tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

必修一函数补课知识点


必修一函数复习资料 知识网络
定义域 定 义 对应法则 值域 映 射 函 数 性 质 奇偶性 对数的性质 单调性 周期性 对数 反 函 数 互为反函数的 函数图像关系 对 数 函 数 对数函数的图像和性质 对数恒等式 和不等式 常用对数 自然对数 积、商、幂与 根的对数 指 数 函 数 区间 一元二次函数 一元二次不等式

根式

>分数指数 指数方程 对数方程

指数函数的图像和性质

一、函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合 A 中的任意一个
数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数,记作: y ? f ( x), x ? A 。

注意:
1 “ y ? f ( x), ”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“ y ? g ( x), )” ○ ;

②函数符号“ y ? f ( x), ”中的 f ( x) 表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x 。
函数的三要素: (1)定义域 A:自变量 x 的取值范围。 (2)对应法则 f ——变化规律; (3)值域 { f ( x) | x ? A} :函数值 y 的集合。

二、判断是否函数:由函数的概念可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴 垂线的公共点可能没有,也可能有任意个,即一对一或者多对一,但不能一对多。 如:
1:判断下列对应能否表示 y 是 x 的函数:
1

(1) y ?| x | ; (2) | y |? x ; (3) y ? x2 ; (4) y 2 ? x (5) y 2 ? x 2 ? 1; (6) y 2 ? x 2 ? 1。 2:下列图象能表示函数图象的是( y y ) y y

0 (A)

x (B)

0

x

0

x

0

x

(C)

(D)

3.下列对应关系是集合 P 上的函数的有

个.

(1) P ? Z , Q ? N * ,对应关系 f : “对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应” ; (2) P ? {?1,1, ?2,2}, Q ? {1,4} ,对应关系: f : x → y ? x2 , x ? P, y ? Q ; (3)P ? { 三角形 }, Q ? {x | x ? 0} ,对应关系 f :“对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应. ” 4. M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形, 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有( A、 0个
y 2 1
O

) B、 1个
y 2 1 3 2 1
O

C、 2个
y

D、3个
y 2 1

1

2

x

1

2 x

O

1

2 x

O

1 2

x

三、同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和 对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。
例 1、下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y = ( x )2 ; (2)y = ( 3 x 3 ) ; (3)y = x 2 ; (4)y=

x2 x

解:函数 y=x 的定义域为 R,对应关系为 y=x; (1)y = ( x )2 的定义域为{x|x ? 0},定义域不相同; (2)y = ( 3 x 3 )定义域为 R,化简后对应关系为 y=x,与 y=x 为同一函数; (3)y = x 2 定义域为 R,化简后对应关系为 y=|x|,对应关系不相同;

2

x2 (4)y= 定义域为{x|x≠0},定义域不相同。 x

如 1.下列各组函数中,表示同一函数的是 ( A. y ? 1, y ?
x x



B. y ? x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1 D. y ?| x |, y ? ( x ) 2 ( )
x

C . y ? x, y ? 3 x 3 A.y= x
2

2.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是
x
x

)2

D.y= 2

lo g2 x

三、定义域:求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为 0; (2)偶次方根的被开方数不小于 0,0 取 0 次方没有意义(即指数为 0 的幂函数底数不能为 0) ; (3)对数函数的真数必须大于 0; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于 0 且不等于 1; (5)当函数涉及实际问题时,还必须保证实际问题有意义。 (6)如果 f ( x) 是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义 的实数集合。 (即求各集合的交集)
注意:函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 例 1:已知函数 f (x) = 解:? ?

x?3 +

1 ,求函数的定义域。 x?2

?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 解得: ? ∴所给函数的定义域为 {x | x ? ?3且x ? ?2} 。 ?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2

例 2、求函数 y ? log0.2 (4 ? x) ? ( x ? 3) 0 的定义域。 解:? ?

?4 ? x ? 0 ?x ? 4 解得: ? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3
x

∴所给函数的定义域为 {x | x ? 4且x ? 3} 。

例 3、求函数 y ? ( x ? 1) ? log( x?2) x 的定义域。

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? x ?1 ? 1 ?x?0 ? ? ? ? 解:? ? x ? 2 ? 0 解得: ? x ? 2 ∴所给函数的定义域为 {x | x ? 2且x ? 3} 。 ?x ? 2 ?1 ?x?3 ? ? ? ? x ? 0 ? ?x?0
3

例 4、设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它的面积关于 x 的函数的解析式,并写出定义域. 解:由题意知,另一边长为 所以 s=

80 ? 2 x ,且边长为正数,所以 0<x<40. 2
(0<x<40)

80 ? 2 x ? x = (40-x)x 2

练习: 1.函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( A. {x | x ? 1} 2.函数 y ?
4.函数 y ?

) C. {x | x ? 1或x ? 0}
3.函数 y ?

B. {x | x ? 0}
x?2 的定义域 x2 ? 4

D. {x | 0 ? x ? 1}



x ? 8 ? 3 ? x 的定义域为

x2 ?1 ? 1? x2 的定义域为 x ?1
3x 2 1? x
3

5.函数 f ( x) ? 2x?4 ?1 的定义域为

6.函数 f(x)=

+lg(3x+1)的定义域是 B.(- 1 , 1 )
3 3



) C.(- 1 ,1)
3

A.(-∞,- 1 ) 7.函数 y ?

D.(- 1 ,+∞)
3

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是____ 8.若函数 y ?

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? _______ kx ? 4kx ? 3
2

9.函数 f ( x) 的定义域是 [a, b] , b ? ? a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是(答: [a, ?a] ); 复合函数的定义域:若已知 f ( x) 的定义域为 [a , b ] , 其复合函数 f [ g ( x)]的定义域由不等式
a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相当于当 x ? [a, b]

时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 。 如 1.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) ? A. [0,1] B. [0,1)
f (2 x) 的定义域是( x ?1



C. [0,1) (1,4]

D. (0,1)

2.若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________ .
?1 ? 3.若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为___ ) ; ?2 ?

4

四.求函数值域(最值) : (1)基本函数的值域 一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R.
? 4ac ? b 2 ? ? 4ac ? b 2 ? , ?? ? , 二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? , 当 a ? 0 时为 ? 当 a ? 0 时为 ? ??, ?. 4a ? ? 4a ? ?
2

反比例函数 y ?

k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x

指数函数 y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y y ? 0? . 对数函数 y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 如: 1.函数 y ? 16 ? 4x 的值域是 (A) [0, ??) (B) [0, 4] (C) [0, 4) (D) (0, 4)

2.函数 f ? x ? ? log 2 ? 3x ? 1? 的值域为 A.

?0, ???

B.

? ?0, ?? ?

C.

?1, ???

D. ? ?1, ?? ?

3.若函数 y ?

