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【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习第七章立体几何课时规范训练7-2


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2015· 高考福建卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等 于( )

A.8+2 2 C.14+2 2

B.11+2 2 D.15

解析:由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如 图所示.

直角梯形斜腰长为 12+12= 2,所以底面周长为 4+ 2,侧面积为 2×(4 1 + 2)=8+2 2,两底面的面积和为 2×2×1×(1+2)=3,所以该几何体的表面 积为 8+2 2+3=11+2 2. 答案:B 2 . (2015· 高考重庆卷 )某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

1 A.3+2π 7π C. 3

13π B. 6 5π D. 2

解析:由三视图可知,该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体, 1 1 13 其体积为 π×12×2+2×3π×12×1= 6 π. 答案:B 3.(2015· 高考安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积 是( )

A.1+ 3 C.2+ 3

B.1+2 2 D.2 2

解析:选 C. 如图,该四面体有两个面为等腰直角三角形,另外两个面为正 1 1 3 三角形. 故该四面体的表面积 S=2×2× 2× 2+2×2× 2× 2× 2 =2+ 3.

答案:C 4.(2015· 高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体 的体积为________m3.

解析:由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成,其中圆 锥的底面半径和高均为 1m,圆柱的底面半径为 1m 且其高为 2m,故所求几何体 的体积为 1 8 V=3π×12×1×2+π×12×2=3π(m3). 8 答案:3π 5. (2016· 大连模拟)直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上. 若 AB=BC=2,∠ABC=90° ,AA1=2 2,则球 O 的表面积为__________. 解析:由题设可知,直三棱柱可以补成一个球的内接长方体,所以球的直径 为长方体的体对角线长, 即 22+22+?2 2?2=4, 故球 O 的表面积 S=4πR2=16π. 答案:16π 6. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边 形都是边长为 2 的正方形),则该几何体外接球的体积为________.

解析:依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的 直径就是正方体的体对角线,

∴2R=2 3(R 为球的半径),∴R= 3. 4 ∴球的体积 V=3πR3=4 3π. 答案:4 3π 7.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积.

解:(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 1 故 所 求 几 何 体 的 表 面 积 S = 5×22 + 2×2× 2 + 2× 2 ×( 2 )2 = (22 + 4 2)(cm2), 1 所求几何体的体积 V=23+2×( 2)2×2=10(cm3). 8.有一根木料,形状为直三棱柱形,高为 6 cm,横截面三角形的三边长分 别为 3 cm、4 cm、5 cm,将其削成一个圆柱形积木,求该木料被削去部分体积 的最小值.

解:如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时, 圆柱的体积最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为 R,圆柱的 高即为直三棱柱的高. 在△ABC 中,令 AB=3,BC=4,AC=5,∴△ABC 为直角三角形. 根据直角三角形内切圆的性质可得 7-2R=5,∴R=1. ∴V 圆柱=πR2· h=6π(cm3). 1 而三棱柱的体积为 V 三棱柱=2×3×4×6=36(cm3). ∴削去部分的体积为 36-6π=6(6-π)(cm3). 即削去部分体积的最小值为 6(6-π)cm3. [B 级 能力突破]

1.(2015· 高考课标卷Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90° ,C 为该球面上的动点.若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 ( ) A.36π C.144π B.64π D.256π

解析:如图,设球的半径为 R,∵∠AOB=90° , 1 ∴S△AOB=2R2. ∵VOABC=VCAOB,而△AOB 面积为定值, ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时,VO ABC 最大,

1 1 ∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时,体积 VOABC 最大为 × 3 2 R2×R=36, ∴R=6,∴球 O 的表面积为 4πR2=4π×62=144π.故选 C. 答案:C 2.(2015· 高考课标卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成 一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面

积为 16+20π,则 r=(

)

A.1 C.4 解析:

B.2 D.8

如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为 r,则圆柱 1 的底面半径为 r,高为 2r,则表面积 S=2×4πr2+πr2+4r2+πr· 2r=(5π+4)r2.又 S=16+20π,∴(5π+4)r2=16+20π,∴r2=4,r=2,故选 B. 答案:B 3. (2016· 豫西五校联考)如图所示(单位:cm),则图中的阴影部分绕 AB 所在 直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________.

解析:由题图中数据,根据圆台和球的体积公式,得 V
圆台

1 1 = 3 ×(π×AD2 + π×AD2×π×BC2 + π×BC2)×AB = 3 ×π×(AD2 +

AD×BC+BC2)×AB 1 =3×π×(22+2×5+52)×4=52π(cm3), 4 1 4 1 16 V 半球=3π×AD3×2=3π×23×2= 3 π(cm3), 所以旋转所形成几何体的体积 V

16 140 =V 圆台-V 半球=52π- 3 π= 3 π(cm3). 140 答案: 3 π(cm3) 4.(2016· 大连双基检测) 如图,在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出了某 个多面体的三视图,则该多面体的体积为( )

A.15 C.12

B.13 D.9

解析:题中的几何体的直观图如图所示,其中底面 ABCD 是一个矩形(其中 AB=5,BC=2),棱 EF∥底面 ABCD,且 EF=3,直线 EF 到底面 ABCD 的距离 是 3.连接 EB,EC,则题中的多面体的体积等于四棱锥 EABCD 与三棱锥 EFBC 1 的体积之和, 而四棱锥 EABCD 的体积等于3×(5×2)×3=10, 三棱锥 EFBC 的 1 ?1 ? 体积等于 ×?2×3×3?×2=3,因此题中的多面体的体积等于 10+3=13,选 B. 3 ? ?

答案:B 5.(2014· 高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别 S1 9 V1 为 V1,V2.若它们的侧面积相等,且S =4,则V 的值是________.
2 2

解析:根据底面积的比值、侧面积相同,找到底面半径和高的比值,再代入 体积公式求出体积的比值. S1 9 πr2 1 9 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由S =4,得πr2=4,则
2 2

r1 3 h1 2 V1 = . 由圆柱的侧面积相等, 得 2π r 即 r 则 = , 所以 1h1=2πr2h2, 1h1=r2h2, r2 2 h2 3 V2=

πr2 3 1h1 2 = . πr2h2 2 3 答案:2 6. (2016· 大连模拟)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一 个动点 P、Q,且满足 A1P=BQ,M 是棱 CA 上的动点,则

VMABQP VABCA1B1C1-VMABQP 的最大值是__________. 1 解析:设 VABCA1B1C1=V,VMB1BA≤VCB1BA=VB1CBA=3V, ABQP=VM即 M 与 C 重合时 VMABQP 最大, VMABQP = VABCA1B1C1-VMABQP 1 答案:2 7.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB>1,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2. 1 = . V 2 V- 3 V 3

(1)求 AB 的长度. (2)求该长方体外接球的表面积. 解:(1)设 AB=x,点 A 到点 C1 可能有两种途径,如图甲的最短路程为|AC1| = x2+4. 如图乙的最短路程为 |AC1|= ?x+1?2+1= x2+2x+2,

图甲

图乙

∵x>1,∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4,故从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1 的最短距离为 x2+4. 由题意得 x2+4=2 2,解得 x=2. 即 AB 的长度为 2. (2)设长方体外接球的半径为 R,则 (2R)2=12+12+22=6, 3 ∴R2=2,∴S 表=4πR2=6π. 即该长方体外接球的表面积为 6π.


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