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福建省师大附中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


福建师大附中 2015-2016 学年第一学期模块考试卷

高一数学必修 1
(满分:150 分,时间:120 分钟)

说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷. 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1、如果 A ? {x | x ? ?1} ,那么正确

的结论是( A. 0 ? A B. {0} ? A **** ) . C. {0} ? A D. ? ? A

2、设 f(x)=3x + 3x-8,用二分法求方程 3x + 3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中 得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( **** ) . A. (1.25,1.5) B. (1,1.25) C. (1.5,2) D.不能确定
x 3、 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数, 且 f (2) ? 1 , 则 f ( x) ?(*** ) . ( a>0,且a ? 1 )

A. log2 x

B.

4 2x

C. log1 x
2

D.2

x?2

4、若 a ? 30.6 , b ? log3 0.2 , c ? 0.63 ,则( **** ) . A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a D. b ? c ? a

5、高为 H、满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流 出,若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图象是( **** ) .

(0, +?) 6、下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是(
A. y ? x
3

**** ) .
?x

B. y ? x ?1

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

7、设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正 确的是( **** ) .

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B . | f ( x) | g ( x) 是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

D . | f ( x) g ( x) |是奇函数

8、 A ? {1, 2,3}, b ? {a, b} ,则从 A 到 B 的映射共有( **** )个. A.4 个 B.6 个 C.8 个 D. 9 个

9、 函数 f ( x) ? loga | x ? 1|( a ? 0 且 a ? 1 ) .当 x ? (?1, 0) 时, 恒有 f ( x) ? 0 , 有 ( **** ) . A. f ( x ) 在 (??, ?0) 上是减函数 C. f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 10、已知函数 f (x) ? ? 是( **** ) . A. [?1,??) 11、函数 f ( x ) ? ln x ? B. ?? 1,??? C. ?? 1,0 ? D. ?? 1,0 ? B. f ( x ) 在 (??, ?1) 上是减函数 D. f ( x ) 在 (??, ?1) 上是增函数 ,若函数 f ( x) 在 R 上有两个不同零点,则 a 的取值范围

?e x ? a ?2x ? 1

x?0 x?0

1 2 x 的图象大致是( **** ) . 2
y y y

y

O

x

O

x
O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? 12、 已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等, 且 f (a) ? f (b) ? f (c), 则 abc 的 ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
取值范围是( A. (1,10) ***** ) B. (5, 6) C. (10,12) D. (20, 24)

二、填空题:(本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷上) 13、函数 y ?

x ?1 的定义域为 ***** x

.

14、已知函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 0 ? ? 1 ?? , 则 f ? f ? ?? ? x ? ? 8 ?? ? 3 ,x ?0

*****



15、已知偶函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? [0, ??) 时, f ( x) 单调递增. 若 f (2) ? 0 ,

则满足不等式 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 16、函数 f(x)=ex
2+2x

***** .

.

的增区间为___*****____
x

17、设函数 f ( x) ? 2 ,对任意的 x1、x2(x1≠x2),考虑如下结论: ①f (x1· x2) = f (x1) + f (x2); ④ ②f (x1 + x2) = f (x1)· f (x2); ⑤ ③f (-x1) =

1 f (x1) ;

f (x1) -1 < 0 (x1≠ 0); x1
*****

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2
.(只填入正确结论对应的序号)

则上述结论中正确的是

三、解答题: (本大题共 6 题,满分 70 分) 18、 (本小题满分 12 分)

已知集合 A ? {x | x ? ?1 或 x ? 5} ,集合 B ? ?x | 2a ? x ? a ? 2?. (1)若 a ? ?1 ,求 A ? B 和 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

19、 (本小题满分 12 分)求值: (1) ? 0.064?
? 1 3 4 ? ? 5? ? ? ? ? ? [(?2)3 ] 3 ? 16?0.75 ; ? 9? 0

(2)设 3 ? 4 ? 36 ,求
x y

2 1 ? 的值。 x y

20、(本小题满分 12 分). 已知 f ( x ) 为定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 时,函数解析式为 f ( x) ?

1 1 ? . 4x 2x

(Ⅰ)求 f ( x ) 在 [0,1] 上的解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [0,1] 上的最值.

21、(本小题满分 12 分).如图,有一块矩形空地 ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边 形 EFGH 为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上 . 已知 AB=a ( a>2 ) , BC=2 ,且 AE=AH=CF=CG,设 AE=x,绿地 EFGH 面积为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数解析式,并求出它的定义域;
D H A E G C F B

(2)当 AE 为何值时,绿地面积 y 最大?并求出最大值。

?1? 22、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ?1 ? loga ( x ? 2) (a>0,且 a≠1), g ( x) = ? ? ?2?
(1)函数 y ? f ( x) 的图象恒过定点 A,求 A 点坐标; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的图像过点(2, 有唯一解.

x ?1

.