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2

(2) 二次函数的值域: (二次函数在给出区间上的最值有两类: 一是求闭区间 [m, n] 上的最值; 二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合, 注意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系) , 如 1.函数 y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 (配方法)
1 23 23 23 y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? ,∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ , ?? ) 6 12 12 12

2.求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域 3.求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域 4.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值。 5.若函数 y ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ?
25 , ? 4] ,则 m 的取值范围是( 4



5

A. ?0,4?

3 B. [ , 4 ] 2

3 3] C. [ , 2

3 ? ?) D. [ , 2

(3)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数 解析式含有根式或三角函数公式模型,运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围。 如 1.函数 y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的值域为 3.函数 y ? 2x ?1 ? x ?1 的值域为_____ 2.函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域 4.求函数 y ?
3x 的值域 3x ? 1



(4) 单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性, 如
1 1.函数 y ? x ? (1 ? x ? 9) 的值域= x

2..函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域

3.函数 y ? 1 ? 2x ? x 的值域= (5)直接法 1.函数 y ?
3x ? 1 的值域为 x?2

2.求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。

3.求函数 y ? x 2 ? 6 x ? 10 的值域。 五.函数解析式: ( 1 ) 待 定 系数 法 ――已知所求函数的类 型(二次函数的表达 形式有三种:一般式 :

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ;顶点式: f ( x) ? a( x ? m)2 ? n ;零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,要会根
据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式) 。 如 1.已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; 解;设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 ,∴ a ? 2 ,b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 。 2.若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2,0), B(4,0) ,且函数的最大值为 9 , 则这个二次函数的表达式是 。

6

3.已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式 。

4.已知 a , b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24, 则求 5a ? b 的值

(2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。 如:
2 1.已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x 2 2 2 2 解: ( 令 ?1 ? t ( t ? 1) ,则 x ? ,∴ f (t ) ? lg , f ( x) ? lg x t ?1 t ?1 x ?1 1 1 2.若 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____ x x

( x ? 1) 。

3.若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? (0,??) 时,f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 那么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =________.

(3)方程的思想――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等 式的进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。
1 如 1.已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 。 x 1 解: 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ①, x
7

把①中的 x 换成

1 1 3 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? x x x

②,① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ?

3 1 ,∴ f ( x ) ? 2 x ? 。 x x

2.已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式

3.已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) =

1 ,则 f ( x) = x ?1



(4)利用奇偶性求解析式 如: 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ,那么 x ? 0 时, f ( x) ? 2.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且
f ( x) ? g ( x) ? 1 ,求 f ( x) 和 g ( x) 的解析式. x ?1

.

六.分段函数 分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系 的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断 x0 属于定义 域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系 式的取值范围的并集。 如:
? x ? 2( x ? ?1) ? 1.已知 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?



A. 1

B. 1 或

3 2

C. 1 ,

3 或? 3 2

D. 3 )

2 ? x ≤1, ? 1 ? ?1 ? x , 2.设函数 f ( x) ? ? 2 则f? ? 的值为( f (2) x ? x ? 2 , x ? 1 , ? ? ? ?

8

A.

15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

D. 18 )

? x ? 2, ( x ? 10) 3.设 f ( x) ? ? 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 B

f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ? 11 。
) D. ??9,1?

2 ? ?2 x ? x (0 ? x ? 3) 4.函数 f ( x) ? ? 2 的值域是( ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0)

A. R

B. ? ?9, ?? ?

C. ??8,1?

?( x ? 1)2 .( x ? 1) ? 5.设函数 f ( x) ? ? ,则 f ( x) ? 1 的解是___ 4 ? x ? 1.( x ? 1) ? ?

?1 , x?0 ? ?x 6.若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

1 则不等式 | f ( x) |? 的解集为_______ ___. 3

?1, x ? 0 7.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ?? 1, x ? 0

9

七. 反函数: 反函数的性质:反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域。函 数 y ? f ( x) 的图象与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,
x 如:若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? ( a>0,且a ? 1 )

八.函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性 时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 如: 1.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 [a ? 1, 2a] .则 a ? ____, b ? 2.下列判断正确的是( A.函数 f ( x) ? ) B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

x 2 ? 2x 是奇函数 x?2

1? x 是偶函数 1? x

C.函数 f ( x) ? x ? x 2 ? 1 是非奇非偶函数

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数

(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶 性) : ①定义法: ②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或
f (? x) 。 ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 如 1.判断函数 y ?
| x ? 4 | ?4 9 ? x2

的奇偶性____。

2.函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1) 的奇偶性为 3.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?
1 ? x2 x?2 ?2

(2) f ( x) ? 0, x ???6, ?2?

?2,6?

4.判断 f ( x) ? x(

1 1 ? ) 的奇偶性___. 2 ?1 2
x

10

(3)函数奇偶性的性质及应用 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . ④若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充 分也不必要条件。 ⑤复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. 如 1.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) )

2.设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.偶函数 D.非奇非偶函数。

3 . 奇 函 数 f ( x) 在 区 间 [ 3, 7 ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [3, 6] 上 的 最 大 值 为 8 , 最 小 值 为 ?1 , 则
2 f (? 6)? f ? ( 3) ? ___。

4.已知 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 其中 a , b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) 的值等于() A. ?2 B. ? 4 C. ?6 D. ?10

6.若函数 f ( x) ?

x?a 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x) 的解析式为________. x ? bx ? 1
2

7.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ??0, ??? 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) ? _________________。
1 8.若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数, 且 f ( ) =2, 则不等式 f (log1 x) ? 2 的解 3 8

集为______.

11

a · 2x ? a ? 2 9.若 f ( x) ? 为奇函数,则实数 a =____. 2x ? 1

10..若 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x



11.已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) .若 f (a) ? ?2 ,则实数

a?

.

1 12.已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ?1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( ) 3 1 2 1 2 1 2 1 2 (A) ( , ) B.[ , ) C.( , ) D.[ , ) 3 3 3 3 2 3 2 3

13. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则
x ? ( 0,?? )时 f ( x) ?

10.函数的单调性。 (1)判断函数的单调性的常用方法: ①定义法(取值――作差――变形――定号)
2 图象法 ○

如: 1.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是(
3 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2 3 B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 3 D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2



2.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ?
1 x

) D. y ? ? x 2 ? 4 . ()

3.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是
? x 2 ? 4 x, 4.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x , x?0 x?0

若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

A (??, ?1) ? (2, ??)

B (?1, 2)

5.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数, 且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则 ( A. f ?6? ? f ?7? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9?
12



D. f ?7? ? f ?10?

6.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (-∞, 4] 上是减函数, 那么实数 a 的范围是_____;
ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_ x?2 8.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5? .

7.已知函数 f ( x) ?



① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。 ④已知函数的单调性 如:1.下列函数中,在区间 (??, 0) 上是增函数的是( ) A y ? x 2 ? 4x ? 8 2.若函数 f ( x) ? B y ? log1 (? x) C y ? ?
2

2 x ?1

D ( )

y ? 1? x

1 ,则该函数在 (?? ,?? ) 上是 2 ?1
x

A.单调递减;无最小值 C.单调递增;无最大值 3.若函数 f ( x) ?

B.单调递减;有最小值 D.单调递增;有最大值

a 在 (0,??) 上为增函数,则 a 的取值范围是 x

⑤复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减, 如函数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x 的单调递增区间是_______。
2

?

?

(2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符 号“ ”和“或”只能用“和”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示. 如 1.函数 y ? log 1 (2 x2 ? 3x ? 1) 的递减区间为
2

( C.(

)
1 ,+ ? ) 2

A.(1,+ ? )

B.(- ? ,

3 ] 4

D.(- ? ,

1 ] 2

2.函数 f ( x) ? x 2 ? x 的单调递减区间是____________________。 (3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗? (①求值域;②解不等式;③求参数范围;④比较大小). 如: 1.函数 y ? x ? 1 ? x ?1 的值域为( ) A. ? ?, 2

?

?

B. 0, 2

?

?

C.

? 2,???
13

D. ?0,???

2.函数 f ( x) ?

4 ( x ? [3, 6]) 的值域为__________。 x?2

3.若函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( A. ? ??, 40? B. [40,64] C. ? ??, 40?

) D. ?64, ???

?64, ???

