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高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 . 三角函数的图象与性质练习 理-课件


第三章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象与性质练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2015·唐山期末]函数 f(x)=1-2sin 的最小正周期为( 2 A.2π C. π 2 B.π D.4π
2

x

)

答案 A 2π 2x 解析 ∵f(x)=1-2sin =cosx,∴f(x

)的最小正周期 T= =2π ,故选 A. 2 1 π? ? * 2 .[2016·西安八校联考 ] 若函数 y = cos ?ω x+ ? (ω ∈ N ) 图象的一个对称中心是 6? ?

?π ,0?,则 ω 的最小值为( ?6 ? ? ?
A.1 C.4 答案 B

) B.2 D.8

πω π π 解析 由题知 + =kπ + (k∈Z)? ω =6k+2(k∈Z)? ω min=2,故选 B. 6 6 2 3. [2015·景德镇一模]使函数 f(x)=sin(2x+φ )为 R 上的奇函数的 φ 值可以是( A. π 4 B. D. π 2 3π 2 )

C.π 答案 C

解析 要使函数 f(x)=sin(2x+φ )为 R 上的奇函数,需 φ =kπ ,k∈Z,故选 C.

? 2π ? 4.[2015·漳州一模]若函数 y=2cosω x 在区间?0, ?上单调递减,且有最小值 1, 3 ? ?
则 ω 的值可以是( A.2 C.3 答案 B 解析 ) B. D. 1 2 1 3

? 2π ? ?2π ? 由 y=2cosω x 在?0, ?上是递减的,且有最小值为 1,则有 f? ?=1,即 3 ? ? ? 3 ?

2π 2π 1 2cos ω =1,即 cos ω = .经验证,得出选项 B 符合. 3 3 2

?π ? 5.[2015·哈尔滨二模]若 f(x)=2sin(ω x+φ )+m,对任意实数 t 都有 f? +t?= ?8 ?

1

?π ? ?π ? f? -t?,且 f? ?=-3,则实数 m 的值等于( ?8 ? ?8?
A.-1 C.-5 或-1 答案 C 解析 由 f?

) B.±5 D.5 或 1

?π +t?=f?π -t?得函数的对称轴为 x=π .故当 x=π 时,函数取得最大值 ? ?8 ? 8 8 ?8 ? ? ?

或最小值,于是有-2+m=-3 或 2+m=-3,即 m=-1 或-5,故选 C.

? π? 6.函数 f(x)=sin?x- ?的图象的一条对称轴是( 4? ?
π A.x= 4 π C.x=- 4 答案 C π B.x= 2

)

π D.x=- 2

解析 解法一(图象特征):∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令 x π π 3π - =kπ + ,k∈Z,∴x=kπ + ,k∈Z. 4 2 4 π 取 k=-1,则 x=- . 4 解法二(验证法) :x= π π ?π π ? 时, y= sin? - ? = 0,不合题意,排除 A; x= 时, y= 4 2 ?4 4?

2 π ?π π ? ? π π? sin? - ?= ,不合题意,排除 B;x=- 时,y=sin?- - ?=-1,符合题意,C 2 4 4 ? ? 2 ? 4 4? π 2 ? π π? 正确;而 x=- 时,y=sin?- - ?=- ,不合题意,故 D 也不正确. 2 2 ? 2 4? π? ?π 7.[2015·忻州一模]函数 y=2sin? x- ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( 3? ?6 A.2- 3 C.-1 答案 A π 3π 解析 ∵0≤x≤9,∴0≤ x≤ , 6 2 π π π 7π ∴- ≤ x- ≤ , 3 6 3 6 ∴- π? 3 ?π ≤sin? x- ?≤1, 3? 2 ?6 B.0 D.-1- 3 )

π? ?π 即- 3≤2sin? x- ?≤2. 3? ?6 ∴函数的最大值与最小值之和为 2- 3. 8.[2016·云南名校联考]已知函数①y=sinx+cosx,②y=2 2sinxcosx,则下列结论
2

正确的是(

)

? π ? A.两个函数的图象均关于点?- ,0?成中心对称图形 ? 4 ?
π B.两个函数的图象均关于直线 x=- 成轴对称图形 4

? π π? C.两个函数在区间?- , ?上都是单调递增函数 ? 4 4?
D.两个函数的最小正周期相同 答案 C

? π? 解析 令 f(x)=sinx+cosx= 2sin?x+ ?,g(x)=2 2sinxcosx= 2sin2x.对于 A、 4? ?
π π π ? π? ? π? B, f?- ?=0, g?- ?=- 2≠0, 所以 A、 B 都不正确. 对于 C, 由- +2kπ ≤x+ ≤ 2 4 2 ? 4? ? 4? π π ? 3π ? + 2kπ (k ∈ Z) ,得 f(x) 的单调递增区间为 ?- +2kπ , +2kπ ? (k ∈ Z) ,又由- + 4 4 2 ? ? π ? π 2kπ ≤2x≤ +2kπ (k∈Z),得 g(x)的单调递增区间为?- 2 ? 4 C. +kπ , π + kπ ? ?(k∈Z), 4 ?

