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广东省湛江一中2012届高三5月模拟试题数学理


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湛江一中 2012 届高三理科数学基础检测题(一)
考试时间:120 分钟,满分:150 分
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. ) 1.已知集合 M ? x | ln x ? 0 ,N ? ? x | A. {?11} , B. {0

}

?

?

1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N ? ( 2 ? C. {?1} D. {?1 0} ,

? ?



2.函数 f ( x) ? lg A. (1 4) ,

1? x 的定义域为( ) x?4 B. [1 4) C. (??, ? (4, ?) 1) ? ,

D. (??, ? (4, ?) 1] ?

3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( s s s ) s

O A.

t

O B.
3 2

t O C.

t O D.

t

? 4.设 p : f ( x) ? x ? 2x ? mx ? 1 在 (??, ?) 内单调递增, q : m ?
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4 ,则 p 是 q 的( 3



5.函数 f ( x) ? sin ? x ( ? ? 0 ) ,对任意 x 有 f ? x ? ( ) A. ?

? ?

1 9 1? 1? ? ? ? f ? x ? ? ,且 f ( ? 4 ) ? ? a ,那么 f ( 4 ) 等于 2? 2? ?
D. ? a

1 a 4

B.

1 a 4

C. a

6.设函数 f ( x) ? sin ? x ? A.在区间 ?

? ?

??

? ( x ? R) ,则 f ( x) ( 3?



? 2? 7 ? ? , 上是增函数 ?3 6? ? ?? ?? C.在区间 ? , ? 上是增函数 ?8 4?

B.在区间 ? ??, ?

? ?

?? 上是减函数 2? ?

D.在区间 ? , ? 上是减函数 3 6

? ? 5? ? ? ?

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1

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7.有一个正三棱柱,其三视图如图,则其体积等于( )

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K≤19


A.3

B.1

C.

3 3 2

D.4
s?s?

840 k (k ? 2)

8.阅读右边的程序框图,则输出的变量 s 的值是( ) A.400 B.589 C.610 D.379

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9.若复数 z 满足 z ? i(2 ? z) ( i 是虚数单位) ,则 z ? 10.已知随机变量 ? 服从正态分布 = 。
N ? 2,a 2 ?

.

,且P( ? <4)= 0.8 ,则P(0< ? <2)

? ? ? ? ? ? ? ? ? b 11.若向量 a , b 满足 a ? 1, ? 2 且 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? b ? . 3 x2 y 2 12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦距为 2c , O 为圆心,a 为半径作圆 M , 以 a b
若过 P ?

? a2 ? ,? 作圆 M 的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为 0 ? c ?
2

13.对任意 x ? R ,不等式 a ? 4a ? 2 ? x ? 3 ? x ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【选做题】从 14、15 题中选做 1 题,多做只计 14 题得分! ! 14.在直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ? 程是



( ? 是参数) ,则曲线 C 的普通方 ? y ? 2 sin ? ? 1 ? ,若以 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程为_____________

? x ? 2 cos ? ? 1 ?

15.如图, AB 为圆 O 的直径,弦 AC 、 BD 交于点 P , 若 AB ? 3, CD ? 1 ,则 sin ?APD =

第 15 题图

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2

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (1, ?2) ,且 m ? n ? 0 (Ⅰ)求 tan A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x ( x ? R) 的值域.

?

?

17. (本小题满分 12 分) 一个袋中装有大小相同的球 10 个, 其中红球 8 个, 黑球 2 个, 现从袋中有放回地取球, 每次随机取 1 个.求: (Ⅰ)连续取两次都是红球的概率; (Ⅱ)如果取出黑球,则取球终止,否则继续取球,直到取出黑球,但取球次数最多不超过 4 次,求 取球次数 ? 的概率分布列及期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD ,

OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O

M

A B N C

D

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3

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19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C : x2 ? 4 y ,直线 l : y ? ?1 . PA 、 PB 为 C 的两切线,切点 为 A, B . (Ⅰ) 求证: “若 P 在 l 上,则 PA ? PB ”是真命题; (Ⅱ) 写出(Ⅰ)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ? an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

21. (本小题满分 14 分)

3 2 对于三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,定义:设 f ??( x) 是函数 y ? f ? x ? 的导函数 y ? f ?( x) 的

导 数 , 若 f ?? ? x ? ? 0 有 实 数 解 x0 , 则 称 点 x0 , f ? x0 ? 为 函 数 y ? f ? x 的 “ 拐 点 ” 现 已 知 。 ?

f ? x ? ? x ? 3x ? 2x ? 2 ,请解答下列问题:
3 2

?

