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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇[1]


向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心) :角平分线上的任意点到角两边 的距离相等; (4) 外心——中垂线的交点 (外接圆的圆心) : 外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

>
(1) OA ? OB ? OC ? 0 ? O 是 ?ABC 的重心.
证法 1:设 O( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 )

OA ? OB ? OC ? 0 ?

? O 是 ?ABC 的重心.
证法 2:如图

x ? x 2 ? x3 ? x? 1 ? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? 0 ? 3 ?? ? ?( y1 ? y) ? ( y 2 ? y) ? ( y3 ? y) ? 0 ? y ? y1 ? y 2 ? y 3 ? 3 ?
A

? OA ? OB ? OC E ? OA ? 2OD ? 0 O ? AO ? 2OD ? A、O、D 三点共线,且 O 分 AD 为 2:1 B D ? O 是 ?ABC 的重心 (2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? O 为 ?ABC 的垂心.
证明:如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心,BE 垂直 AC,AD 垂直 BC, D、E 是垂足.

C

A

? OB ? AC

E O

OA? OB ? OB ? OC ? OB(OA ? OC) ? OB ? CA ? 0
B

同理 OA ? BC , OC ? AB ? O 为 ?ABC 的垂心

D

C

(3)设 a , b , c 是三角形的三条边长,O 是 ? ABC 的 内心 aOA ? bOB ? cOC ? 0 ? O 为 ?ABC 的内心.
AB AC AB AC 分 别 为 AB 平分 、 ? 、 AC 方 向 上 的 单 位 向 量 , ? c b c b bc bc AB AC AB AC ?BAC ,? AO ? ?( ),令 ? ? ( )化 ? ? ? AO ? a?b?c a?b?c c b c b 简得 (a ? b ? c)OA ? b AB ? c AC ? 0 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0
证明:?

(4) OA ? OB ? OC ? O 为 ?ABC 的外心。
已知 O 是 △ ABC 所在平面上一点,若 OA2 ? OB2 ? OC 2 ,则 O 是 △ ABC 的外心. C
A O B

【解析】 若 OA ? OB ? OC ,则 OA ? OB ? OC ,∴ OA ? OB ? OC ,则 O 是 △ ABC 的外心,如图。

2

2

2

2

2

2

相关结论:
1.设 ? ? ?0,???, 则向量 ? (

AB AB

?

AC AC

该向量必通过△ABC 的内心; ) 必平分∠BAC,

2.设 ? ? ?0,???,则向量 AP = ? ( 通过△ABC 的垂心

AB AB cos B

?

AC AC cosC

) 必垂直于边 BC,该向量必

? ? AB AC ? ? ? BC ? 0 , ? 解析: ? AB cos B AC cos C ? ? ?



AB ? BC AB cos B

?

AC ? BC AC cos C

? BC ? CB ? 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量,即 P

点在过点 A 且垂直于 BC 的直线上,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的垂心 3.△ABC 中 AB ? AC 一定过 BC 的中点,通过△ABC 的重心 4. PG ? (PA ? PB ? PC) ? G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点). 证明 PG ? PA ? AG ? PB ? BG ? PC ? CG ? 3PG ? ( AG ? BG ? CG) ? (PA ? PB ? PC ) ∵ G 是△ ABC 的重心∴GA ? GB ? GC = 0 ? AG ? BG ? CG = 0 , 即 3PG ? PA ? PB ? PC 由此可得 PG ? (PA ? PB ? PC)
1 3 1 3

典型例题:
例 1 : O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的(
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 分析:如图所示 ?ABC , D、E 分别为边 BC、AC 的 中点.? AB ? AC ? 2 AD ? OP ? OA ? 2? AD



A

? OP ? OA ? AP ? AP ? 2? AD ? AP // AD

E

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的重心,即选 C .
例 2: (03 全国理 4) O 是平面上一定点, A、B、C 是平面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点
B D C

P

满 足

OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( B )
B.内心 C.重心 D.垂心

A.外心 分析:?

AB

AC AB AC 分别为 AB 平分 ?BAC , 、 ? 、 AC 方向上的单位向量,? AB AC AB AC

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的内心,即选 B . 例 3 : O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足
OP ? OA ? ? ( AB AB c o s B ? AC AC c o s C ) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 分析:如图所示 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC, D、E 是垂足.

A

(

AB AB cos B

?

AC AC cosC
?

) ? BC =

AB ? BC AB cos B

?

AC ?BC AC cosC
E

? AB BC cos B
=

AC BC cosC AC cosC

AB cos B

= ? BC + BC =0
B D C

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心,即选 D .
例、O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

O P? O A ? ?(
A.外心 分析

AB AC P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ? )? ? ? [ 0 ?? , 则 ). | A B| | A C|
B.内心 C.重心 D.垂心

) .

已知等式即 AP ? ? (

AB AC AB AC ,显然 ? ) ,设 AE ? , AF ? | AB | | AC | | AB | | AC |

AE, AF 都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故 AP 为
?ABC 的平分线,选 B .
练习:1.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若 实数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( A.2 B. ) D.6 )

3 2

C.3

2. 若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1,OA ? OB ? OC ? 0 , 则 OA ? OB ? ( A.

1 2

B.0

C.1

D. ?

1 2

3 . 点 O 在 ?ABC 内 部 且 满 足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 , 则 ?ABC 面 积 与 凹 四 边 形

ABOC 面积之比是(
A.0

) B.

3 2

C.

5 4

D.

4 3


4. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OH ? OA ? OB ? OC ,则 H 是 ?ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2 2

5. O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,若 OA ? BC ? OB

2

? CA ? OC ? AB ,则 O 是 ?ABC 的(
A.外心 B.内心

2

2

2

) D.垂心

C.重心

?ABC 的外接圆的圆心为 O, 6. 两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) ,
则实数 m = → → → → 1 AB AC AB AC → → → 7. (06 陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则 → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB △ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
2

8 .已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则

?ABC 为(

) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C


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