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2016年湖南省衡阳市高考数学三模试卷(文科)(解析版)


2016 年湖南省衡阳市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 P={x|0≤x≤ },m= ,则下列关系中正确的是( ) A.m? P B.m?P C.m∈P D.m?P 2.如图在复平面内,复数 z1,z2 对应的点分别是 A,B,则复数 的值是(



A.﹣1+2i B.﹣2﹣2i C.1+2i D.1﹣2i 3.某研究机构对学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6 =bx+a 中的 b 的值为

根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

0.7,则 a 为( ) A.1.2 B.﹣1.2 C.﹣2.3 D.7.5 4.执行如图所示的程序框图,如果输入 m=30,n=18,则输出的 m 的值为(



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A.0 B.6 C.12 D.18 5.若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象关于原点对 称,则 φ 的最小值为( ) A. B. C. D.

6.若 a、b 是两个正数,且 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后 成等比数列,则 a+b 的值等于( ) A.3 B.4 C.5 D.20 7.设命题 p:? x0∈(0,+∞) ,3 +x0=2016,命题 q:? a∈(0,+∞) ,f(x)=|x|﹣

ax(x∈R)为偶函数,那么,下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B. C.p∧(¬q) D. (¬p)∧q (¬p)∧(¬q) 8.已知点(﹣1,2)和( 的取值范围是( A. ( , ) )∪( ,π) C. ( , ) D. ( , ) ,0)在直线 l:ax﹣y+1=0(a≠0)的同侧,则直线 l 倾斜角

) B. (0,

9.如图是一建筑物的三视图(单位:米) ,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆 1 千克,则共需油漆的总量(单位:千克)为( )

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A.48+24π

B.39+24π

C.39+36π

D.48+30π )

10.函数 y=ln

的图象大致是(

A.

B.

C.

D.

11.已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的右焦点 F 也是抛物线 C2:y2=2px(p>0)

的焦点,C1 与 C2 的一个交点为 P,若 PF⊥x 轴,则双曲线 C1 的离心率为( ) A. C.2 ﹣1 D. +1 B.2 +1 12.已知函数 f(x)=(x﹣x1) (x﹣x2) (x﹣x3) (其中 x1<x2<x3) ,g(x)=ex﹣e﹣x,且 函数 f(x)的两个极值点为 α,β(α<β) .设 λ= ,μ= ,则( ) C. g (λ)

A.g(α)<g(λ)<g(β)<g(μ) B.g(λ)<g(α)<g(β)<g(μ) D.g(α)<g(λ)<g(μ)<g(β) <g(α)<g(μ)<g(β) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.若向量 =(1,2) , =(1,﹣1) ,则 2 + =______. 14.已知数列{an}的前 n 项和 ,则 an=______.
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15.若在区间[﹣5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x﹣1)2+(y+2)2=2 有 公共点的概率为______. 16.已知非零向量序列: 且 = (n=2,3,4,…,n∈N*) ,Sn= 满足如下条件:| |=2, ? =﹣ , ,当 Sn 最大

时,n=______. 三、解答题(本大题共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan( (1)求 (2)若 B= 的值 ,△ABC 的面积为 9,求边长 a 的值. +A)=2,

18. B 两类进行教学实验. 某高中有高一新生 500 名, 分成水平相同的 A, 为对比教学效果, 现用分层抽样的方法从 A、B 两类学生中分别抽取了 40 人、60 人进行测试. (Ⅰ)求该学校高一新生 A、B 两类学生各多少人? (Ⅱ)经过测试,得到以下三个数据图表: 图一:75 分以上 A、B 两类参加测试学生成绩的茎叶图(茎、叶分别是十位和个位上的数 字) (如图 1) 图二:100 名测试学生成绩的频率分布直方图 2;

表一:100 名测试学生成绩频率分布表; 组号 分组 频数 1 5 [55,60) 2 20 [60,65) 3 [65,70) 4 35 [70,75) 5 [75,80) 6 [80,85)

频率 0.05 0.20 0.35

100 1.00 合计 ①先填写频率分布表(表一)中的六个空格,然后将频率分布直方图(图二)补充完整; ②该学校拟定从参加考试的 79 分以上(含 79 分)的 B 类学生中随机抽取 2 人代表学校参 加市比赛,求抽到的 2 人分数都在 80 分以上的概率. 19.如图,已知 ABCD 是边长为 2 的正方形,EA⊥平面 ABCD,FC∥EA,设 EA=1,FC=2.
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(1)证明:EF⊥BD; (2)求多面体 ABCDEF 的体积.

