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用样本的频率分布估计总体分布-教学设计


课题:用样本的频率分布估计总体分布
夏云晶(华中科技大学附属中学) 本节内容为人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书》必修 3 第 2 章第 2 节第 1 小节 ——《用样本的频率分布估计总体分布》的第一课时.

一、 教学设计
1. 教学目标分析
《数学课程标准》 强调统计思想与运用统计思想解决实际问题的能力, 要求学生系统地 经历提出问题、收集数据、整理分析数据、做出推理与决策的全过程.通过本节的学习,让 学生体会统计思想与确定性思想的差异, 并能从所获得的数据提取有价值的信息, 作出合理 的决策. 统计与现实生活的联系是非常紧密的, 因此本节内容对学生来说应该是充满趣味性和吸 引力的.教科书选择居民生活用水定额管理问题,引导学生从具体的问题中总结、抽象出一 般规律, 让学生体会其中的统计原理, 感受统计与实际生活的联系以及在解决现实问题中的 作用.通过以上分析,确定教学目标如下: 1.通过实例体会分布的意义和作用,通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的 方法. 2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图,理解数形结合的数学 思想和逻辑推理的数学方法. 3.通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学在实际生活中的作用,通过实例体会频率分 布直方图的特征,并利用它分析样本的分布,准确地作出总体估计,认识到数学知识源于生 活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系.

2. 教学内容解析
本节内容在高中统计部分占有十分重要的地位,一方面它与前面学习的抽样方法(简单 随机抽样、 系统抽样及分层抽样) 之间有着紧密的联系, 是在学习完抽样方法后的第一节课. 数据被收集后, 很自然地要从中提取出我们所需要的信息, 使我们能够通过样本来估计总体. 然而数据通常是多而杂乱的,我们往往无法直接从中理解它们的含义.于是,采用什么方法 来分析数据就成为急需解决的问题.我们常常借助图、表、计算等方式来分析数据,帮助我 们获取数据中的规律,将数据中所包含的信息转化成直观的容易理解的形式.这样,频率分 布表和频率分布直方图就自然地产生了.在此基础上,我们就可以对总体作出相应的估计; 另一方面本节内容本身就是利用样本估计总体的一个重要方法, 它是后面即将要学习的用样 本的数字特征估计总体数字特征的基础, 二者在思想方法上是一脉相承的, 为后续知识的学 习作了很好的铺垫. 本节的引言首先说明了用统计方法解决实际问题的一般框架,明确了估计总体分布和总 体数字特征的重要性.接着通过对“居民生活用水定额管理问题”的探究,引出对总体分布 的估计问题及估计总体分布的途径的讨论,这个问题贯穿本节始终.通过对该问题的探究, 让学生学习列频率分布表和画频率分布直方图, 最后又围绕这个问题的解决方案, 让学生尝 试用直方图来解决实际问题,体会用样本估计总体的思想.根据以上分析,本节课的教学重 点确定为: (1) 会列频率分布表,画频率分布直方图;

(2) 了解频率分布与总体分布之间的关系,体会用样本估计总体的思想.

3. 教学问题诊断
学生在小学学习过频数条形图, 在初中就知道了分布的初步概念, 对用样本估计总体有 一定的认识, 也已经学过把样本数据表示成频率条形图的形式, 能从图表上直观地看出数据 的分布情况,对用图表反映知识有一定的意识,这些都为本节内容的学习做了铺垫.虽然有 些学生对直方图有所接触,但具体的操作步骤并不熟悉,同时,学生根据图形处理数据的能 力不足,更不会利用图形分析问题、解决问题,对常见的数学思想的认识和应用停留在表面 层次上,所以本节课的教学难点确定为: (1) 能通过样本的频率分布估计总体分布; (2) 体会分布的意义与作用.

4. 教学对策分析
本节课通过对现实生活中实际例子的讲解, 以问题探究和动手操作为主要方式, 以问题 解决为主线,引导学生通过对问题的交流讨论,学会画频率分布表和直方图,让学生体会观 察——猜想——发现——归纳的学习方法.由于涉及数据较多,教学中采用多媒体课件辅助 教学,如 ppt、excel 等突出重点,突破难点.