易知 C 正确.对于 D,f(x)的最小正周期为 2π ,g(x)的最小正周期为 π ,D 不正确.故选

? π? 9.函数 f(x)=sinx+sin?x+ ?的最大值为________. 3? ?
答案 3 3 ? π? 3 ? π? ? π? 解析 ∵f(x)=sinx+sin?x+ ?= sinx+ cosx= 3sin?x+ ?,∴当 sin?x+ ? 3? 2 6? 6? 2 ? ? ? =1 时,f(x)取得最大值 3. 10.已知函数 f(x)=|cosx|·sinx,给出下列五个说法: ①f?

?2014π ? =- 3 ;②若 |f(x )| = |f(x )| ,则 x = x + kπ (k ∈ Z) ;③ f(x) 在区间 ? 1 2 1 2 4 ? 3 ?

?-π ,π ?上单调递增;④函数 f(x)的周期为 π ;⑤f(x)的图象关于点?-π ,0?成中心对 ? 4 4? ? 2 ? ? ? ? ?
称.其中正确说法的序号是________. 答案 ①③ 解析 ①f?

?2014π ?=f?671π +π ?=?cos?671π +π ??· ? ? ? ? ? 3? 3? ? 3 ? ? ? ? ? ??

π? π? π? 3 ? sin?671π + ?=cos ?-sin ?=- ,正确. 3 3 3 4 ? ? ? ? π 5π 6π 3π ②令 x1=- ,x2= ,则|f(x1)|=|f(x2)|,但 x1-x2=- =- ,不满足 x1= 4 4 4 2

x2+kπ (k∈Z),不正确.

3

1 π π sin2x,2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z ? ?2 2 2 ③f(x)=? 1 π 3π - sin2x,2kπ + <x<2kπ + ,k∈Z ? ? 2 2 2



? π π? ∴f(x)在?- , ?上单调递增,正确. ? 4 4?
④f(x)的周期为 2π ,不正确. ⑤∵f(-π +x)=-|cosx|sinx,f(-x)=-|cosx|sinx, ∴f(-π +x)+f(-x)≠0,

? π ? ∴f(x)的图象不关于点?- ,0?成中心对称,∴不正确. 2 ? ?
综上可知,正确说法的序号是①③.

? π? 11.[2016·沈阳一检]已知函数 f(x)=2sinxsin?x+ ?. 6? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;

? π? (2)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的值域. 2? ?
解 (1)f(x)=2sinx? π? 1-cos2x 1 3 1 ? 3 ? ? + sin2x=sin?2x- ?+ . sinx+ cosx?= 3× 3? 2 2 2 ? 2 ?2 ?

函数 f(x)的最小正周期为 T=π . π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 解得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 12 12 5π ? π ? 所以函数 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 12 ? 12 ? π ? π 2π ? ? π? (2)当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?, 2? 3 ? 3 ? 3 ? π? ? 3 ? 3? ? ? sin?2x- ?∈?- ,1?,f(x)∈?0,1+ ?. 3? ? 2 ? 2 ? ? ? 12.[2016·南昌调研]函数 f(x)=psinω x(p>0,ω >0)的最大值为 2,其图象相邻两条 π 对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; 2π ?B? (2)在△ABC 中,AC=f? ?,C= ,求△ABC 周长的最大值. 2 3 ? ? 解 (1)依题意 p=2,∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为半个周期,

T π 2π ∴ = ,T=π ,∴ω = =2,f(x)=2sin2x. 2 2 T
π π ?B? (2)AC=f? ?=2sinB,A= -B,0<B< , 3 3 ?2?
4



= = =2, sinC sinA sinB 3 ?π ? = 3,BC=2sinA=2sin? -B?, 2 ?3 ?

AB

BC

AC

∴AB=2sinC=2×

3 ?1 ? ?π ? ∴△ABC 的周长 l=AB+BC+AC= 3+2sin? -B?+2sinB=2? sinB+ cosB?+ 3= 3 ? ? 2 ?2 ?