20.已知函数 f(x)=x3+bx2+2x﹣1(b∈R) . (1)设 g(x)= ,若函数 g(x)在(0,+∞)上没有零点,求实数 b 的取值范围;

(2)若对? x∈[1,2],均? t∈[1,2],使得 et﹣lnt﹣4≤f(x)﹣2x,求实数 b 的取值范 围. 21.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点为 A、B,

且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明: 为定值. (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒 过直线 DP、MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22. 如图, 圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点 D, 过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E, AD 交 BC 于点 F. (Ⅰ)求证:BC∥DE; (Ⅱ)若 D,E,C,F 四点共圆,且 = ,求∠BAC.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极

轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=



(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)= +

(1)解不等式 f(x)≥f(4) ; (2)设函数 g(x)=kx﹣3k,k∈R,若不等式 f(x)>g(x)恒成立,求实数 k 的取值范 围.

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2016 年湖南省衡阳市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 P={x|0≤x≤ },m= ,则下列关系中正确的是( ) A.m? P B.m?P C.m∈P D.m?P 【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】判断 与 的关系即可. 【解答】解:∵集合 P={x|0≤x≤ }, ∴ , 故选 D.

2.如图在复平面内,复数 z1,z2 对应的点分别是 A,B,则复数

的值是(



A.﹣1+2i

B.﹣2﹣2i

C.1+2i D.1﹣2i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由图得到复数 z1,z2,代入 后利用复数代数形式的除法运算化简求值.

【解答】解:由图可知,z1=﹣2﹣i,z2=i, 则 = .

故选:A. 3.某研究机构对学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6 =bx+a 中的 b 的值为

根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 0.7,则 a 为( ) A.1.2 B.﹣1.2 C.﹣2.3 D.7.5 【考点】线性回归方程.
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【分析】求出样本中心( , ) ,代入回归方程解出 a. 【解答】解: = =9, = =4,

∴a=4﹣0.7×9=﹣2.3. 故选 C. 4.执行如图所示的程序框图,如果输入 m=30,n=18,则输出的 m 的值为( )

A.0

B.6

C.12

D.18

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:如果输入 m=30,n=18, 第一次执行循环体后,r=12,m=18,n=12,不满足输出条件; 第二次执行循环体后,r=6,m=12,n=6,不满足输出条件; 第三次执行循环体后,r=0,m=6,n=0,满足输出条件; 故输出的 m 值为 6, 故选:B 5.若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象关于原点对 称,则 φ 的最小值为( ) A. B. C. D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

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【分析】把函数式 f(x)=sin2x+cos2x 化积为 f(x)= 的图象平移得到 y= sin(2x+

sin(2x+

) ,然后利用三角函数

﹣2φ) .结合该函数为偶函数求得 φ 的最小正值. sin(2x+ ) , sin[2(x﹣φ)

【解答】解:∵由 f(x)=sin2x+cos2x=

∴把该函数的图象右移 φ 个单位,所得图象对应的函数解析式为:y= + ]= sin(2x+ ﹣2φ) . ﹣2φ=kπ,k∈Z. .

∵所得图象关于原点对称,则 ∴当 k=0 时,φ 有最小正值是 故选:A.

6.若 a、b 是两个正数,且 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后 成等比数列,则 a+b 的值等于( ) A.3 B.4 C.5 D.20 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】由 a,b>0,可得 a,﹣2,b 成等比数列,即有 ab=4;讨论 a,b,﹣2 成等差数列 或 b,a,﹣2 成等差数列,运用中项的性质,解方程可得 a,b,即可得到得到所求和. 【解答】解:由 a,b>0,可得 a,﹣2,b 成等比数列, 即有 ab=4,① 若 a,b,﹣2 成等差数列,可得 a﹣2=2b,② 由①②可得 a=4,b=1,a+b=5; 若 b,a,﹣2 成等差数列,可得 b﹣2=2a,③ 由①③可得,b=4,a=1,a+b=5. 综上可得 a+b=5. 故选:C.

