10,cos C= , 5 (1)求 BC 边的长. (2)若点 D 是 AB 的中点,求中线 CD 的长度. 2 5 5 解:(1)由 cos C= 得 sin C= . 5 5 sin A=sin(180°-45°-C)= 2 3 10 (cos C+sin C)= . 2 10 10 2 2 ? 3 10 =3 2. 10

由正弦定理知 BC= ?sin A= sin B

AC

(2)AB= ?sin C= sin B

AC

10 2 2

?

5 1 =2,BD= AB=1. 5 2

由余弦定理知 CD= BD +BC -2BD?BCcos B = 1+18-2?1?3 2? 2 = 13. 2

2

2

17.(12 分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点 周围 1 km 内不能收到手机信号.检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约 3 km 有一条北 偏东 60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以 12 km/h 的速度沿公路行驶,最 长需要多少时间,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格? 解:如图所示,考点为 A,检查开始处为 B,设公路上 C,D 两点到考点的距离为 1 km.

在△ABC 中,AB=

3,AC=1,∠ABC=30°,

由正弦定理,得 sin∠ACB=

ABsin 30° 3 = , AC 2

∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意), ∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1.

47

在△ACD 中,AC=AD,∠ACD=60°, ∴△ACD 为等边三角形, ∴CD=1. ∵

BC

?60=5, 12

∴在 BC 上需要 5 min,CD 上需要 5 min. 答:最长需要 5 min 检查员开始收不到信号,并持续至少 5 min 才算合格. cos A-2cos C 2c-a 18. (14 分)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 = , cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 cos A-2cos C 2c-a 解:(1)法一:在△ABC 中,由 = 及正弦定理可得 cos B b cos A-2cos C 2sin C-sin A = , cos B sin B 即 cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B. 则 cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B, 即 sin(A+B)=2sin(C+B),而 A+B+C=π , sin C 则 sin C=2sin A,即 =2. sin A cos A-2cos C 2c-a 法二:在△ABC 中,由 = 可得 cos B b

bcos A-2bcos C=2ccos B-acos B
由余弦定理可得

b2+c2-a2 a2+b2-c2 a2+c2-b2 a2+c2-b2 - = - , 2c a a 2c
sin C c 整理可得 c=2a,由正弦定理可得 = =2. sin A a 法三:利用教材习题结论解题,在△ABC 中有结论

a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C, c=acos B+bcos A.
由 cos A-2cos C 2c-a = 可得 cos B b

bcos A-2bcos C=2ccos B-acos B,
即 bcos A+acos B=2ccos B+2bcos C,则 c=2a,
48

sin C c 由正弦定理可得 = =2. sin A a 1 (2)由 c=2a 及 cos B= ,b=2 可得 4 4=c +a -2accos B=4a +a -a =4a , 则 a=1,c=2. 1 1 15 2 ∴S= acsin B= ?1?2? 1-cos B= . 2 2 4
2 2 2 2 2 2

49


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