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新疆库尔勒市第四中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


库尔勒市第四中学 2015-2016 学年(下)期末考试 (高二年级理科数学)试卷(问卷)
考试范围:选修 2-2,2-3;试卷页数:2;考试时间:100 分钟。 班级:___________姓名:___________考号:___________

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

2i ? 1.复数 i ?1 (<

br />A. 1 ? i

) C. 1 ? i D. ?1 ? i

B. ?1 ? i

2.设 ξ 的分布列如下: ξ -1 0 Pi 则 P 等于(
1 2 1 3

1 P

)

1 1 A.0 B. 6 C. 3 D.不确定
2 6 3.若 Cn ,则 n 的值为( ? Cn

) D. 8

A. 11

B. 10

C. 9

4. 3 名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,排球队,每人限报 其中的一个运动队,不同报法的种数是( ) A. 34 B. 4 3 C.24 D.12 )

5.如果随机变量 ? ~ N (?1, ? 2 ) ,且 P(?3 ? ? ? ?1) ? 0.4 ,则 P(? ? 1) ? ( A. 0 .4 B. 0.3 C. 0 . 2 D. 0.1

6.已知 x , y 的取值如下表:

从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且回归方程为 y ? 0.95x ? a ,则 a ? A. 3.25
1 0

B. 2.6 )

C. 2.2

D. 0

7. ? (e x ? 2 x)dx ? (

-1-

A. 1

B.e﹣1

C.e

D.e+1

8 . 设 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ???? ? (1 ? x)n

? a0 ? a1 x ? 2 2a

当x x? n ?n ? , ?a ?

a0 ? a ? 1 a ???? 2 ? an ? 254 时, n 等于(
A.5 B .6 C.7

) D.8 )

9.若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 等于( 2k

1 2 10.甲、乙两人相互独立地解同一道数学题.已知甲做对此题的概率是 0.8,乙做 对此题的概率是 0.7,那么甲、乙两人中恰有一人做对此题的概率是( ) A. 0.56 B.0.38 C.0.24 D.0.14

A.-1

B.-2

C.1

D.

11.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用, 用完后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P( X ) ,则
P( X ? 4) 的值为(

) B.
27 55

A.

1 220

C.

27 220

D.

21 25

12.把座位编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少 分一张,至多分两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同分法种数为( A.240 B. 144 C.196 D. 288 )

二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分) 1 13.已知随机变量 ? ~ B (5, ) ,随机变量? ? 2? ? 1 ,则 E ?? ? ? 3 14.设二项式 ( x ?
3

. . .

1 5 ) 的展开式中常数项为 A,则 A= x

15. i 是虚数单位,若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数,则实 数 a 的值为
1 16.如图阴影部分是由 y ? , y 2 ? x 与直线 x ? 2, y ? 0 围成,则其面积为________. x

-2-

三、解答题(每道题 14 分,共 70 分) 17.已知函数 (1)求

f ? x ? ? x3 ? 3x ? 1 .

f ? x?

的单调区间和极值;

(2)求曲线在点 ?

0, f ? 0??

处的切线方程.

18.在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配 方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香 度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首 先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。 用 ? 表示所选用的两种不同的添加 剂的芳香度之和。 (Ⅰ)写出 ? 的分布列; (以列表的形式给出结论,不必写计算过程) (Ⅱ)求 ? 的数学期望 E? 。 (要求写出计算过程或说明道理)

19.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于 85 分 为优秀,85 分以下为 非优秀统计成绩后,得到如下的 2 ? 2 列联表 :已知从全部 210 人中随机抽取 1 人
2 为优秀的概率为 . 7

优秀 非优秀 总计 甲班 20 乙班 60 合计 210 (Ⅰ)请完成上面的 2 ? 2 列联表; (Ⅱ)判断若按 99%的可靠性要求,能否认为“成绩与班 级有关”;

-3-

20.已知函数 f ? x ? ? ax2 ? 4ln ? x ? 1? , a ? R . (1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2)已知点 P ?1 , 1? 和 函数 f ? x ? 图象上动点 M ? m , f ? m?? ,对任意 m ? ? 2 , e ? 1? ,直 线 PM 倾斜角都是钝角,求 a 的取值范围.