4.已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 3

5.下列四个命题:(1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f ( x) 是增函数;(2) 若函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 与 x 轴没有交点, 则 b2 ? 8a ? 0 且 a ? 0 ; (3) y ? x2 ? 2 x ? 3 的递增区间为

?1, ??? ;(4)
A. 0 6.已知 a ?

y ? 1 ? x 和 y ? (1 ? x) 2 表示相等函数。其中正确命题的个数是(

)

B. 1

C. 2

D. 3

5 ?1 ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的大小关系为 2

7.若函数 y ? mx2 ? x ? 5 在 ? ?2, ??) 上是增函数,则 m 的取值范围是___



8.若函数 f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为________。 9.已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的范围。
3 5 10.若 f ( x) 是偶函数,其定义域为 ?? ?,??? ,且在 ?0,??? 上是减函数,则 f (? )与f (a 2 ? 2a ? ) 2 2

的大小关系是(


3 5 B. f ( ? ) < f (a 2 ? 2a ? ) 2 2 3 5 D. f ( ? ) ? f (a 2 ? 2a ? ) 2 2

3 5 A. f ( ? ) > f (a 2 ? 2a ? ) 2 2 3 5 C. f ( ? ) ? f ( a 2 ? 2 a ? ) 2 2

11.设 f ( x) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是( ) A. ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ?x | x ? ?3或x ? 3? B. ?x | x ? ?3或0 ? x ? 3? D. ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3? ) D. ?0,??? 。

12.函数 y ? x ? 1 ? x ?1 的值域为( A. ? ?, 2 13.若 f ( x) ?

?

?

B. 0, 2

?

?

C.

? 2,???
14

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2

必修一函数复习资料 知识网络
定义域 定 义 对应法则 值域 映 射 函 数 性 质 奇偶性 对数的性质 单调性 周期性 对数 反 函 数 互为反函数的 函数图像关系 对 数 函 数 对数函数的图像和性质 对数恒等式 和不等式 常用对数 自然对数 积、商、幂与 根的对数 指 数 函 数 区间 一元二次函数 一元二次不等式

根式

分数指数 指数方程 对数方程

指数函数的图像和性质

一、函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合 A 中的任意一个
数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数,记作: y ? f ( x), x ? A 。

注意:
1 “ y ? f ( x), ”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“ y ? g ( x), )” ○ ;

②函数符号“ y ? f ( x), ”中的 f ( x) 表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x 。
函数的三要素: (1)定义域 A:自变量 x 的取值范围。 (2)对应法则 f ——变化规律; (3)值域 { f ( x) | x ? A} :函数值 y 的集合。

二、判断是否函数:由函数的概念可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴 垂线的公共点可能没有,也可能有任意个,即一对一或者多对一,但不能一对多。 如:
15

1:判断下列对应能否表示 y 是 x 的函数: (1) y ?| x | ; (2) | y |? x ; (3) y ? x2 ; (4) y 2 ? x (5) y 2 ? x 2 ? 1; (6) y 2 ? x 2 ? 1。 2:下列图象能表示函数图象的是( y y ) y y

0 (A)

x (B)

0

x

0

x

0

x

(C)

(D)

3.下列对应关系是集合 P 上的函数的有

个.

(1) P ? Z , Q ? N * ,对应关系 f : “对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应” ; (2) P ? {?1,1, ?2,2}, Q ? {1,4} ,对应关系: f : x → y ? x2 , x ? P, y ? Q ; (3)P ? { 三角形 }, Q ? {x | x ? 0} ,对应关系 f :“对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应. ” 4. M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形, 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有( C A、 0个
y 2 1
O

) B、 1个
y 2 1 3 2 1
O

C、 2个
y

D、3个
y 2 1

1

2

x

1

2 x

O

1

2 x

O

1 2

x

三、同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和 对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。
例 1、下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y = ( x )2 ; (2)y = ( 3 x 3 ) ; (3)y = x 2 ; (4)y=

x2 x

解:函数 y=x 的定义域为 R,对应关系为 y=x; (1)y = ( x )2 的定义域为{x|x ? 0},定义域不相同; (2)y = ( 3 x 3 )定义域为 R,化简后对应关系为 y=x,与 y=x 为同一函数; (3)y = x 2 定义域为 R,化简后对应关系为 y=|x|,对应关系不相同;
16

x2 (4)y= 定义域为{x|x≠0},定义域不相同。 x

如 1.下列各组函数中,表示同一函数的是 ( A. y ? 1, y ?
x x

C )

B. y ? x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1 D. y ?| x |, y ? ( x ) 2 ( C )
x

C . y ? x, y ? 3 x 3 A.y= x
2

2.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是
x
x

)2

D.y= 2

lo g2 x

三、定义域:求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为 0; (2)偶次方根的被开方数不小于 0,0 取 0 次方没有意义(即指数为 0 的幂函数底数不能为 0) ; (3)对数函数的真数必须大于 0; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于 0 且不等于 1; (5)当函数涉及实际问题时,还必须保证实际问题有意义。 (6)如果 f ( x) 是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义 的实数集合。 (即求各集合的交集)
注意:函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 例 1:已知函数 f (x) = 解:? ?

x?3 +

1 ,求函数的定义域。 x?2

?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 解得: ? ∴所给函数的定义域为 {x | x ? ?3且x ? ?2} 。 ?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2

例 2、求函数 y ? log0.2 (4 ? x) ? ( x ? 3) 0 的定义域。 解:? ?

?4 ? x ? 0 ?x ? 4 解得: ? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3
x

∴所给函数的定义域为 {x | x ? 4且x ? 3} 。

例 3、求函数 y ? ( x ? 1) ? log( x?2) x 的定义域。

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? x ?1 ? 1 ?x?0 ? ? ? ? 解:? ? x ? 2 ? 0 解得: ? x ? 2 ∴所给函数的定义域为 {x | x ? 2且x ? 3} 。 ?x ? 2 ?1 ?x?3 ? ? ? ? x ? 0 ? ?x?0
17

例 4、设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它的面积关于 x 的函数的解析式,并写出定义域. 解:由题意知,另一边长为 所以 s=

80 ? 2 x ,且边长为正数,所以 0<x<40. 2
(0<x<40)

80 ? 2 x ? x = (40-x)x 2

练习: 1.函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( A. {x | x ? 1} 2.函数 y ?
3.函数 y ?

D

) C. {x | x ? 1或x ? 0} 。 D. {x | 0 ? x ? 1}

B. {x | x ? 0}
x?2 的定义域 x2 ? 4

?x | x ? ?2?

x ? 8 ? 3 ? x 的定义域为 ? ?8,3?
x2 ?1 ? 1? x2 的定义域为 ??1? x ?1
[4, ??)

4.函数 y ?

5.函数 f ( x) ? 2x?4 ?1 的定义域为 6.函数 f(x)=
3x 2 1? x
3

+lg(3x+1)的定义域是 B.(- 1 , 1 )
3 3



C ) C.(- 1 ,1)
3

A.(-∞,- 1 ) 7.函数 y ?

D.(- 1 ,+∞)
3

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

2

的定义域是____(答: (0, 2) (2,3) (3, 4) );

8.若函数 y ?

kx ? 7 ? 3? 的定义域为 R,则 k ? _______(答: ?0, ? ); kx ? 4kx ? 3 ? 4?

9.函数 f ( x) 的定义域是 [a, b] , b ? ? a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是(答: [a, ?a] ); 复合函数的定义域:若已知 f ( x) 的定义域为 [a , b ] , 其复合函数 f [ g ( x)]的定义域由不等式
a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相当于当 x ? [a, b]

时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 。 如 1.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) ? A. [0,1] B. [0,1)
f (2 x) 的定义域是(B) x ?1

C. [0,1) (1,4]
18

D. (0,1)

2.若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________(答:[1,5]) .

?1 ? 3.若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为___(答: x | 2 ? x ? 4 ) ; ?2 ?
四.求函数值域(最值) : (1)基本函数的值域 一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R.
? 4ac ? b 2 ? ? 4ac ? b 2 ? , ?? ? , 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? , 当 a ? 0 时为 ? 当 a ? 0 时为 ? ??, ?. 4a ? ? 4a ? ?

?

?