?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的“拐点”A 的坐标; (Ⅱ)求证 f ? x ? 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结 论(此结论不要求证明) ; (Ⅲ)若另一个三次函数 G(x)的“拐点”为 B(0,1) ,且一次项系数为 0,当 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 时,试比较

G ? x1 ? ? G ? x2 ? ? x ? x2 ? 与G? 1 ? 的大小。 2 ? 2 ?

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湛江一中 2012 届高三理科数学基础检测题(一) 答题卡
班级______________ 姓名______________ 成绩______________

一、选择题(每小题 5 分,共 8 小题,满分 40 分) 1 2 3 4 题号 答案

5

6

7

8

二、填空题(每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,请将答案填写在各题号的横线上 9.___________ 10.___________ 11.___________ 12.___________ 13.___________

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,请先用 2B 铅笔填涂选做的试题号对应的信息 点,并将选做的题号填写在括号内再作答。 14 15 ( )___________ ___________

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分,要求写出求解、证明的演算过程) 16.(满分 12 分)

17.(满分 12 分)

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5

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18.(满分 14 分)

O

M

A B N C

D

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6

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19.(满分 14 分)

20.(满分 14 分)

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7

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21.(满分 14 分)

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8

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湛江一中 2012 届高三理科数学基础检测题参考答案
一、选择题: (本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 A 7 D 8 B

二. 填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 1 ? i 10 0.3 11.

7

12.

14. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 详细解答:

? ? ? 2 2 cos(? ? )
4

2 2

13. ?1 ? a ? 5 15.

2 2 3


1.已知集合 M ? x | ln x ? 0 ,N ? ? x |

?

?

, A. {?11}

B. {0}

1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N ? ( 2 ? , C. {?1} D. {?1 0}

? ?

【解析】C M ? ?x | ?1 ? x ? 1, 且x ? 0? , N ? ? x 2.函数 f ( x) ? lg

, A. (1 4)
【解析】A

1? x 的定义域为( ) x?4 1) ? , B. [1 4) C. (??, ? (4, ?)

? 1 ? ? 2x?1 ? 4, x ? Z ? ? ??1,0? 。故选 C. ? 2 ?

1] ? D. (??, ? (4, ?)

1? x ? 0 ? (1 ? x)( x ? 4) ? 0,?1 ? x ? 4. 选 A. x?4

3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 ) t 的函数,其图像可能是( s s s s

O A.

t

O B.

t O C.

t O D.

t

【解析】A 根据汽车加速行驶 s ?

1 2 1 at ,匀速行驶 s ? vt ,减速行驶 s ? ? at 2 结合函数图像可知选 A.也 2 2 4 ,则 p 是 q 的( 3


可从图像的“平缓”与“陡峭”来判断.

? 4. 设 p : f ( x) ? x ? 2x ? mx ? 1 在 (??, ?) 内单调递增, q : m ?
3 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? 【解析】B f ( x ) 在 (??, ?) 内单调递增,则 f ?( x) ? 0 在 (??, ?) 上恒成立。

? 3x2 ? 4x ? m ? 0从而? ? 0 ? m ?

4 4 ; q : m ? ? f ?( x) ? 0 , 3 3
9

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? f ( x) 在 (??, ?) 内单调递增,选 B. ?
5.函数 f ( x) ? sin ? x ( ? ? 0 ) ,对任意 x 有 f ? x ? ( ) B.

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? ?
1 9 1? 1? ? ? ? f ? x ? ? ,且 f ( ? 4 ) ? ? a ,那么 f ( 4 ) 等于 2? 2? ?