21.用数学归纳法证明: 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? 参考答案 1.A 【解析】
2i ? ?i ? 1? 2i ? ? 1? i i ? 1 2 试题分析:

n(n ? 1)( 2n ? 1) (n ? N ? ) 6



考点:复数的除法. 2.B
1 【解析】试题分析:由概率之和为 1,得 P 等于 6 .

考点:概率的性质. 3.D 【解析】 试 题 分 析 :

























n! n! ? ? (n ? 2)(n ? 3)(n ? 4)(n ? 5) ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 , 从 中 可 得 2!(n ? 2)! 6!(n ? 6)!
n ? 2 ? 6 ? n ? 8 ,故选 D. 考点:组合数的计算. 4.B 【解析】解:因为 4 名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每 人限报其中的一个运动队,由分步乘法计数得到为 ,选 B 5.D 【解析】
4
4

试题分析:由随机变量 ? ~ N (?1, ? 2 ) 知,总体密度曲线关于 x ? ?1 对称 ,所以 , P(? ? ?3) ? P(? ? 1) ? 0.1 ,故选 D. P(?3 ? ? ? ? 1)? P ( ?1 ? ? ? 1) ? 0.4
-4-

考点:正态曲线. 6.B 【解析】 试 题 分 析 : ∵ 点
x?

? x, y ?

在 回 归 直 线 上 , 计 算 得

0 ?1? 3 ? 4 2.2 ? 4.3 ? 4.8 ? 6.7 ? 2, y ? ? 4.5 4 4 ∴回归方程过点(2,4.5)代入得 4.5=0.95× 2+a,∴a=2.6; 考点:回归方程 7.C 【解析】

试题分析: ? (e x ? 2 x)dx ? (e x ? x 2 ) 1 0 ? e ? 1 ? 1 ? e ,故选:C.
0

1

考点:定积分. 8.C. 【解析】 试 题 分
2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ?







x ?1









2(2n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ? 254 ? n ? 1 ? 8 ? n ? 7 ,故选 C. 2 ?1

考点:二项式定理. 9.A 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 导 数 的 定 义 知 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 1 l i m = ? lim = ? f ?( x0 ) =-1,故选 A. k ?0 2k 2 ? k ?0 ?k 2 考点:导数的定义 10.B 【解析】 11.C 【解析】 试题分析:从盒中任取 3 个球来用,用完后装回盒中,当盒中旧球的个数为 X ? 4 时,相当于旧球的个数在原来 3 个的基础上增加了一个,所以取出的 3 个球中只 有一个新球即取出的 3 个球中有 2 个是旧球 1 个新球,所以
P( X ? 4) ?
1 C32C9 3? 9 27 ? ? ,故选 C. 3 12 ?11?10 220 C12 3 ? 2 ?1

考点:离散型随机变量及其分布列. 12.B 【解析 】 试题分析:由题意得,可分为两步进行: (1)先将票分为复合条件的 4 份, 4 人分 6 张票,其每人至少一张,至多两张,则其中两人一张,两人 2 张,且分得的票必 须是连号的,相当于将 1, 2,3, 4,5,6 ,这六个数字分用 3 个板子隔开,分为四部分且
-5-

3 不存在三个连号,易得在 5 各空位 中插入 3 个板子,共有 C5 ? 10 种情况,但其中四

种是一人 3 张票,所以共有 10 ? 4 ? 6 种情况; (2)将分好的四份对应分为 4 人,共
4 有 A4 ? 24 中,所以共有 6 ? 24 ? 144 种不同的分法,故选 A.

