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高考总复习课标版数学:14随机变量的数学期望与方差(限时练习)


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限时作业 62 随机变量的数学期望与方差 一、选择题 1.下列说法中,正确的是( ) A.离散型随机变量的均值 E(X)反映了 X 取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差 D(X)反映了 X 取值的平均水平 C.离散型随机变量的均值 E(X)反映了 X 取值的平均水平 D.离散型随机变量的方差 D(X)反映了 X 取值的概率平

均值 解析:离散型随机变量 X 的均值反映了离散型随机变量× 取值的平均水平,随机变量的方差反 映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. 答案:C 2.已知随机变量的概率分布是 X P 1 0.4 2 0.2 3 0.4

则 D(X)等于( ) A.0 B.0.8 C.2 D.1 解析:根据方差的计算公式,易求 V(X)=0.8. 答案:B 3.若随机变量 X 服从两点分布,且成功的概率 p=0.5,则 E(X)和 D(X)分别为( ) A.0.5 和 0.25 B.0.5 和 0.75 C.1 和 0.25 D.1 和 0.75 解析:∵ 服从两点分布, X ∴ 的概率分布为 X X P 0 0.5 1 0.5

∴ E(X)=0× 0.5+1× 0.5=0.5, 2 D(X)=0.5 × 0.5+(1-0.5)2× 0.5=0.25. 答案:A - 4.离散型随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=pkq1 k(k=0,1,p+q=1), EX 与 DX 依次为( 则 ) A.0 和 1 B.p 和 p2 C.p 和 1-p D.p 和 p(1-p) 解析:根据题意,EX=0× q+1× p=p,DX=(0-p)2q+(1-p)2p=p(1-p)或可以判断随机变量 X 满足两点分布,所以 EX 与 DX 依次为 p 和 p(1-p),选 D. 答案:D 5.已知 X~B(n,p),EX=8,DX=1.6,则 n 与 p 的值分别是( ) A.100,0.08 B.20,0.4 C.10,0.2 D.10,0.8 解析:由于 X~B(n,p),EX=8,DX=1.6,即 np=8,np(1-p)=1.6, 可解得 p=0.8,n=10,应选 D. 答案:D 二、填空题 6.① 连续不断地射击,首次击中目标所需要的射击次数为 X;② 南京长江大桥一天经过的车辆 数为 X;③ 某型号彩电的寿命为 X;④ 连续抛掷两枚骰子,所得点数之和为 X;⑤ 某种水管的 外径与内径之差 X. 其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上) 解析:② 中 X 的取值有限, ④ 故均为离散型随机变量; 中 X 的取值依次为 1,2,3,…,虽然无限, ① 但可按从小到大顺序列举,故为离散型随机变量;而③ 中 X 的取值不能按次序一一列举, ⑤ 故均不是离散型随机变量.
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答案:① ④ ② 7.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取 ? 2 2 ,? 3 ,?

5 5 ,0, , 3 ,2 2 , 2 2

用 X 表示坐标原点到 l 的距离,则随机变量 ξ 的数学期望 EX=__________. 解 析 : 设 直 线 方 程 为 y = kx+1 , 则 点 (0 , 1) 到 直 线 的 距 离 X ?

1 k 2 ?1

,将 k 取

? 2 2 ,? 3 ,?

1 1 2 2 1 1 5 5 0, , 3,2 2 代入,分别求得距离为 , , ,1, , , ,由于 l 的斜率 3 2 3 3 2 3 2 2

取什么值是等可能的, 所以 X 的分布列为

1 2 2 P 7 1 2 1 2 2 2 1 4 因此 EX ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? . 3 7 2 7 3 7 7 7 4 答案: 7
X

1 3 2 7

2 3 2 7

1

1 7

8.一只青蛙从数轴的原点出发, 当投下的硬币正面向上时, 它沿数轴的正方向跳动两个单位; 当投下的硬币反面向上时,它沿数轴的负方向跳动一个单位.若青蛙跳动 4 次停止,设停止 时青蛙在数轴上对应的坐标为 X,则 E(X)=__________. 解析:所有可能出现的情况分别为 硬币 4 次都反面向上,则青蛙停止时坐标为 x1=-4,此时概率 p1 ?

1 ; 16

硬 币 3 次 反 面 向 上 而 1 次 正 面 向 上 , 则 青 蛙 停 止 时 坐 标 为 x2 = - 1, 此 时 概 率

1 1 1 3 p2 ? C4 ? ( ) 3 ? ? ; 2 2 16
硬 币 2 次 反 面 向 上 而 2 次 正 面 向 上 , 则 青 蛙 停 止 时 坐 标 为 x3 = 2, 此 时 概 率

1 1 1 2 p3 ? C 4 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ; 2 2 16
硬 币 1 次 反 面 向 上 而 3 次 正 面 向 上 , 则 青 蛙 停 止 时 坐 标 为 x4 = 5, 此 时 概 率

1 1 4 1 p 4 ? C 4 ? ( )1 ? ( ) 3 ? ; 2 2 16
硬币 4 次都正面向上,则青蛙停止时坐标为 x5=8,此时概率 p5 ? C 4 ? ( ) ?
0 4