1 A. ? a 4

1 a C. a D. ? a 4 1? 1? ? ? ?9? ?1? 【解析】选 C. f ? x ? ? ? f ? x ? ? ,1 是 f ? x ? 的周期, f ? ? ? f ? ? ? ? f 2? 2? ? ? ?4? ? 4? ?? ? 6.设函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ( x ? R) ,则 f ( x ) ( ) 3? ?

? 1? ?? ? ? a . ? 4?

? 2? 7 ? ? , 上是增函数 ?3 6? ? ? ?? ? C.在区间 ? , ? 上是增函数 ?8 4?
A.在区间 ?

?? ? 上是减函数 2? ? ? ? ? 5? ? D.在区间 ? , ? 上是减函数 ?3 6 ?
B.在区间 ? ??, ?

?? ?? ? ? 的图象是将 f ( x) ? sin ? x ? ? 的图象 x 轴下方的 3? 3? ? ? ? ? ? 对折上去,此时函数的最小正周期变为 ? ,则函数在区间 k ? ? x ? ? k ? ? 即 k ? ? ? x ? k ? ? 上为 3 2 3 6 2? 7? ? 2? 7 ? ? ?x? 增函数,当 k ? 1 时有: ,故在区间 ? , ? 上 f ( x ) 是增函数. 故选 A 3 6 ?3 6?
【解析】 由函数图象的变换可知: f ( x) ? sin ? x ? A

? ?

7.有一个正三棱柱,其三视图如图,则其体积等于(

)



K≤19


A.3

B.1

3 3 C. 2

D.4

【解析】D 底面正三角形高为 2 ,故正三角形边长为 三棱柱高为 3 ,故 V ?

2 4 ? , ? sin 60 3

s?s?

840 k (k ? 2)

1 4 ? ? 3 ? 2 ? 4 ,故选 D. 2 3

8.阅读右边的程序框图,则输出的变量 s 的值是( ) A.400 B.589 C.610 D.379 【解析】B s ? 840(

1 1 1 1 ? ? ?? ? ) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 19 ? 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 840 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 420(1 ? ? ? ) ? 589 2 3 2 4 3 5 19 21 2 20 21
.

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.若复数 z 满足 z ? i(2 ? z) ( i 是虚数单位) ,则 z ? 【解析】由 z ? i (2 ? z ) ? z ?

2i ?1? i . 1? i
10

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10.已知随机变量 ? 服从正态分布 【解析】 0.3
N ? 2,a 2 ?

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,且P( ? <4)= 0.8 ,则P(0< ? <2)= 。

b 11.若向量 a , b 满足 a ? 1, ? 2 且 a 与 b 的夹角为
【解析】

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,则 a ? b ? 3



? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? | a ? b |2 ? (a ? b)?(a ? b) ? a?a ? b?b ? 2a ?b ?| a |2 ? | b |2 ?2 | a || b | cos ? 7 ?| a ? b |? 7 3 2 2 x y 12.. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c,以 O 为 a b 2 ?a ? 圆心, a 为半径作圆 M ,若过 P ? ,? 作圆 M 的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为 0 ? c ?
【解析】设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,

a2 c 2 ? 2a ,解得 e ? ? . c a 2 2 13.对任意 x ? R , a ? 4a ? 2 ? x ? 3 ? x ? 0 恒成立,则 a 满足:
所以△OAP 是等腰直角三角形,故 【解析】 因为 2 ? x ? 3 ? x ? 5 , a2 ? 4 ? 2? x ? 3 x 要 a ? 14.在直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ?
2



恒成立, 即:a ? 4a ? 5 , 解得:?1 ? a ? 5 .

( ? 是参数) ,则曲线 C 的普通方 ? y ? 2 sin ? ? 1 ? 程是 ,若以 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程为_____________ ? 【解析】由 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,画图可得极坐标方程为 ? ? 2 2 cos(? ? 4 ) . 15.如图, AB 为 ? O 的直径,弦 AC 、 BD 交于点 P , 若 AB ? 3, CD ? 1 ,则 sin ?APD =

? x ? 2 cos ? ? 1 ?