1 ),证明:方程 F ( x) ? 0 在 x ?(1,2)上 2

23.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? 2 loga (2x ? t )(t ? R), a ? 0, 且a ? 1. (Ⅰ)若 1 是关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的一个解,求 t 的值; (Ⅱ)当 0 ? a ? 1且t ? ?1 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (Ⅲ)若函数 F ( x) ? a f ( x) ? tx 2 ? 2t ? 1 在区间 ?? 1,2? 上有零点,求 t 的取值范围.

福建师大附中 2015-2016 学年第一学期模块考试卷解答 一、选择题:CAABB BCCDD BC 1 二、填空题: 13、 [?1, 0) ? (0, ??) 14、 15、 [?2, 2] 16、 [-1,+∞) 27
17、②③⑤ 三、解答题: (本大题共 6 题,满分 70 分) 18、 (本小题满分 12 分)(1)若 a ? ?1 ,则 B ? {x | ?2 ? x ? 1}

∴ A ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1} , A ? B ? {x | x ? 1或x ? 5} ;……6 分 (2)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A ……1 分 ①若 B ? ? ,则 2a ? a ? 2 ,∴ a ? 2 ……3 分 ?a ? 2 ?a ? 2 ②若 B ? ? ,则 ? 或? ,∴ a ? ?3 ……5 分 ?a ? 2 ? ?1 ?2a ? 5 所以,综上, a ? 2 或 a ? ?3 .……6 分
19、 (本小题满分 12 分)求值:
4 ? ? 5? 3 3 (1) ? 0.064? ? ? ? ? ? [(?2) ] ? 16?0.75 ; ? 9? 10 1 1 27 解: (1)原式 ? 0.4?1 ?1 ? (?2)?4 ? 2?3 ? ? 1 ? ? ? ;……(6 分) 4 16 8 16 2 1 x y (2)设 3 ? 4 ? 36 ,求 ? 的值。 x y x y (2)由 3 ? 4 ? 36 得 x ? log3 36; y ? log4 36 ,从而……2 分 2 1 2 1 ? ? ? ? 2 log36 3 ? log36 4 ? log36 9 ? log36 4 ? log36 36 ? 1 x y log3 36 log4 36 ……6 分 ? 1 3 0

20、 (本小题 12 分)

解: (Ⅰ)设 x ??0,1? ,则 ? x ???1,0? .

1 1 x x - ?x = 4 ? 2 ?x 4 2 x x 又∵ f (? x) ? ? f ( x) =-( 4 ? 2 )
∴ f ( x) = ∴ f ( x) = 2 ? 4
x x

.
x x

所以, f ( x ) 在 [0,1] 上的解析式为 f ( x ) = 2 ? 4
x x x 2

(Ⅱ)当 x ??0,1? , f ( x ) = 2 ? 4 ? ?(2 ) ? 2 ,
x

6分

∴设 t ? 2 (t ? 0) ,则 y ? ?t ? t
x 2

∵ x ??0,1? ,∴ t ?[1, 2]

当 t ? 1 时 x ? 0 , f ( x)max ? 0. 当 t ? 2 时 x ? 1 , f ( x)min ? ?2 . 所以,函数 f ( x ) 在[0,1]上的最大与最小值分别为 0, ?2 21、(本小题满分 12 分). 解: (1)如图,由题意,得 S ?AEH ? S ?CFG ? 12 分

1 2 x , (1 分) 2

D H A E

G

C F B

1 (a ? x)( 2 ? x) , (2 分) 2 所以 y ? S矩形ABCD ? 2S ?AEH ? 2S ?BEF ? ?2x 2 ? (a ? 2) x .(4 分) S ?BEF ? S ?DGH ?

? x ? 0, ?a ? x ? 0, ? 由? 得0 ? x ? 2 . ?2 ? x ? 0, ? ?a ? 2,
2

(6 分)

故 y ? ?2x 2 ? (a ? 2) x ,定义域为 ?0,2? .