7.设命题 p:? x0∈(0,+∞) ,3

+x0=2016,命题 q:? a∈(0,+∞) ,f(x)=|x|﹣

ax(x∈R)为偶函数,那么,下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B. C.p∧(¬q) D. (¬p)∧q (¬p)∧(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【分析】函数 y=3x 与函数 y=2016﹣x 的图象在第一象限有一个交点,即可判断出命题 p 的 真假.若 f(x)=|x|﹣ax(x∈R)为偶函数,则 f(﹣x)=f(x) ,解解得 a=0,即可判断出 q 命题 的真假,进而得出答案. 【解答】解:∵函数 y=3x 与函数 y=2016﹣x 的图象在第一象限有一个交点,∴? x0∈(0, +∞) ,3 +x0=2016,因此命题 p 是真命题.

若 f(x)=|x|﹣ax(x∈R)为偶函数,则 f(﹣x)=f(x) ,解得 a=0,∴命题 q 是假命题.
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因此只有 p∧(¬q)是真命题. 故选:C.

8.已知点(﹣1,2)和( 的取值范围是( A. ( , )

,0)在直线 l:ax﹣y+1=0(a≠0)的同侧,则直线 l 倾斜角

) B. (0,

)∪(

,π)

C. (





D. (





【考点】直线的倾斜角. 【分析】由点(﹣1,2) , ( >0,解出即可. 【解答】解:点(﹣1,2) , ( (﹣a﹣2+1) ( 解不等式可得,﹣ ∴ 故选:D. 9.如图是一建筑物的三视图(单位:米) ,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆 1 千克,则共需油漆的总量(单位:千克)为( ) a+1)>0 <a<﹣1 , ,0)在直线 ax﹣y+1=0 的同侧, ,0)在直线 ax﹣y+1=0 的同侧,得(﹣a﹣2+1) ( a+1)

A.48+24π

B.39+24π

C.39+36π

D.48+30π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体:上面是圆锥、下面是四棱柱,由三视图求出 几何元素的长度,由圆锥的表面积公式、矩形的面积公式求出该几何体的表面积,即可求出 共需油漆的总量.
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【解答】解:根据三视图可知几何体是一个组合体:上面是圆锥、下面是四棱柱, 且圆锥的底面圆半径是 3、母线长是 5, 四棱柱的底面是以 3 为边长的正方形、高为 4, ∴该几何体的表面积 S=π×3×5+π×32﹣32+4×3×4 =39+24π(平方米) , ∵每平方米用漆 1 千克, ∴共需油漆的总量为(39+24π)千克, 故选:B.

10.函数 y=ln

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称,根据 f(﹣x)=f(x) ,可得函数 的图象关于 y 轴对称,故排除 B、D,再根据当 x∈(0,1)时,ln 排除 C,从而得到答案. 【解答】解:∵函数 y=ln ,∴x+sinx≠0,x≠0,故函数的定义域为{x|x≠0}. )=ln( )=f(x) , <0,从而

再根据 y=f(x)的解析式可得 f(﹣x)=ln(

故函数 f(x)为偶函数,故函数的图象关于 y 轴对称,故排除 B、D. 当 x∈(0,1)时,∵0<sinx<x<1,∴0< ∴函数 y=ln 故选:A. <1,

<0,故排除 C,只有 A 满足条件,

11.已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的右焦点 F 也是抛物线 C2:y2=2px(p>0) )

的焦点,C1 与 C2 的一个交点为 P,若 PF⊥x 轴,则双曲线 C1 的离心率为( A. C.2 ﹣1 D. +1 B.2 +1 【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.