AD ,又 ?CDP ? ?BAP , AP PD CD 1 1 2 2 ? ? ,所以 sin ?APD ? 1 ? ( )2 ? 从而 cos ?APD . PA BA 3 3 3
【解析】连结 AD ,则 sin ?APD ?

第 15 题图

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 16. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (1, ?2) ,且 m ? n ? 0 (Ⅰ)求 tanA 的值;(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x ( x ? R) 的值域. 解: (Ⅰ)由题意得

?

?

? sin A ? 2 cos A 因为 cosA≠0,?????3 分 所以 tan A ? 2 .??????5 分
因为 x ? R,所以 sin x???1,1? .????9 分 当 sin x ?

? ? m? n? s i n A? 2 c o A? s

0 ?????2 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 tanA=2 得 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) ?
2 2

1 2

3 ??8 分 2

1 3 时,f(x)有最大值 ,????10 分 2 2

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,????11 分 所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . ?????12 分 2

? ?

3? ?

17. (本小题满分 12 分)一个袋中装有大小相同的球 10 个,其中红球 8 个,黑球 2 个,现从袋中有放回 地取球,每次随机取 1 个. 求: (Ⅰ)连续取两次都是红球的概率;

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(Ⅱ)如果取出黑球,则取球终止,否则继续取球,直到取出黑球,但取球次数最多不超过 4 次,求 取球次数 ? 的概率分布列及期望. 解: (Ⅰ)连续取两次都是红球的概率

4 4 16 ? ? ; ??????4 分 5 5 25 1 4 1 4 (Ⅱ) ? 的可能取值为 1,2,3,4, P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? ? ? , 5 5 5 25 4 1 16 4 3 64 P(? ? 3) ? ( ) 2 ? ? , P(? ? 4) ? ( ) ? . 5 5 125 5 125 P?

? 的概率分布列为

?
P

1

2

3

4

1 5

4 25

16 125

64 125

E ? =1×

1 4 16 64 369 +2× +3× +4× = .????????????12 分 5 125 125 125 25

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD ,

OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 解:解法一(综合法) (Ⅰ)取 OB 中点 E,连接 ME,NE ? ME‖AB,AB‖ CD, ME‖ CD ,? ME‖ 面OCD ? 又

O

M

? NE‖ OC ,? NE‖ 面OCD, ME ? NE ? E ? 平面MNE‖ 平面OCD D A ? MN‖ 平面OCD ??????5 分 B N C (Ⅱ)? CD‖AB, ∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角. 作 AP ? CD于P, 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D , 由三垂线定理得 CD ? MP 4 DP 1 ? ∴ cos ?MDP ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3
所以 AB 与 MD 所成角的大小为

∵ ?ADP ?

?

,∴DP =

2 2

MD ? MA2 ? AD2 ? 2 ,

? ??????10 分 3

∴ (Ⅲ)∵ AB‖ 平面OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作
AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD 又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?
2 2? OA?AP 2 ?2, ∴ AQ ? ? OP 3 3 2 2

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

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所以点 B 到平面 OCD 的距离为

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2 ?????????????14 分 3 解 法 二 ( 向 量 法 ) 作 AP ? CD 于 点 P, 如 图 , 分 别 以 AB,AP,AO 所 在 直 线 为 x, y, z 轴 建 立 坐 标 系
2 2 2 2 2 , 0), D(? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,
(Ⅰ) MN ? (1 ?

??? ? ???? 2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 ??? ? ??? 2 2 ? ? ? ? z O 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? ? 0 OD ? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? M ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 2 ? 2 ? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0,4, 2) D A ???? ? ? 2 2 x B ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? 4, 2) ? 0 (0, N CP y 4 4 ? MN‖ 平面OCD ??? ? ???? ? 2 2 (Ⅱ)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (? , , ?1) 2 2 ??? ???? ? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴c o ? ? ??? ???? ? ∴? ? s , ? ? 3 3 AB ? MD 2 ??? ? ? (Ⅲ)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, ??? ? ? OB ? n 2 ??? ? 2 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ? ? ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 n 3
19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C : x2 ? 4 y ,直线 l : y ? ?1 . PA 、 PB 为 C 的两切线,切点 为 A, B . (Ⅰ) 求证: “若 P 在 l 上,则 PA ? PB ”是真命题; (Ⅱ) 写出(Ⅰ)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
2 解: (Ⅰ)证明:由 x ? 4 y 得 y ?