反比例函数 y ?

k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x

指数函数 y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y y ? 0? . 对数函数 y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 如: 1.函数 y ? 16 ? 4x 的值域是 (A) [0, ??) (B) [0, 4] C (C) [0, 4) (D) (0, 4)

2.函数 f ? x ? ? log 2 ? 3x ? 1? 的值域为 A A.

?0, ???

B.

? ?0, ?? ?

C.

?1, ???

D. ? ?1, ?? ? (答:2)

3.若函数 y ?

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2

(2) 二次函数的值域: (二次函数在给出区间上的最值有两类: 一是求闭区间 [m, n] 上的最值; 二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合, 注意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系) , 如 1.函数 y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 (配方法)
1 23 23 23 y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? ,∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ , ?? ) 6 12 12 12

2.求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域(答:[4,8]) ;
19

3.求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] ) [?3,5] 4.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值。 解:对称轴 x ? 1 , ?1,3? 是 f ( x) 的递增区间,

f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5 f ( x)min ? f (1) ? 2,即? a ? b ? 3 ? 2,

?3a ? b ? 2 3 1 ∴? 得a ? , b ? . 4 4 ??a ? b ? ?1
5.若函数 y ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ? A. ?0,4?
3 B. [ , 4 ] 2

3 3] C. [ , 2

25 , ? 4] ,则 m 的取值范围是( C 4 3 ? ?) D. [ , 2



(3)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数 解析式含有根式或三角函数公式模型,运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围。 如 1.函数 y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的值域为
[0, 2]

2.函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域 (??,1]



3.函数 y ? 2x ?1 ? x ?1 的值域为_____(答: [3, ??) ) (令 x ?1 ? t , t ? 0 。 4.求函数 y ?
3x 的值域 ? 01? 3x ? 1

(5) 单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性, 如
1 80 1.函数 y ? x ? (1 ? x ? 9) 的值域= (0, ) x 9
1 2..函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域 (??, ] 2

1 3.函数 y ? 1 ? 2x ? x 的值域= [? , ??) 2

(5)直接法 1.函数 y ?
3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} x?2

2.求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。
20

? 2, ?? ?

?

3.求函数 y ? x 2 ? 6 x ? 10 的值域。 五.函数解析式:

?1, ???

( 1 ) 待 定 系数 法 ――已知所求函数的类 型(二次函数的表达 形式有三种:一般式 :

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ;顶点式: f ( x) ? a( x ? m)2 ? n ;零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,要会根
据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式) 。 如 1.已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; 解;设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 ,∴ a ? 2 ,b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 。 2.若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2,0), B(4,0) ,且函数的最大值为 9 , 则这个二次函数的表达式是
y ? ?( x ? 2)( x ? 4)



设 y ? a( x ? 2)( x ? 4) ,对称轴 x ? 1 , 当 x ? 1 时, ymax ? ?9a ? 9, a ? ?1

3.已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式 。(答: f ( x) ?
1 2 x ? 2 x ? 1) 2

4.已知 a , b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24, 则求 5a ? b 的值 解: f (ax ? b) ? (ax ? b)2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? x2 ? 10x ? 24,

a2 x2? ( 2 a b ?4 a ) ? x

2

b? 4 ? b 3 ? 2 x ?1 0 x ? 24,

?a 2 ? 1 ?a ? 1 ?a ? ?1 ? ∴ ?2ab ? 4a ? 10 得 ? ,或 ? ∴ 5a ? b ? 2 。 ?b ? ?7 ?b 2 ? 4b ? 3 ? 24 ?b ? 3 ?

(2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。 如:
2 1.已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x
21

2 2 2 2 解: ( 令 ?1 ? t ( t ? 1) ,则 x ? ,∴ f (t ) ? lg , f ( x) ? lg x t ?1 t ?1 x ?1 1 1 2.若 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____(答: x 2 ? 2 x ? 3 ) ; x x

( x ? 1) 。

3.若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? (0,??) 时,f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 那么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =________(答: x(1 ? 3 x ) ). (3)方程的思想――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等 式的进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。 如
1 1.已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 。 x 1 解: 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ①, x 1 1 3 3 1 把①中的 x 换成 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? ②,① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? ,∴ f ( x ) ? 2 x ? 。 x x x x x 2 2.已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式(答: f ( x) ? ?3 x ? ) ; 3 x 1 3.已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) = ,则 f ( x) = (答: 2 )。 x ?1 x ?1

(4)利用奇偶性求解析式 如: 1. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 , 那 么 x ? 0 时 , f ( x) ?

? x2 ? x ? 1

.

2.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且
f ( x) ? g ( x) ? 1 ,求 f ( x) 和 g ( x) 的解析式. x ?1

解:∵ f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)
1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ?x ?1 1 1 ?? 即 f ( x) ? g ( x) ? , ?x ?1 x ?1 1 x ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2 。 x ?1 x ?1

而 f ( x) ? g ( x) ?

22

六.分段函数 分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系 的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断 x0 属于定义 域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系 式的取值范围的并集。 如:
? x ? 2( x ? ?1) ? 1.已知 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?

D



A. 1

B. 1 或

3 2

C. 1 ,

3 或? 3 2

D. 3 )

2 ? x ≤1, ?1 ? x , 2.设函数 f ( x) ? ? 2 则 ? ? x ? x ? 2,x ? 1,

? 1 ? f? ? 的值为( A ? f (2) ?
D. 18 B )

A.

15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

? x ? 2, ( x ? 10) 3.设 f ( x) ? ? 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 B

f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ? 11 。
C )

2 ? ?2 x ? x (0 ? x ? 3) 4.函数 f ( x) ? ? 2 的值域是( ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0)

A. R

B. ? ?9, ?? ?

C. ??8,1?

D. ??9,1?

2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) 5.设函数 f ( x) ? ? ,则 f ( x) ? 1 的解是___ (答: (??, ?2] [0,10] ) ; 4 ? x ? 1.( x ? 1) ? ?

?1 , x?0 ? ?x 6.若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

1 则不等式 | f ( x) |? 的解集为________ ??3,1? .____. 3

本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x ? 0 1 ? (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . 3 ? ? ?x 3

23

?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? x x (2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . ? 3 ?? ? ?? ? ? 3 ? ?3? 3 ??3? 1 ∴不等式 | f ( x) |? 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1? ,∴应填 ??3,1? . 3

?1, x ? 0 7.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ?? 1, x ? 0
3 解: (??, ] 2

3 当 x ? 2 ? 0,即x ? ?2, f ( x ? 2) ? 1, 则x ? x ? 2 ? 5, ?2 ? x ? , 2

当 x ? 2 ? 0,即x ? ?2, f ( x ? 2) ? ?1, 则x ? x ? 2 ? 5, 恒成立,即x ? ?2 ∴ x ? 七. 反函数:

3 ; 2

反函数的性质:反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域。函 数 y ? f ( x) 的图象与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,
x 如:若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? log2 x ( a>0,且a ? 1 )

八.函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性 时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 如:
1 1.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 [a ? 1, 2a] .则 a ? _ ___, b ? 3

0

2.下列判断正确的是(

C

) B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

x 2 ? 2x A.函数 f ( x) ? 是奇函数 x?2

1? x 是偶函数 1? x

C.函数 f ( x) ? x ? x 2 ? 1 是非奇非偶函数

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数

(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶 性) : ①定义法:

24

②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或

f (? x) 。 ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 如 1.判断函数 y ?
| x ? 4 | ?4 9 ? x2

的奇偶性____(答:奇函数) 。 奇函数

2.函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1) 的奇偶性为 3.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?
1 ? x2 x?2 ?2

(2) f ( x) ? 0, x ???6, ?2?

?2,6?
1 ? x2 , x

解: (1)定义域为 ??1,0?