5. 教学基本流程
导入新课→实例探究→操作讨论→方法归纳→应用示例→课堂练习→课堂小结

6. 教学过程设计
(一)导入新课 一 导入新课 我国是世界上严重缺水的国家之一, 城市缺水问题较为突出, 武汉市政府为了节约生活 用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准 a,用水量不 超过 a 的部分按平价收费,超出 a 的部分按议价收费. 如果希望大部分居民的日常生活不受 影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢?

(二)实例探究 实例探究 问题 1: 如果标准太低, 会影响居民的日常生活; 如果标准太高, 则不利于节水.那么你认为, 为了较合理地确定出这个标准,需要了解哪些相关信息,做哪些工作? 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月 均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等.因此应采用抽样调查的 方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况. 通过抽样调查,获得 100 位居民 2010 年的月均用水量如下表(单位:t) 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2

(三)操作讨论 问题 2: 从表中随意记录下的数据中很难直接看出规律, 因此需要对统计数据进行整理分析. 从上表中,你能获取哪些信息? 很容易发现的是一个居民月均用水量的最大值为 4.3,最小值为 0.2. 问题 3:仅仅知道最值,这些数据还是一盘散沙,仍然无法知道用水量集中在哪个区间,如 何进一步分析、研究这些数据呢? 分组 问题 4:进一步,分组如何进行?是组数越多(少)越好吗?分多少组比较合适呢? 组分得太多,没有必要,会增加工作量,浪费资源;组分得太少,看不出规律,也达不 到效果.因此,组分得太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况.应根据样本容量,对 数据适当分组. 问题 5: 我们将样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.表中数据的极差是多少?如果将 上述 100 个数据按组距为 0.5 进行分组,那么这些数据共分为多少组?各组数据的取值范围 可以如何设定? 极差为 4.1,共分 9 组,各组数据的范围可设定为[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),…,[4, 4.5]. 问题 6:如何统计上述 100 个数据在各组中的频数?如何计算样本数据在各组中的频率?你 能将这些数据用表格反映出来吗?

分 组 频数 [0,0.5) , [0.5,1) , [1,1.5) , [1.5,2) , [2,2.5) , [2.5,3) , [3,3.5) , [3.5,4) , [4,4.5] , 合计

频数 4 8 15 22 25 14 6 4 2 100

频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1.00

上表称为样本数据的频率分布表, 由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情 况, 给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据, 这里体现了一种用样本的频率分布估计 总体分布的统计思想. 问题 7:如果市政府希望 85%左右的居民每月的用水量不超过标准,根据上述频率分布表, 你对制定居民月用水量标准(即 a 的取值)有何建议? 88%的居民月用水量在 3t 以下,可建议取 a=3.

(四)方法归纳 方法归纳 问题 8:通过上面的讨论,你能归纳出列频率分布表的步骤吗? 第一步,求极差. 第二步,决定组距与组数. 第三步,确定分点,将数据分组.

第四步,列频率分布表. 问题 9:有了频率分布表,虽然能反映样本数据的频率分布情况,但不够直观.请大家回忆, 我们在函数、线性规划等章节的学习过程中,是如何将已知条件直观化、形象化的?作图 问题 10:为了直观反映样本数据在各组中的分布情况,我们将上述频率分布表中的有关信 频率 息用下面的频率分布直方图表示.频率分布直方图中 小长方形的高= 那么小长方形 组距 . 的面积表示什么?所有小长方形的面积和=?

图1 小长方形的面积表示该组的频率. 所有小长方形的面积和=1. 问题 11:你能概括出频率分布直方图的作图步骤吗? 第一步,画平面直角坐标系. 第二步,在横轴上均匀标出各组分点,在纵轴上标出单位长度. 第三步,以组距为宽,各组的频率与组距的商为高,分别画出各组对应的小长方形.

(五)应用示例 例. 下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位:cm). 区间界限 人数 区间界限 人数 [122,126) 5 [142,146) 11 [126,130) 8 [146,150) 6 [130,134) 10 [150,154) 5 [134,138) 22 [154,158) 20 [138,142) 33

(1)列出样本频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的百分比. (1)样本频率分布表如下: 解: 分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计 (2)其频率分布直方图如下: 频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120 频率 0. 04 0. 07 0. 08 0. 18 0. 28 0. 17 0. 09 0. 05 0. 04 1

图2 (3)由样本频率分布表可知身高小于 134 cm 的男孩出现的频率为 0. 04+0. 07+0. 08=0. 19, 所以我们估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的 19%.