(7 分)

a ? 2 2 (a ? 2) 2 y ? ?2 x ? (a ? 2) x ? ?2( x ? ) ? (2) 4 8
a?2 a?2 (a ? 2) 2 ? 2 ,即 2 ? a ? 6 时,则 x ? 时, y max ? ; (9 分) 4 4 8 a?2 ? 2 ,即 a ? 6 时, y ? ?2x 2 ? (a ? 2) x 在 ?0,2? 上是增函数, (10 分) 当 4 则 x ? 2 时, ymax ? 2a ? 4 . (11 分)


a?2 ( a ? 2) 2 综上所述,当 2 ? a ? 6 , AE ? 时,绿地面积最大值为 ; 4 8 当 a ? 6 , AE ? 2 时,绿地面积最大值为 2a ? 4 . (12 分)
22、 (本小题满分 10 分) (1) A(?1,?1) ……3 分

1 x ?1 1 过(2, ) ∴a=2 ……5 分 2 2 1 x ?1 ∴ F ( x) ? ?1 ? log 2 ( x ? 2) ? ( ) 2 1 ? y ? log 2 ( x ? 2), y ? ?( ) x ?1 分别为 (?2,?? ) 上的增函数 2 ∴ F ( x)为(?2,??)上的增函数 ……6 分 ∴ F ( x)在?? 2,???上至多有一个零点 又(1,2) ? ?? 2,??? ∴ F ( x)在(1,2) 上至多有一个零点 ……7 分 1 ?1 1 1 0 而 F (2) ? ?1 ? 2 ? ( ) ? ? 0 , F (1) ? ?1 ? log 2 3 ? ( ) ? log 2 3 ? 2 ? 0 2 2 2 ? F (1) F (2) ? 0 ……9 分 ∴ F ( x) ? 0在 (1,2) 上有唯一解. ……10 分 23.(本题满分 12 分)
(2)∵ F ( x) ? ?1 ? log a ( x ? 2) ? ( ) 解: (Ⅰ) ∵1 是方程 f(x)-g(x)=0 的解, 2 ∴loga2=loga(2+t) , 2 ∴(2+t) =2 又∵t+2>0 ∴t+2= 2 ∴t= 2 ? 2 . ………………… 3 分

(Ⅱ)∵t=-1 时,loga(x+1)≤loga(2x-1) ∴ x+1≥(2x-1) 2x-1>0 ∴解集为:{x|
2 2

2

又∵0<a<1 ∴ 0≤x≤ x>

∴ 4x -5x≤0 x>

5 4

1 2

1 2

1 5 ? x ? }. 2 4
2

…………………7 分

(Ⅲ) 解法一:∵F(x) =tx +x-2t+2

x?2 ( x ? ? 2 且-1<x≤2) x2 ? 2 x?2 ∴t= ? …………………9 分 2 ( x ? 2) ? 4( x ? 2) ? 2 U 1 ?? 设 U=x+2 ( 1<U≤4 且 U≠2 ? 2 ) 则 t= ? 2 2 U ? 4U ? 2 U ?4? U 2 令 ? (U ) = U ? ∵当 1 ? U ? 2 时, ? (U ) 是减函数, U
由 F(x)=0 得:t= ? 当 2 ? U ? 4 时, ? (U ) 是增函数, 且 ? ( 2 ) ? 2 2 , ? (1) ? 3, ? (4) ? ∴ 2 2 ? ? (U ) ? ∴?

9 . 2

9 且 ? (U ) ≠4. 2

…………………10 分

1 2 2 ? 4- U ? <0 或 0<4- U ? ≤ 4 ? 2 2 , 2 U U 2? 2 t 的取值范围为: t ? ?2或t ? . …………………12 分 4 解法二:若 t=0,则 F(x)=x+2 在 (?1,2] 上没有零点.下面就 t≠0 时分三种情况讨论:
① 方程 F(x)=0 在 (?1,2] 上有重根 x1=x2,则Δ =0,解得:t= ∈ (?1,2] ,∴t=

2? 2 4

又 x1=x2= ?

1 2t

2? 2 . …………………6 分 4 ② F(x)在 (?1,2] 上只有一个零点,且不是方程的重根,则有 F(-1)F(2)<0 解得:t<-2 或 t>1 又经检验:t=-2 或 t=1 时,F(x)在 (?1,2] 上都有零点;
∴t≤-2 或 t≥1. ③ 方程 F(x)=0 在 (?1,2] 上有两个相异实根,则有: t>0 t<0 Δ >0 Δ >0 -1< ? …………………8 分

1 ?2 2t



-1< ?

1 ?2 2t

解得:

2? 2 ? t ?1 4

F(-1)>0 F(2)>0

F(-1)<0 F(2)<0 …………………10 分

综合①②③可知:t 的取值范围为 t ? ?2或t ?

2? 2 . …………………12 分 4

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