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【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为 F( ,0) ,得到|PF|=p.设双曲线的另一个焦点 为 F′,由双曲线的右焦点为 F 算出双曲线的焦距|FF′|=p,△TFF′中利用勾股定理算出 |MF′|= p,再由双曲线的定义算出 2a=( ﹣1)p,利用双曲线的离心率公式加以计算, 可得答案. 【解答】解:抛物线 y2=2px 的焦点为 F( ,0) , 由 MF 与 x 轴垂直,令 x= ,可得|MF|=p,

双曲线



=1 的实半轴为 a,半焦距 c,另一个焦点为 F',

由抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线的右焦点重合, 即 c= ,可得双曲线的焦距|FF′|=2c=p, 由于△MFF′为直角三角形,则|MF′|= 根据双曲线的定义,得 2a=|MF′|﹣|MF|= = p﹣p,可得 a=( p, )p.

因此,该双曲线的离心率 e= =

=



故选:A. 12.已知函数 f(x)=(x﹣x1) (x﹣x2) (x﹣x3) (其中 x1<x2<x3) ,g(x)=ex﹣e﹣x,且 函数 f(x)的两个极值点为 α,β(α<β) .设 λ= ,μ= ,则( ) C. g (λ)

A.g(α)<g(λ)<g(β)<g(μ) B.g(λ)<g(α)<g(β)<g(μ) D.g(α)<g(λ)<g(μ)<g(β) <g(α)<g(μ)<g(β)

【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】结合一元二次函数的性质判断 α<λ<μ<β,判断函数 g(x)的单调性进行判断即 可. 【解答】解:由题意,f′(x)=(x﹣x1) (x﹣x2)+(x﹣x2) (x﹣x3)+(x﹣x1) (x﹣x3) , ∵f′( )=﹣ <0,f′( )=﹣ <0,

∵f(x)在(﹣∞,α) , (β,+∞)上递增, (α,β)上递减, ∴α<λ<μ<β, ∵g(x)=ex﹣e﹣x 单调递增, ∴g(α)<g(λ)<g(μ)<g(β) 故选:D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
第 12 页(共 23 页)

13.若向量 =(1,2) , =(1,﹣1) ,则 2 + = (3,3) . 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可. 【解答】解:向量 =(1,2) , =(1,﹣1) ,则 2 + =(3,3) . 故答案为: (3,3) .

14.已知数列{an}的前 n 项和 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】利用公式

,则 an=

2n .

求解.

【解答】解:∵数列{an}的前 n 项和



∴a1=S1=1+1=2, n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+n)﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n, n=1 时,上式成立, ∴an=2n. 故答案为:2n. 15.若在区间[﹣5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x﹣1)2+(y+2)2=2 有 公共点的概率为 .

【考点】几何概型. 【分析】 利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点, 可求出满足条件的 a,最后根据几何概型的概率公式可求出所求. 【解答】解:∵直线 x+y+a=0 与圆(x﹣1)2+(y+2)2=2 有公共点, ∴ ≤ ,解得﹣1≤a≤3,

∴在区间[﹣5,5]内任取一个实数 a,使直线 x+y+a=0 与圆(x﹣1)2+(y+2)2=2 有公共点 的概率为 =

故答案为: .

16.已知非零向量序列: 且 = (n=2,3,4,…,n∈N*) ,Sn=

满足如下条件:|

|=2,

? =﹣ , ,当 Sn 最大

时,n= 8 或 9 . 【考点】数列的求和;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】由已知条件采用累加法求得 差数列的性质进行求解即可.
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=

+(n﹣1) ,求出

?

的通项公式,利用等

【解答】解:∵ ∴向量 则 则 由 = ? ? 为首项为

= , ,公差为 的等差数列,

+(n﹣1) , = = ?[ +(n﹣1) ]= ≥0,
2

+(n﹣1)

? =4

(n﹣1)=



解得 n≤9, 即当 n=9 时, ? =0,

则当 n=8 或 9 时,Sn 最大, 故答案为:8 或 9. 三、解答题(本大题共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan( (1)求 (2)若 B= 的值 ,△ABC 的面积为 9,求边长 a 的值. +A)=2,

【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正切函数;正弦定理. 【分析】 (1)利用两角和与差的正切函数,求出 A 的正切函数值,然后求解表达式的值即 可. (2)求出 A 的正弦函数值,利用正弦定理以及三角形的面积求解即可. 【解答】解: (1)由 tan( 所以 = +A)=2,即: = =2,得 tanA= , = …..