考点:计数原理的应用. 【方法点晴】本题主要考查了排列、组合及其分步计数原理的应用,解答的关键 是将标号的电影票的分票问题转化为数字采用隔板法分为四部分,采用了插空法 解决问题,试题有一定的思维深度,属于中档试题,同时也是一个易错题,着重 考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化思想的应用. 7 13. 3 【解析】 1 5 试题分 析: 根据 二项 分布的 数学 期望 及其 性质, 可得 E ?? ? ? np ? 5 ? 3 ? 3 , 5 7 E ? a? ? b ? ? aE ?? ? ? b ? 2 ? ? 1 ? . 3 3 考点:二项分布的数学期望及其性质. 14. ? 10 . 【解析】 试 题 分 析 : 由 二 项 式 定 理 可 知 , 二 项 式 展 开 的 第 r ?1 项 为
r Tr ?1 ? C (? 1 r) 2 x 5 5? r ? r 3

?

5 5r ? 5 5 r r 2 3 6 ? r ? 0 ,则 r ? 3 ,∴ A ? C5 ,令 C ? ( 1 ) x (?1)3 ? ?10 . 5 2 6

考点:二项式定理. 15. ?2 【解析】 试题分析:由复数的运算可知 (1 ? 2i)(a ? i) ? a ? 2 ? (1 ? 2a)i , ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚 数,则其实部必为零,即 a ? 2 ? 0 ,所以 a ? ?2 . 考点:复数的运算. 2 16. ? ln 2 3 【解析】 试题分析:由图中阴影知, s ? ?
2 应填: ? ln 2 . 3 考点:定积分求面 积.
g x g 0 ? ?2 g 1 ? ?2 ⑶ 当 a ? 0 时,二次函数 ? ? 的图象开口向上,且 ? ? , ?? .
1

0

xdx ? ?

2

1

1 2 3 2 2 dx ? x 2 |1 ? ln 2 ,所以答案 0 ? ln x |1 ? x 3 3

所以

?x0 ? ?1, ? ??

,当

x ? ?1,x0 ?

g x ?0 g x ?0 x? x , ? ?? 时, ? ? . 当 ? 0 时, ? ? .
-6-

f x 1, ? ?? 所以 ? ? 在区间 ? 内先递减再递增. f x 2, e ? 1? f 2 f e ? 1? 故 ? ? 在区间 ? 上的最大值只能是 ? ? 或 ? .
? ? f ? 2 ? ? 1, ? ? f ? e ? 1? ? 1. 所以 ?
a? 1 4.

? ?4a ? 1, 1 ? 2 0?a? a ? e ? 1? ? 4 ? 1. ? ? 4. 即 所以

综上 考点:1 用导数研究函数的性质;2 分类讨论思想。 21 . 见解析 【 解 析 】 证 明 分 两 个 步 骤 : 一 是 先 验 证 : 当 n=1 时 , 等 式 成 立 ; 二 是 先 假 设 n=k 时 , 原 式 成 立 。 再 证 明 当 n=k+1 时 , 等 成 也 成 立 , 再 证 明 的 过 程 中 一 定 要 用 上 n=k 时 的 归 纳 假 设 证明:⑴ 当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ?
(1 ? 1)(2 ? 1) ? 1 ,即原式成立 6

----4 分

⑵ 假设当 n ? k 时,原式成立,即 12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ?

k (k ? 1)(2k ? 1) 6

----6 分

当 n ? k ? 1 时, 12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ? (k ? 1) 2 ?

k (k ? 1)(2k ? 1) ? (k ? 1) 2 6

k (k ? 1)(2k ? 1) ? 6(k ? 1) 2 (k ? 1)(2k 2 ? 7 k ? 6) ? 6 6 (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) ? 6 ?

即当 n ? k ? 1 时原式也成立,由⑴⑵可知,对任意 n ? N * 原等式都成立

-7-


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