(六)课堂练习 为了了解中学生的身体发育情况,对某中学 17 岁的 60 名女生的身高进行了测量,结果 如下: (单位:cm).列出样本的频率分布表;绘出频率分布直方图. 154 159 166 169 159 156 166 162 158 160 156 166 160 164 160 157 155 157 161 159 158 153 158 164 158 163 158 153 157 158 162 159 154 165 166 157 151 146 151 162 160 165 158 163 163 162 161 154 165 163 162 159 157 159 149 164 168 159 153 167 解:第一步,求极差:上述 60 个数据中最大为 169,最小为 146. 故极差为:169-146=23 cm. 第二步,确定组距和组数,可取组距为 3 cm,则组数为

23 2 = 7 ,可将全部数据分为 8 组. 3 3

第三步,确定组限: [145. 5,148. 5), [148. 5,151. 5), [151. 5,154. 5), [154. 5,157. 5), [157. 5,160. 5), [160. 5,163. 5), [163. 5,166. 5), [166. 5,169. 5). 第四步,列频率分布表: 分组 [145. 5,148. 5) [148. 5,151. 5) [151. 5,154. 5) [154. 5,157. 5) [157. 5,160. 5) [160. 5,163. 5) [163. 5,166. 5) [166. 5,169. 5) 合计 个数累计 频数 1 3 6 8 18 11 10 3 60 频率 0. 017 0. 050 0. 100 0. 133 0. 300 0. 183 0. 167 0. 050 1. 000

第五步,根据上述数据绘制频率分布直方图如下图: 图3

(七)课堂小结 1. 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小,总体分布是指总体取值的 频率分布规律.我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布. 2. 频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数 据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又 可以利用图形传递信息. 3. 样本数据的频率分布表和频率分布直方图,是通过各小组数据在样本容量中所占比例大 小来表示数据的分布规律, 它可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况, 并由 此估计总体的分布情况.

二、 教学反思
本节课我采用分析与思考的方法引导学生的自主探究活动, 教给学生分析问题、 解决问 题的研究方法,培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯.鼓励学生大胆积极参 与, 使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容, 力求在整个探究学习的过程 中充满师生交流、生生交流以及互动. 本节课从问题入手,使学生带着兴趣进入课堂,为学习新知识做好了准备,设计符合学 生的认知规律,从具体到抽象,从特殊到一般,从学生熟悉的、有兴趣的问题开始,通过设 疑迁疑让学生逐步理解统计的数学思想方法,对学生今后学习和分析数学问题很有帮助.不 足之处是在学生探究这个环节上留给学生思考的时间少了点; 同时, 对于频率分布直方图中 为什么用频率/组距作为纵坐标,而不直接用频率作为纵坐标,我个人还存在疑惑..本节课, 我觉得基本上达到了教学目标, 在整个教学过程中学生的参与积极性也还不错, 暴露出的一 个问题就是学生的语言表达不是很好,缺乏数学语言的准确性、简洁性.

三、 教学点评
本节课的教学突出“三实”——实际、实例、实践.学生是学习的主体,为了让学生更 好地理解统计思想,并能较好地运用统计思想解决一些实际问题,这节课力争做到:突出实 际,善用实例,强调实践. 教师首先通过日常生活中的实际问题情境,引导学生思考用样本估计总体的必要性.通 过对城市居民月用水量分布情况这一实际问题的探究, 使学生学会列频率分布表、 画频率分 布直方图, 重点介绍有关频率分布的列表和画图的方法, 同时运用初中有关随机事件的知识, 借助计算机多媒体技术,进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性. 运用初中有关频率与概率之间的关系, 了解频率分布直方图的规律性, 即频率分布与总体分 布之间的关系,进一步体会用样本估计总体的思想. 本节内容具有很强的实践性,知识点不多但思想深刻.因此教学时与代数、几何内容的 教学有所区别, 特别强调给学生提供实践操作的机会, 以使他们更好地体会相应的数学思想. 教学中,着重于对现实问题的探索,引导学生通过对案例的分析,认识到统计的广泛应用以 及对制定决策的重要作用.


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