(2)由 tanA= ,A∈(0,π) ,得 sinA= ,cosA= …. ,

由 sinC=sin(A+B)= 得 sinC= ….

设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B=9. 又由及正弦定理 解得 a=3…
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,…..

18. B 两类进行教学实验. 某高中有高一新生 500 名, 分成水平相同的 A, 为对比教学效果, 现用分层抽样的方法从 A、B 两类学生中分别抽取了 40 人、60 人进行测试. (Ⅰ)求该学校高一新生 A、B 两类学生各多少人? (Ⅱ)经过测试,得到以下三个数据图表: 图一:75 分以上 A、B 两类参加测试学生成绩的茎叶图(茎、叶分别是十位和个位上的数 字) (如图 1) 图二:100 名测试学生成绩的频率分布直方图 2;

表一:100 名测试学生成绩频率分布表; 组号 分组 频数 55 60 1 5 [ , ) 2 20 [60,65) 3 [65,70) 4 35 [70,75) 5 [75,80) 6 [80,85)

频率 0.05 0.20 0.35

100 1.00 合计 ①先填写频率分布表(表一)中的六个空格,然后将频率分布直方图(图二)补充完整; ②该学校拟定从参加考试的 79 分以上(含 79 分)的 B 类学生中随机抽取 2 人代表学校参 加市比赛,求抽到的 2 人分数都在 80 分以上的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【分析】 (Ⅰ)由题知 A 类学生有 (Ⅱ)通过读频率分布直方图可轻易获取所要解答. 【解答】解析: (Ⅰ)由题知 A 类学生有 则 B 类学生有 500﹣200=300(人)…3 人 (Ⅱ)①表一: 组号 分组 频数 1 5 [55,60) 2 20 [60,65) 3 25 [65,70) 4 35 [70,75) 5 10 [75,80) 80 85 6 5 [ , ) (人)…2 分 人则 B 类学生有 500﹣200=300 人

频率 0.05 0.20 0.25 0.35 0.10 0.05

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合计 …6 分 图二:

100

1.00

…9 分 ②79 分以上的 B 类学生共 4 人,记 80 分以上的三人分别是{1,2,3},79 分的学生为{a}. 从中抽取 2 人,有:12,13,1a,23,2a,3a,共 6 种抽法;…10 分 抽出的 2 人均在 80 分以上有: :12,13,23,共 3 种抽法.…11 分 则抽到 2 人均在 80 分以上的概率为 .…12 分.

19.如图,已知 ABCD 是边长为 2 的正方形,EA⊥平面 ABCD,FC∥EA,设 EA=1,FC=2. (1)证明:EF⊥BD; (2)求多面体 ABCDEF 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)由地面 ABCD 是正方形,可得 BD⊥AC,又 EA⊥平面 ABCD,可得 BD⊥EA, 然后利用线面垂直的判定得 BD⊥平面 EACF,最后可得 EF⊥BD; (2)把多面体 ABCDEF 的体积转化为 2 倍的棱锥 B﹣ACFE 的体积求解. 【解答】 (1)证明:∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC, ∵EA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ∴BD⊥EA, ∵EA、AC? 平面 EACF,EA∩AC=A, ∴BD⊥平面 EACF, 又∵EF? 平面 EACF, ∴EF⊥BD; (2)解:∵ABCD 是边长为 2 的正方形, ∴AC= ,
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又 EA=1,FC=2, ∴ ∴ , .

20.已知函数 f(x)=x3+bx2+2x﹣1(b∈R) . (1)设 g(x)= ,若函数 g(x)在(0,+∞)上没有零点,求实数 b 的取值范围;

(2)若对? x∈[1,2],均? t∈[1,2],使得 et﹣lnt﹣4≤f(x)﹣2x,求实数 b 的取值范 围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问 题中的应用. 【分析】 (1)求出 g(x)的最小值,根据最小值大于 0,求出 b 的范围即可; (2)问题转化为 et﹣lnt≤x3+bx2+3,设 h(t)=et﹣lnt,t∈[1,2],得到 h(t)≥e,问题 转化为 e≤x3+bx2+3 对 x∈[1,2]恒成立,根据函数的单调性求出 b 的范围即可. 【解答】解: (1)∵g(x)=x+ +b≥2 ∴ , +b(x>0) ,