? 0,1? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , f ( x) ?
1 ? x2 为奇函数。 x

∵ f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) ?

(2)∵ f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数。 4.判断 f ( x) ? x(
1 1 ? ) 的奇偶性___.(答:偶函数) 2 ?1 2
x

(3)函数奇偶性的性质及应用 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . ④若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充 分也不必要条件。 ⑤复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. 如 1.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A ) )

2.设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( A.奇函数 B.偶函数
25

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数。

3 . 奇 函 数 f ( x) 在 区 间 [ 3, 7 ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [3, 6] 上 的 最 大 值 为 8 , 最 小 值 为 ?1 , 则
2 f (? 6)? f ? ( 3) ? ___ ?15 ___。

4.已知 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 其中 a , b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) 的值等于( D A. ?2 B. ? 4 C. ?6 D. ?10

)

6.若函数 f ( x) ?

x?a x 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x) 的解析式为____ f ( x) ? 2 ____. x ? bx ? 1 x ?1
2

7.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ??0, ??? 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) ? ________

x(1 ? 3 x ) _____________。

1 8.若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数, 且 f ( ) =2, 则不等式 f (log1 x) ? 2 的解 3 8

集为______.(答: (0,0.5) (2, ??) )
a · 2x ? a ? 2 9.若 f ( x) ? 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1

10..若 f ( x) ? 解析

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x



1 2

解法 1 f (? x) ?

1 2x ? a ? ? a, f ( ? x ) ? ? f ( x ) 2? x ? 1 1 ? 2x

2x 1 1 2x 1 ? ? a ? ?( x ? a ) ? 2a ? ? ? 1故a ? x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2

11.已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) .若 f (a) ? ?2 ,则实数

a?

. ?1

1 12. 已 知 偶 函 数 f ( x) 在区间 ?0,?? )单调增加,则满足 f ( 2x ? 1)< f ( ) 的 x 取值范 围 是 3

(

A

)
1 2 B.[ , ) 3 3

1 2 (A) ( , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

D.[

1 2 , ) 2 3

13. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则

26

x ? (0, ??) 时 f ( x) ?

-x-x4.

f ( x) ? f (? x) G ( x) ? 14.设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , 。 ①判断 F ( x) 2 2

与 G ( x) 的奇偶性; ②若将函数 f ( x) ? lg(10x ? 1) ,表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x)
1 之和,则 g ( x) =____(答:① F ( x) 为偶函数, G ( x) 为奇函数;② g ( x) = x ) 2

10.函数的单调性。 (1)判断函数的单调性的常用方法: ①定义法(取值――作差――变形――定号)
2 图象法 ○

如:1.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是(
3 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2 3 B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 3 D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2

D )

2.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ?
1 x

A ) D. y ? ? x 2 ? 4

3.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是
? x 2 ? 4 x, 4.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x , x?0 x?0

?0, ???
( C

. )

若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

A (??, ?1) ? (2, ??)

B (?1, 2)

5.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则 ( D ) B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10?

A. f ?6? ? f ?7?

6.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 ______(答: a ? ?3 ));
ax ? 1 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数, 则实数 a 的取值范围__ (答:( , ??) ) ; x?2 2 8.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5? .① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值;

7.已知函数 f ( x) ?

② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。
27

解: (1)a ? ?1, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37 ∴ f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1 (2)对称轴 x ? ?a, 当 ?a ? ?5 或 ? a ? 5 时, f ( x) 在 ? ?5,5? 上单调∴ a ? 5 或 a ? ?5 。 ④已知函数的单调性 如:1.下列函数中,在区间 (??, 0) 上是增函数的是( B A y ? x 2 ? 4x ? 8 2.若函数 f ( x) ? B y ? log1 (? x) C y ? ?
2



2 x ?1

D ( A

y ? 1? x


1 ,则该函数在 (?? ,?? ) 上是 2 ?1
x

A.单调递减;无最小值 C.单调递增;无最大值 3.若函数 f ( x) ?

B.单调递减;有最小值 D.单调递增;有最大值
(??, 0)

a 在 (0,??) 上为增函数,则 a 的取值范围是 x

⑤复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减, 如函数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x 的单调递增区间是________(答:(1,2))。
2

?

?

(2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符 号“ ”和“或”只能用“和”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示. 如 1.函数 y ? log 1 (2 x2 ? 3x ? 1) 的递减区间为
2

( C.(

B

)

1 1 ,+ ? ) D.(- ? , ] 2 2 1 1 2.函数 f ( x) ? x 2 ? x 的单调递减区间是_____ (??, ? ]和[0, ] _______________。 2 2

A.(1,+ ? )

B.(- ? ,

3 ] 4

(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗? (①求值域;②解不等式;③求参数范围;④比较大小). 如:1.函数 y ? x ? 1 ? x ?1 的值域为( C A. ? ?, 2 ) D. ?0,???

?

?

B. 0, 2

?

?

C.

? 2,???

2.函数 f ( x) ?

4 ( x ? [3, 6]) 的值域为____ ?1, 4? ________。 x?2

3.若函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( A. ? ??, 40? B. [40,64] C. ? ??, 40?
28

C



?64, ???

D. ?64, ???

4.已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 3

A )

5.下列四个命题:(1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f ( x) 是增函数;(2) 若函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 与 x 轴没有交点, 则 b2 ? 8a ? 0 且 a ? 0 ; (3) y ? x2 ? 2 x ? 3 的递增区间为

?1, ??? ;(4)
A. 0 6.已知 a ?
a?

y ? 1 ? x 和 y ? (1 ? x) 2 表示相等函数。其中正确命题的个数是(

A )

B. 1

C. 2

D. 3

5 ?1 ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的大小关系为 2

5 ?1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n) 得:m<n 2
0?m? 1 。 4

7.若函数 y ? mx2 ? x ? 5 在 ? ?2, ??) 上是增函数,则 m 的取值范围是___

8.若函数 f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为_____ (1, 2) _____。 9.已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值 范围。(答: ?
1 2 ?m? ) 2 3

3 5 10.若 f ( x) 是偶函数,其定义域为 ?? ?,??? ,且在 ?0,??? 上是减函数,则 f (? )与f (a 2 ? 2a ? ) 2 2

的大小关系是(



C

3 3 5 5 A. f ( ? ) > f (a 2 ? 2a ? ) B. f ( ? ) < f (a 2 ? 2a ? ) 2 2 2 2 3 3 5 5 C. f ( ? ) ? f ( a 2 ? 2 a ? ) D. f ( ? ) ? f (a 2 ? 2a ? ) 2 2 2 2 5 3 3 3 3 5 a 2 ? 2a ? ? (a ? 1) 2 ? ? , f (? ) ? f ( ) ? f (a 2 ? 2a ? ) 2 2 2 2 2 2

11.设 f ( x) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是( D ) A. ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ?x | x ? ?3或x ? 3? B. ?x | x ? ?3或0 ? x ? 3? D. ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3? ) D. ?0,???
( 1 ,?? ) 2

12.函数 y ? x ? 1 ? x ?1 的值域为( B A. ? ?, 2 13.若 f ( x) ?

?

?

B. 0, 2

?

?

C.

? 2,???
29

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2



11.指数式,指数函数: (1)根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的

n 次方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次
方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当 n 为奇数时,a 为任意实数; 当 n 为偶数时, a ? 0 . ③ 根 式 的 性 质 : ( n a )n ? a ; 当 n 为 奇 数 时 ,
n

n

an ? a ; 当 n 为 偶 数 时 ,

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a ? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂 等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a
? m n

m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负分 a a

数指数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) (4)指数函数 函数 名称 定义 图象
y

② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)

指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
a ?1
y ? ax y ? ax

0 ? a ?1
y

y?1
(0,1)

y?1
30

(0,1)

O

1

x 0

O

1

x 0

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在 R 上是增函数

R

(0, ??)