???? ?

1 2 1 x ,对其求导得 y ' ? x . ┅┅┅┅┅┅┅ 2 分 4 2 2 2 1 1 x x 设 A( x1 , 1 ), B( x2 , 2 ) ,则直线 PA, PB 的斜率分别为 k PA ? x1 , k PB ? x2 . 2 2 4 4 2 2 x x 1 1 由点斜式得 PA : y ? 1 ? x1 ( x ? x1 ), 即y ? x1 x ? 1 . ① ┅┅┅┅┅ 4 分 4 2 2 4 x2 1 x2 1 PB : y ? 2 ? x2 ( x ? x2 ), 即y ? x2 x ? 2 . ②, ┅┅┅┅┅┅ 5 分 4 2 2 4 x ? x2 x1 x2 xx , ) ,因为 P 在 l 上,所以 1 2 ? ?1 ,┅┅┅┅ 7 分 由①②可得点 P ( 1 2 4 4 xx 1 1 k 所以 k PA ? PB ? x1 ? x2 ? 1 2 ? ?1 ,所以 PA ? PB . ┅┅┅┅┅┅ 8 分 2 2 4 (Ⅱ) (Ⅰ)中命题的逆命题为:若 PA ? PB ,则 P 在直线 l 上. 为真命题. ┅┅ 10 分

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事实上,由原命题可知,设 A( x1 ,

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x12 x2 ), B( x2 , 2 ) ,且 4 4 2 2 x x 1 1 PA : y ? 1 ? x1 ( x ? x1 ), 即y ? x1 x ? 1 . ① 4 2 2 4 2 x x2 1 1 PB : y ? 2 ? x2 ( x ? x2 ), 即y ? x2 x ? 2 . ②, 4 2 2 4 x1 ? x2 x1 x2 , ), 由①②可得点 P ( ┅┅┅┅┅┅┅ 12 分又 PA ? PB , 2 4 xx 1 1 k 所以 k PA ? PB ? x1 ? x2 ? 1 2 ? ?1 ,即 y p ? ?1 ,从而点 P 在 l 上. ┅┅┅┅┅ 14 分 2 2 4
20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ? an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

解: (Ⅰ)解法一:依题意, an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn ? 3n ,?Sn?1 ? 2Sn ? 3n , 由此得 Sn?1 ? 3n?1 ? 2(Sn ? 3n ) .????????????5 分 因此,所求通项公式为 bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N .①??????????7 分
*

? Sn ? bn ? 3n ,?bn?1 ? 3n?1 ? 2(bn ? 3n ) ? 3n ,?bn?1 ? 2bn ,? 数列 ?bn ? 是等比数列,
b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 ,?bn ? (a ? 3)2n?1
(Ⅱ)由①知 Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N ,
*

解法二: an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn ? 3n ,?Sn?1 ? 2Sn ? 3n ,

于是,当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,??????????????10 分 an?1 ? an ? 4 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2
?2
n?2

? ? 3 ?n?2 ? ?12? ? ? a ? 3? ,????????????11 分 ? ? ?2? ? ? ?
n?2 n?2 n?2

?3? ?3? ? 3? 当 n ? 2 时,? an?1 ? an ?12? ? ? a ? 3 ? 0 ,? a ? 3 ? 12? ? 恒成立, 又3 ? 12? ? ? ? ? ?2? ?2? ? 2? ? a ? ?9 .??????13 分 又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .综上,所求的 a 的取值范围是 ??9, ?? .???????14 分 ?
21. (本小题满分 14 分)

? ?9

3 2 对于三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,定义:设 f ??( x) 是函数 y ? f ? x ? 的导函数 y ? f ?( x) 的

导 数 , 若 f ?? ? x ? ? 0 有 实 数 解 x0 , 则 称 点 x0 , f ? x0 ? 为 函 数 y ? f ? x 的 “ 拐 点 ” 现 已 知 。 ?

f ? x ? ? x ? 3x ? 2x ? 2 ,请解答下列问题:
3 2

?