1 2

1 , 16

∴ E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+x4p4+x5p5=2. 答案:2 三、解答题 9.设有甲、乙两门火炮,它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量 X1 和 X2(单位:cm),其 分布列为: X1 82 83 90 92 98

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p X2 p

0.2 82 0.2

0.2 86.5 0.2

0.2 90 0.2

0.2 92.5 0.2

0.2 94 0.2

求 EX1,EX2,DX1,DX2,并分析两门火炮的优劣. 解:根据题意,有 EX1=82× 0.2+83× 0.2+90× 0.2+92× 0.2+98× 0.2=89, EX2=(82+86.5+90+92.5+94)× 0.2=89, 2 DX1=(82-89) × 0.2+(83-89)2× 0.2+(90-89)2× 0.2+(92-89)2× 0.2+(98-89)2× 0.2=35.2, 2 2 2 2 DX2=(82-89) × 0.2+(86.5-89) × 0.2+(90-89) × 0.2+(92.5-89) × 0.2+(94-89)2× 0.2=18.5. ∵ 1=EX2,故两门火炮的平均性能相当, EX 但 DX1>DX2,故乙火炮相对性能较稳定,则甲火炮相对分布较分散,性能不够稳定. 10.设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为 遇到红灯(禁止通行)的概率为

3 , 4

1 .假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进, 表示停 X 4

车时已经通过的路口数,求: (1)X 的概率分布及期望 EX; (2)停车时最多已通过 3 个路口的概率. 解:(1)X 的所有可能值为 0,1,2,3,4, 用 Ak 表示“汽车通过第 k 个路口时不停(遇绿灯)”,

3 (k=1,2,3,4),且 A1,A2,A3,A4 独立. 4 1 故 P(X=0)=P( A1 )= , 4 3 1 3 P(X=1)=P(A1· 2 )= ? ? , A 4 4 16 3 2 1 9 P(X=2)=P(A1· 2· 3 )= ( ) ? ? A A 4 4 64 3 3 1 27 P(X=3)=P(A1· 2· 3· 4 )= ( ) ? ? A A A , 4 4 256 3 4 81 P(X=4)=P(A1· 2· 3· 4)= ( ) ? A A A , 4 256
则 P(Ak)= 从而 X 的概率分布为 X P 0 1 2 3 4

3 9 16 64 1 3 9 27 81 525 EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 4 16 64 256 256 256 81 175 ? (2)P(X≤3)=1-P(X=4)= 1 ? . 256 256 175 ∴ 停车时最多已通过 3 个路口的概率为 . 256

1 4

27 256

81 256

11.(2009 广东汕头统测,理 20)NBA 总决赛采用 7 场 4 胜制,即若某队先取胜 4 场则比赛结 束.由于 NBA 有特殊的政策和规则,能进入决赛的球队实力都较强,因此可以认为,两个队
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在每一场比赛中取胜的概率相等.根据不完全统计,主办一场决赛,组织者有望通过出售电 视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益 2 000 万美元(相当于篮球巨 星科比的年薪). (1)求所需比赛场数 X 的概率分布; (2)求组织者收益的数学期望. 解:所需比赛场数 X 是随机变量, 其所有可能取值为 4, 6, 从而 P(X=k)= C k ?1 ( ) 5, 7, =4,5,6,7. (1)X 的概率分布为 X P 4 5 6 7
3

1 2

k ?1

,k

1 8

1 4

5 16

5 16

(2)所需比赛场数的数学期望是 E ( X ) ? 4 ? 的数学期望为

1 1 5 5 93 ? 5? ? 6? ? 7? ? ≈6, 组织者收益 8 4 16 16 16

93 × 000=11 625 万美元. 2 16

12.某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成,两道工序 的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品,两道工序的 加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品. (1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产出的 甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (2)已知一件产品的利润如表二所示,用 X、Y 分别表示一件甲、乙产品的利润,在(1)的条 件下,求 X、Y 的概率分布及 E(X)、E(Y); (3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资金 60 万元.设 x、 分别表示生产甲、 y 乙产品的数量, 在(2)的条件下, y 为何值时, x、 z=xE(X)+yE(Y) 最大?最大值是多少?(解答时需给出图示) 表一

表二

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表三

解:(1)P 甲=0.8× 0.85=0.68,P 乙=0.75× 0.8=0.6. (2)随机变量 X、Y 的分布列是 X P Y P 5 0.68 2.5 0.6 2.5 0.32 1.5 0.4

E(X)=5× 0.68+2.5× 0.32=4.2,E(Y)=2.5× 0.6+1.5× 0.4=2.1.

?5 x ? 10 y ? 60, ?8 x ? 2 y ? 40, ? (3)由题设,知 ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?
目标函数为 z=xE(X)+yE(Y)=4.2x+2.1y. 作出可行域(如图):

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作直线 l:4.2x+2.1y=0, 将 l 向右上方平移至 l1 位置时, 直线经过可行域上的 M 点与原点距离最大, 此时 z=4.2x+2.1y 取最大值.解方程组 ? 为 25.2.

?5 x ? 10 y ? 60, 得 x=4,y=4,即 x=4,y=4 时,z 取最大值,z 的最大值 ?8 x ? 2 y ? 40,

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