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对图象的 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图
影响 例:
n 1.求下列各式的值: (1) n ( n ? 1, 且n ? N * ) ; (3 ? ?)

象越低.

(2) ( x ? y)2 .

n n 解: (1)当 n 为奇数时, n (3 ? ?) ? 3 ? ? ; 当 n 为偶数时, n (3 ? ?) ?| 3 ? ? |? ? ? 3 .

(2) ( x ? y)2 ?| x ? y | . 2.已知 a 2n ? 2 ? 1 ,求 解:

当 x ? y 时, ( x ? y)2 ? x ? y ;当 x ? y 时, ( x ? y)2 ? y ? x .

a3n ? a ?3n 的值. an ? a?n

a 3n ? a ?3n (a n ? a ? n )(a 2 n ? 1 ? a ?2 n ) 1 ? ? a 2 n ? 1 ? a ?2 n ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 ?1. n ?n n ?n a ?a a ?a 2 ?1

31

3.化简: (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; (2)

2

1

1

1

1

5

a 3b 2 3 ab 2 (a 4 b 2 )4 ? 3
1 1

b a

(a>0,b>0) ; (3) 81? 9 3 .

4

2

解: (1)原式= [2 ? (?6) ? (?3)]a 3 (2)原式=
a 2 b ? [(ab2 ) 3 ]2 ab2 ? (b / a)
4

2 1 1 ? ? 2 6

b2
1

1 1 5 ? ? 3 6

? 4ab0 ? 4a .
4

3

1 1

1 3

=

a 2 b ? a 6 b3 a b
2 3 7 3

3

1

10

=
1 2

a 6 b3 a b
2 3 7 3

= .
2
2 1 1 2 1 1

a b

(3)原式= 34 ? [(32 ) 3 ]2 ? 34 ? 33

2 1

4

2

?2?

? 34 ? 33 ? (34 ? 33 ) 4 ? (34 ) 4 ? (33 ) 4 ? 3 ? 36 ? 3 6 3 .

4

点评:根式化分数指数幂时,切记不能混淆,注意将根指数化为分母,幂指数化为分子, 根号的嵌套,化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质,是复杂根式化简的关键. 4.化简与求值: (1) 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ; (2)
1 1? 3 ? 1 3? 5 ? 1 5? 7 ? ??? ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1

.

解: (1)原式= 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) 2 = (2 ? 2)2 ? (2 ? 2)2 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 =4. (2)原式=
3 ?1 5? 3 7? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? ??? ? 3 ?1 5?3 7?5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

= ( 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 5 ? ??? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1) = ( 2n ? 1 ? 1) . 点评:形如 A ? B 的双重根式,当 A2 ? B 是一个平方数时,则能通过配方法去掉双重根 号,这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中,常常用到的是平方差公式,第 2 小题也体现了一种消去法的思想. 第(1)小题还可用平方法,即先算得原式的平方,再开方 而得. 5.已知 f ( x) ?
2x ? 1 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; 2x ? 1

1 2

1 2

(2)讨论 f ( x) 的单调性.

解: (1) f ( x) 的定义域为 R. ∵ f (? x) ?
2? x ? 1 (2? x ? 1) 2 x 1 ? 2 x 2x ? 1 ? ? ? ? ? ? f ( x) . 2? x ? 1 (2? x ? 1) 2 x 1 ? 2 x 2x ? 1

∴ f ( x) 为奇函数. (2)设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? ? . 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
32

由于 x1 ? x2 ,从而 2x ? 2x ,即 2 x ? 2 x ? 0 .
1 2

1

2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

∴ f ( x) 为增函数.

点评:在这里,奇偶性与单调性的判别,都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理 解两个定义,掌握其运用的基本模式,并能熟练的进行代数变形,得到理想中的结果. 练习:

? ? 1 1.已知集合 M ? ?? 1,1?, N ? ? x ? Z ? 2 x ?1 ? 4? ,则 M ? N ? (B) 2 ? ?
A. ?? 1,1? B. ?? 1? C. ?0?
? 1 2

D. ?? 1,0? D ) D. {x | 2 ? x ? 5或x ? 5} ) D. 9 a 2 )

2.函数 y ? ( x ? 5) 0 ? ( x ? 2)

的定义域为(

A. {x | x ? 5, x ? 2} B. {x | x ? 2}
2 3 1 2 1 2 1 3 1 5

C. {x | x ? 5} C

1 3.化简 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果是( 3

A. 6a

B. ? a

C. ? 9 a

4.函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点( D A.(0,1) B.(1,1) C. (2, 0) D )

D. (2,2)

5.三个数 0.76, 60.7, log0.7 6 的大小关系为(

A. 0.76 ? log0.7 6 ? 60.7 B. 0.76 ? 60.7 ? log0.7 6 C. log0.7 6 ? 60.7 ? 0.76 D. log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7 6.设指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ,则下列等式中不正确的是 A.f(x+y)=f(x)·f(y) C. f (nx) ? [ f ( x)]n
? B. f(x ? y) f ( x) f ( y)

( D



(n ? Q)

D. f ( xy) n ? [ f ( x)]n · [ f ( y)]n

(n ? N ? )


7.若指数函数 y ? a x 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于 ( D A.
1? 5 2

B.

?1? 5 2

C. )

1? 5 2

D.

5 ?1 2

8.函数 f ( x) ? 2 ?|x| 的值域是( A A. (0,1] B. (0,1)

C. (0,??)
33

D.R

?2 ? x ? 1, x ? 0 ? 9.函数 f ( x) ? ? 1 ,满足 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围( 2 ? ?x , x ? 0

D



A. (?1,1)

B. (?1,??)

C. {x | x ? 0或x ? ?2}

D. {x | x ? 1或x ? ?1}

10.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( D ) A. 3 ln x B. 3ln x ? 4 C. 3e x D. 3e x ? 4

11. 2, 3 2, 5 4, 8 8, 9 16 从小到大的排列顺序是 3 2 ? 8 8 ? 5 4 ? 9 16 ? 2 。 13.化简
810 ? 410 230 ? 220 220 (1 ? 210 ) 810 ? 410 ? ? ? 28 ? 16 。 的值等于 84 ? 411 212 ? 222 212 (1 ? 210 ) 8 4 ? 411

14.计算 1 ? lg 0.001 ? lg 2

1 ? 4 lg 3 ? 4 ? lg 6 ? lg 0.02 的值。 3

解:原式 ? 1? 3 ? lg3 ? 2 ? lg300 ? 2 ? 2 ? lg3 ? lg3 ? 2 ? 6 15.方程 3 x ?1 ?
1 的解是 9
x ? ?1 .

16.方程 9 x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是

log3 7 .
a , 则 a 的值为 2 1 3 或 2 2

17.函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[1, 2]中的最大值比最小值大

.