∴g(x)在(0,+∞)上没零点 , ∴ ; (2)∵et﹣lnt﹣4≤f(x)﹣2x ?et﹣lnt≤x3+bx2+3, 设 h(t)=et﹣lnt,t∈[1,2], ∵h′(t)=e﹣ ≥0 对 t∈[1,2]恒成立, ∴h(t)在 t∈[1,2]上单调递增, ∴h(t)≥h(1)=e, ∴e≤x3+bx2+3 对 x∈[1,2]恒成立, ∴ 对 x∈[1,2]恒成立,



,x∈[1,2],
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∵m′(x)=﹣1+

≤5﹣2e<0,

∴m(x)在 x∈[1,2]递减, ∴m(x)≤M(1)=e﹣4, ∴b≥e﹣4,即 b∈[e﹣4,+∞) .

21.已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点为 A、B,

且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明: 为定值. (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒 过直线 DP、MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)由题意知 a=2,b=c,b2=2,由此可知椭圆方程为 .

(2)设 M(2,y0) ,P(x1,y1) , ,代入椭圆方程 x2+2y2=4,得

,直线 CM:

,然后利用根与系数的关系能够推导出

为定值.

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(3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQ⊥ DP. ,再由

,由此可知存在 Q(0,0)满足条件. 【解答】解: (1)a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2; ∴椭圆方程为 (2)C(﹣2,0) ,D(2,0) ,设 M(2,y0) ,P(x1,y1) ,

直线 CM:

,代入椭圆方程 x2+2y2=4,



∵x1=﹣

,∴

,∴

,∴

∴ (3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQ⊥DP

(定值)

则由 ∴存在 Q(0,0)满足条件

,从而得 m=0

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22. 如图, 圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点 D, 过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E, AD 交 BC 于点 F. (Ⅰ)求证:BC∥DE; (Ⅱ)若 D,E,C,F 四点共圆,且 = ,求∠BAC.
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【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)通过证明∠EDC=∠DCB,然后推出 BC∥DE. (Ⅱ)解:证明∠CFA=∠CED,然后说明∠CFA=∠ACF.设∠DAC=∠DAB=x,在等腰△ ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE.… (Ⅱ)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED 由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF. 设∠DAC=∠DAB=x, 因为 = ,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, 在等腰△ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= 所以∠BAC=2x= .… ,

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极

轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=



(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】本题(1)可以先消参数,求出直线 l 的普通方程,再利用公式将曲线 C 的极坐标 方程化成平面直角坐标方程, (2)利用点到直线的距离公式,求出 P 到直线 l 的距离的最小 值,再根据函数取最值的情况求出 P 点的坐标,得到本题结论.
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【解答】解: (1)∵



∴x﹣y=1. ∴直线的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ=1. 即 即 . ,









∴ρcos2θ=sinθ, ∴(ρcosθ)2=ρsinθ 即曲线 C 的普通方程为 y=x2. (2)设 P(x0,y0) , , ∴P 到直线的距离: .

∴当 ∴此时

时, ,



∴当 P 点为

时,P 到直线的距离最小,最小值为



[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)= +

(1)解不等式 f(x)≥f(4) ; (2)设函数 g(x)=kx﹣3k,k∈R,若不等式 f(x)>g(x)恒成立,求实数 k 的取值范 围. 【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)问题转化为解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9,通过讨论 x 的范围,解出即可; (2) f x g x 画出函数 ( ) , ( )的图象,通过图象读出即可. 【解答】解: (1)f(x)= + =|x﹣3|+|x+4|,f(4)=9,

∴问题转化为解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9, 原不等式等价于
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解得,x≤﹣5 或 x≥4, 即不等式的解集为(﹣∞,﹣5]∪[4,+∞) .

(2)∵f(x)=

,g(x)=k(x﹣3) ,

画出函数 f(x) ,g(x)的图象,如图示: 直线 AB 的斜率是;﹣1, 由其函数图象知:k∈(﹣1,2].

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2016 年 9 月 18 日

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