? π? 2sin?B+ ?+ 3. 3? ?
π π π 2π 又∵0<B< ,∴ <B+ < , 3 3 3 3 π π π ∴当 B+ = ,即 B= 时,△ABC 的周长 l 取得最大值 2+ 3. 3 2 6 [B 组·能力提升练]

? ?π ?? 1.已知 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 f(x)≤?f? ??对一切 x∈R ? ? 6 ?? ?π ? 恒成立,且 f? ?>0,则 f(x)的单调递增区间是( ?2?
π π? ? A.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 3 6? ? π 2π ? ? B.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π? ? C.?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ? π ? ? D.?kπ - ,kπ ?(k∈Z) 2 ? ? 答案 B )

b ? ?π ?? 2 2 解析 f(x)=asin2x+bcos2x= a +b sin(2x+φ ), 其中 tanφ = .∵f(x)≤?f? ??, a ? ? 6 ??
π π π ?π ? ∴x= 是函数 f(x)的图象的一条对称轴,即 +φ = +kπ (k∈Z),又 f? ?>0,∴φ 的 6 3 2 ?2? 取值可以是- 5π ? 5π π 5π π ? 2 2 ,∴f(x)= a +b ·sin?2x- ?,由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k 6 ? 6 2 6 2 ?

π 2π ∈Z)得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z),故选 B. 6 3 2.[2015·唐山一模]函数 f(x)=|sinx|+2|cosx|的值域为( A.[1, 5] C.[2, 5] 答案 A 解析 ∵f(x+π )=|sin(x+π )|+2|cos(x+π )|=|-sinx|+2|-cosx|=|sinx|+ 2|cosx|,∴f(x)为周期函数,其中一个周期为 T=π ,故只需考虑 f(x)在[0,π ]上的值域 B.[1,2] D.[ 5,3] )

5

1 2 ? π ? f(x)=sinx+2cosx= 5sin(x+α ), 即可. 当 x∈?0, ?时, 其中 cosα = , sinα = , 2? ? 5 5 ∴f(x)max=f?

?π -α ?= 5,f(x) =f?π ?=1.当 x∈?π ,π ?时,f(x)=sinx-2cosx= 5 ? min ?2? ?2 ? ?2 ? ? ? ? ?
1 5 ,sinβ =- 2

sin(x+β ),其中 cosβ =

?π ? ?π ? ,∴f(x)max=f? -β ?= 5,f(x)min=f? ?= 2 ? ? ?2? 5

1,∴f(x)的值域为[1, 5]. π? ? 2 3.[2015·石家庄一模]已知函数 f(x)=Acos (ω x+φ )+1?A>0,ω >0,0<φ < ?的最 2? ? 大值为 3,f(x)的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为 2,则 f(1) +f(2)+…+f(2015)=________. 答案 4030 解析 f(x)= cos(2ω x+2φ )+ +1.由相邻两条对称轴间的距离为 2,知 =2,得 T 2 2 2 2π π =4= ,ω = ,由 f(x)的最大值为 3 得 A=2.又 f(x)的图象过点(0,2),∴cos2φ =0, 2ω 4 π? π π π πx ?π ∴2φ =kπ + (k∈Z),又 0<φ < ,∴φ = ,∴f(x)=cos? x+ ?+2=-sin +2. 2 2 2 2 4 2 ? ? ∴f(1)=1, f(2)=2,f(3)=3,f(4)=2, 又 f(x)的周期为 4,2015=4×503+3, ∴f(1) +f(2)+…+f(2015)=503×(1+2+3+2)+1+2+3=4030. 4.已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x-2. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程; (2)求 f(x)的单调增区间;
2 2

A

A

T

?π 3π ? (3)当 x∈? , ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 4 ? ?4
解 π? ? (1)f(x)=sin2x+cos2x= 2sin?2x+ ?, 4? ?

π π kπ π 令 2x+ =kπ + ,k∈Z,则 x= + ,k∈Z. 4 2 2 8 ∴函数 f(x)图象的对称轴方程是 x=


2

π + ,k∈Z. 8

π π π (2)令 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 则 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π? ? 故 f(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 3π π 7π ?π 3π ? (3)当 x∈? , ?时, ≤2x+ ≤ , 4 4 4 4 4 ? ? π? 2 ? ∴-1≤sin?2x+ ?≤ ,∴- 2≤f(x)≤1, 4? 2 ?

6

?π 3π ? ∴当 x∈? , ?时,函数 f(x)的最大值为 1,最小值为- 2. 4 ? ?4

7


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