1 2 18.求函数 y ? ( ) x ? 4 x , x ? [0,5) 的值域。 3 1 1 1 1 ? y ? 81 ,即值域为 ( ,81] 。 令 u ? x2 ? 4x, x ?[0,5) ,则 ?4 ? u ? 5 , ( )5 ? y ? ( ) ?4 , 3 3 243 243
19.解方程: (1) 9
?x

? 2 ? 31? x ? 27

(2) 6 ? 4 ? 9
x x

x

解: (1) (3? x )2 ? 6 ? 3? x ? 27 ? 0,(3? x ? 3)(3? x ? 9) ? 0, 而3? x ? 3 ? 0

3? x ? 9 ? 0,3? x ? 32 , x ? ?2
(2) ( ) ? ( ) ? 1, ( )
x x

2 3

4 9

2 3

2x

2 ? ( ) x ?1 ? 0 3

2 2 ( )x ? 0则 , (x ? ) 3 3

5 ? 1 ?x ,? 2

2 3

log

? 5 1 2

1 1 20.已知 9x ? 10 ? 3x ? 9 ? 0 ,求函数 y ? ( ) x ?1 ? 4( ) x ? 2 的最大值和最小值. 4 2

解:由 9x ? 10 ? 3x ? 9 ? 0 得 (3x ?1)(3x ? 9) ? 0 ,解得 1 ? 3x ? 9 .∴0≤x≤2.令( )x=t,则 ≤t ≤1,y=4t2-4t+2=4(t- )2+1.当 t= 即 x=1 时,ymin=1;当 t=1 即 x=0 时,ymax=2.
34

1 2

1 4

1 2

1 2

12.对数、对数函数 (1)对数的定义 ①若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) , 则 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 x ? log a N , 其中 a 叫做底数,
N 叫做真数.

②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式: loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , loga ab ? b . (3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 ?) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ① 加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ② 减法: log a M ? log a N ? log a ③ 数乘: n loga M ? loga M n (n ? R) ⑤ log ab M n ? (5)对数函数 名称 定义 图象 对数函数 函数 y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
a ?1 0 ? a ?1

M N

④ a loga N ? N ⑥换底公式: log a N ?
logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

n log a M (b ? 0, n ? R) b

35

y

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

(0, ??)
R

图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

函数值的 变化情况

a 变化对图象的
影响 例:

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越 大图象越靠高.

1.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1) 2?7 ?
1 ; 128

(2) 3a ? 27 ;

(3) 10?1 ? 0.1 ;

(4) log 1 32 ? ?5 ; (5) lg 0.001 ? ?3 ; (6)ln100=4.606.
2

解: (1) log2
1 2

1 ? ?7 ; 128

(2) log3 27 ? a ; (5) 10?3 ? 0.001 ;

(3) lg 0.1 ? ?1 ; (6) e4.606 ? 100 . (3) ln e .

(4) ( )?5 ? 32 ;

2.计算下列各式的值: (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ;

解: (1)设 lg 0.001 ? x ,则 10 x ? 0.001 ,即 10 x ? 10?3 ,解得 x ? ?3 . 所以, lg 0.001 ? ?3 .
36

(2)设 log 4 8 ? x ,则 4 x ? 8 ,即 22 x ? 23 ,解得 x ? . 所以, log 4 8 ? . (3)设 ln e ? x ,则 e x ? e ,即 e x ? e 2 ,解得 x ? . 所以, ln e ? . 3.化简与求值: (1) (lg 2)2 ? lg 2 lg5 ? (lg 2)2 ? lg 2 ? 1 ; (2) log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 ) . 解: (1)原式= ( lg 2)2 ? lg 2 lg5 ? (lg 2 ? 1)2 = lg2 2 ? lg 2 lg5 ? (lg 2 ? 1) = lg2 2 ? lg 2 lg5 ? lg 2 ? 1 = lg 2(lg 2 ? 2lg5 ? 2) ? 1 = lg 2(lg100 ? 2) ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 . (2)原式= log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 )
1 2
2? 1 2
1

3 2

3 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 4

1 2

1 4

1 2

1 2

1 4

1 4

= log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 )2
1 2

1 2

= log2 (4 ? 7 ? 4 ? 7 ? 2 42 ? 7) = log2 14 . 4.若 2a ? 5b ? 10 ,则 ? =
0 ? 解: 由 2a ?5 b 1

1 a

1 b

.

(教材 P83 B 组 2 题)
b ? log5 10 . 则 ,
1 1 1 1 ? ? ? ? lg 2 ? g 5 ? lg10 ? 1 . a b log 2 10 log 5 10

g l1 02 , 得 a ?o

5.(1)方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x=________; (2)设 x1 , x2 是方程 lg2 x ? a lg x ? b ? 0 的两个根,则 x1 x2 的值是 解: (1)由 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 ,得 lg[ x( x ? 3)] ? lg10 , 即 x( x ? 3) ? 10 ,整理为 x 2 ? 3x ? 10 ? 0 .解得 x=-5 或 x=2. ∵ x>0, ∴ x=2. .

(2)设 lg x ? t ,则原方程化为 t 2 ? at ? b ? 0 ,其两根为 t1 ? lg x1 , t2 ? lg x2 . 由 t1 ? t2 ? lg x1 ? lg x2 ? lg( x1 x2 ) ? b ? lg10b ,得到 x1 x2 ? 10b . 点评:同底法是解简单对数方程的法宝,化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第 2 小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系. 6.(1)化简:
1 1 1 ? ? ; log 5 7 log 3 7 log 2 7

(2)设 log2 3 log3 4 log4 5 ??? log2005 2006 log 2006 m ? 4 ,求实数 m 的值. 解: (1)原式= log7 5 ? log7 3 ? log7 2 ? log7 (5 ? 3 ? 2) ? log7 30 . (2)原式左边= log 2 3
log 2 4 log 2 5 log 2 2006 log 2 m ??? ? log 2 m , log 2 3 log 2 4 log 2 2005 log 2 2006

∴ log2 m ? 4 ? log2 24 ,

解得 m ? 16 .

点评:换底时,一般情况下可以换为任意的底数,但习惯于化为常用对数. 换底之后,注 意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.
37

练习: 1.
log 27 16 的值是 log3 4
2

2 3

2. log2 25 log3 4 log5 9 的值为________(答:8);
1 ) 64

1 log 3. ( ) 2

8

的值为________(答:

4.计算: (log 2 5) 2 ? 4 log 2 5 ? 4 ? log 2 2

1 = 5

-2
1 4



5. (lg 2) 2 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 的值= 7.函数 y ? log 1 (2 ? x 2 ) 的定义域是
2

.6、 (log2 5 ? log4 0.2)(log5 2 ? log25 0.5)

(? 2, ?1] [1, 2)
ex ? 1 , e x ? 1 ? y ? 0, ?1 ? y ? 1 x e ?1 1? y
?
5

8.函数 y ?

ex ? 1 的值域是__________. ex ? 1

(?1,1)

y?

9.计算:

?

3? 2

?

2 log ?

3? 2

?

5

?
lg 5

3? 2

?

2log

?

3? 2

?

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?5

?

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?5

1

?

1 5

10. f (10x ) ? x, 则f (5) ?
11.已知函数 f ( x) ? lg A. b B. ?b

1? x .若f (a ) ? b.则f (?a ) ? ( B ) 1? x 1 1 C. D. ? b b


12.函数 f ( x) ? loga x ?1 在 (0,1) 上递减,那么 f ( x ) 在 (1, ??) 上( A

A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值

13.函数 y ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2

D



2 A. [1, ??) B. ( , ??) 3

2 C. [ ,1] 3

2 D. ( ,1] 3

14.函数 y ? lg x ( B

) B 是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递减 D.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递减
1 ,则 a ?( 2

A.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递增. C.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增

15.设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 A. 2 B.2 C. 2 2 D.4

D



16.若函数 y ? (log1 a) x 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是( A
2



38

1 A. (0, ) 2

1 B. ( ,1) 2

1 C. ( ,?? ) 2

D. (1,??) B ) D. ?
1 9

?3 x ( x ? 0) 1 17.已知 函数 f ( x) ? ? ,那么 f [ f ( )] 的值为( 4 ?log2 x( x ? 0)
1 C. ? 9 9 18.函数 y ? log 1 ( x2 ? 6x ? 17) 的值域是 (??, ?3]

A. 9

B.

2

提示:令 t ? x ? 6x ? 17 ? ( x ? 3)2 ? 8 ? 8 , y ? log 1 t , log 1 t ? log 1 8 ? ?3 .
2
2 2 2

19.已知函数 f ( x) = ?