?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的“拐点”A 的坐标; (Ⅱ)求证 f ? x ? 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结 论(此结论不要求证明) ; (Ⅲ)若另一个三次函数 G(x)的“拐点”为 B(0,1) ,且一次项系数为 0,当 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? x1 ? x2 ?

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G ? x1 ? ? G ? x2 ? ? x ? x2 ? 与G? 1 ? 的大小。 2 ? 2 ? 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 2 ????????????1 分 f ??( x) ? 6 x ? 6 令 f ??( x) ? 6 x ? 6 ? 0 得 x ? 1 ?????????2 分
时,试比较

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f (1) ? 13 ? 3 ? 2 ? 2 ? ?2 ? 拐点 A(1, ?2) ??????????????3 分 3 2 (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) 是 y ? f ( x) 图象上任意一点,则 y0 ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2 ,因为 P( x0 , y0 ) 关 于 A(1, ?2) 的 对 称 点 为 P?(2 ? x0 , ?4 ? y0 ) , 把 P? 代 入 y ? f ( x) 得 左 边
3 2 ? ? y0 ? ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2 4 ?

右边 ? (2 ? x0 )3 ? 3(2 ? x0 )2 ? 2(2 ? x0 ) ? 2

? 左边=右边 ? P?(2 ? x0 , ?4 ? y0 ) 在 y ? f ( x) 图象上 ? y ? f ( x) 关于 A 对称?????????????7 分
结论: ①任何三次函数的拐点,都是它的对称中心 ②任何三次函数都有“拐点” ③任何三次函数都有“对称中心” (写出其中之一)??9 分 (Ⅲ)设 G( x) ? ax3 ? bx2 ? d ,则 G(0) ? d ? 1 ?????????10 分

3 2 ? ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2

?G( x) ? ax3 ? bx2 ? 1 , G?( x) ? 3ax2 ? 2bx , G??( x) ? 6ax ? 2b G??(0) ? 2b ? 0 , b ? 0 ,?G( x) ? ax3 ? 1???????11 分 G ( x1 ) ? G ( x2 ) x ?x ? G( 1 2 ) 法一: 2 2 a 3 a 3 x1 ? x2 3 ? x1 ? x2 ? a ( ) 2 2 2 1 1 3 x ?x ? a[ x13 ? x2 ? ( 1 2 )3 ] 2 2 2 3 3 2 a x ? x2 ? 3x12 x2 ? 3x1x2 3 ? [ x13 ? x2 ? 1 ] 2 4 a 3 2 ? (3x13 ? 3x2 ? 3x12 x2 ? 3x1 x2 ) 8 a 2 ? [3x12 ( x1 ? x2 ) ? 3x2 ( x1 ? x2 )] 8 3a ? ( x1 ? x2 ) 2 ( x1 ? x2 ) ??????????????13 分 8 G ( x1 ) ? G ( x2 ) x ?x ? G( 1 2 ) 当 a ? 0 时, 2 2 G ( x1 ) ? G ( x2 ) x ?x ? G ( 1 2 ) ????????14 分 当 a ? 0 时, 2 2 ??( x) ? 6ax , 当 a ? 0 时 , 且 x ? 0 时 , G??( x ) ? 0 , ? G ( x) 在 (0, ??) 为 凹 函 数 , 法二: G G ( x1 ) ? G ( x2 ) x ?x ? ? G ( 1 2 ) ??????????????13 分 2 2 当 a ? 0 时, G??( x) ? 0 ,? G ( x) 在 (0, ??) 为凸函数

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G ( x1 ) ? G ( x2 ) x ?x ? G ( 1 2 ) ???????????????14 分 2 2

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