?log 2 x( x ? 0) ,若 x ? 2 , ( x ? 0)

f(a)= 2 , a =

1

.

-1 或 2

20.求不等式 loga (2 x ? 7) ? loga (4 x ? 1) (a ? 0, 且a ? 1) 中 x 的取值范围. 解:当 a ? 1 时,原不等式化为 ?4 x ? 1 ? 0
2x ? 7 ? 0 ? ? ? ?2 x ? 7 ? 4 x ? 1
2x ? 7 ? 0 ? ? ? ?2 x ? 7 ? 4 x ? 1

,解得 ? x ? 4 .

1 4

当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 ?4 x ? 1 ? 0
1 4

,解得 x ? 4 .

所以,当 a ? 1 时,x 的取值范围为 ( , 4) ;当 0 ? a ? 1 时,x 的取值范围为 (4, ??) .
1 x ,求函数 f ( x) ? log2 ? log 2 2

x 21.已知 2 ? 256且 log 2 x ?

2

x 的最大值和最小值. 2

1 ? log 2 x ? 3 2 3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2x ? ) 2 ? . 2 4 3 1 当 log 2 x ? , f ( x) min ? ? ,当 log 2 x ? 3, f ( x)max ? 2 2 4 13. 指数、对数值的大小比较 : (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)
解:由 2 ? 256 得 x ? 8 , log2 x ? 3 即
x

利用中间量(0 或 1) ; (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。 14.幂函数 (1)幂函数的定义 (2)幂函数的图象 一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

39

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时, 图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象 关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ?? ) 上为增函数.如果 ? ? 0 , 则幂函数的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴.
q ④奇偶性: 当 ? 为奇数时, 幂函数为奇函数, 当 ? 为偶数时, 幂函数为偶函数. 当 ? ? (其 p
q

中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶 数时,则 y ? x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数 y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方, 若 x ?1, 其图象在直线 y ? x 上方, 当 ? ? 1 时, 若 0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 上方, 若 x ?1, 其图象在直线 y ? x 下方. 例: 1.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (27,3) ,试讨论其单调性. 解:设 y ? x? ,代入点 (27,3) ,得 3 ? 27? ,解得 ? ? ,所以 y ? x 3 ,在 R 上单调递增. 2.已知幂函数 y ? xm?6 (m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且
y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.
q p q p

1 3

1

解:∵ 幂函数图象与 x 、 y 轴都没有公共点,∴ m ? 6 ? 0 ,解得 2 ? m ? 6 .
40

?2 ? m ? 0

又 ∵ y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称, ∴

m ? 2 为偶数,即得 m ? 4 .
4

3.幂函数 f ( x ) 的图象过点 (3, 4 27) ,则 f ( x) 的解析式是__ f ( x) ? 4.函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) xm 5. y ? x a
2
2

x3 ___________。

?2 m?3

是幂函数,且在 x ? (0, ??) 上是减函数,则实数 m ? ___2___ .

?4 a ?9

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是

1,3,5 或 ?1

a 2 ? 4a ? 9 应 为 负 偶 数 , 即 a2 ? 4a ? 9 ? (a ? 2)2 ?13 ? ?2k ,(k ? N * ) ,

(a ? 2)2 ? 13 ? 2k , 当 k ? 2 时, a ? 5 或 ?1 ;当 k ? 6 时, a ? 3 或 1
15.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ③两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ? 点坐标是 (?
b 4ac ? b2 , ). 2a 4a
b b ] 上递减,在 [? , ??) 上递增,当 2a 2a b ,顶 2a

②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0)

②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

b b 4ac ? b2 x?? 时, f min ( x) ? ;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? ] 上递增, 2a 2a 4a

在 [?

b b 4ac ? b2 , ??) 上递减,当 x ? ? 时, f max ( x) ? . 2a 2a 4a

③二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?

? . |a|
41

例:函数 f ( x) ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ?0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值。 当 a ? 0, ?0,1? 是 f ( x ) 的递减区间, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2 ? a ? ?1 ; 当 a ? 1, ?0,1? 是 f ( x ) 的递增区间, f ( x)max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2 ;
2 当 0 ? a ? 1 时 f ( x)max ? f (a) ? a ? a ? 1 ? 2, a ?

1? 5 , 与 0 ? a ? 1 矛盾;所以 a ? ?1 或 2 。 2

16.函数与方程 1. 函数零点的概念:对于函数 y ? f (x)(x ? D) , 我们把使 f (x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f (x) 的 零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零。 (2)函数的零点也就是函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标。 (3)一般我们只讨论函数的实数零点。 (4)求零点就是求方程 f (x) ? 0 的实数根。 2.函数零点的判断 如果函数 y ? f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么, 函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 x0 ? (a, b) ,使得 f (x0) ? 0 ,这个 x0 也就是方程
f (x) ? 0 的根。但要注意:如果函数 y ? f (x) 在 [a, b] 上的图象是连续不断的曲线,且 x0 是函数

在这个区间上的一个零点,却不一定有 f (a) ? f (b) ? 0. 3.函数零点与方程的根的关系 根据函数零点的定义可知:函数 f (x) 的零点,就是方程 f (x) ? 0 的根,因此判断一个函 数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 f (x) ? 0 是否有实数根,有几个实数根。 函数零点的求法:解方程 f (x) ? 0 ,所得实数根就是 f (x) 的零点。 4.函数零点具有的性质 注意:①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的,若方程 f (x) ? 0 没有实数根,则 函数 f (x) 没有零点。 5、二分法,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步副近
42

零点,进而得到零点近似值的方法。 用二分法求函数零点近似值时,最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区 间中点的函数值等列在一个表格中,这样可以更清楚地发现零点所在的区间。 6.用二分法求函数零点的近似值的探究 在应用二分法求函数的变号零点的近似值 x0 时,从精确度出发,确定需经过多次取区间 [a, b] 的中点找到零点的近似值,使其达到精确度的要求。注意:这里指的精确度是指区间 [a, b] 的 长度。 练习: 1.函数 y ? x 3 ( A ) A.是奇函数,且在 R 上是单调增函数 B.是奇函数,且在 R 上是单调减函数 C.是偶函数,且在 R 上是单调增函数 D.是偶函数,且在 R 上是单调减函数 2.函数 f (x) ? ln x ? A. (1,2)
2 的零点所在的大致区间是( B ) x 1 B. (2,3) C. (1, ) 和 (3,4) e

D. (e,??)

3.函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1] B. [1, 2] C. [2,3] )

B ) D. [3, 4]

4.求 f ( x) ? 2 x3 ? x ?1 零点的个数为 ( A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.函数 f (x) ? x3 ? x2 ? x ? 1 在 [0,2] 上( C ) A.有三个零点 B.有两个零点 C.有一个零点 D.没有零点

6.已知方程 2x ?1 ? 5 ? x ,则该方程的解会落在区间( C )内。 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

7.若函数 f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? _4_____。 8 . 设 f ?x? ? 3x ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( B )
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) 2
43

D.不能确定 。

9.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为

10.函数 f(x)= 2 x ? 3x 的零点所在的一个区间是( B ) (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 11.求函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D ) C )

12.如果二次函数 y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. ?? 2,6? B. ?? 2,6? C. ?? 2,6? D. ? ??, ?2?

?6, ???

13.用“二分法”求方程 x 3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么下一 个有根的区间是
[2, 2.5)

。 2 。 )

14.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为

15.直线 y ? 3 与函数 y ? x 2 ? 6 x 的图象的交点个数为( A A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个

16. 在 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , 这三个函数中, 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, 使 f( 成立的函数的个数是( B A. 0 个 ) C. 2 个 D. 3 个

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒 )? 2 2

B. 1 个

17.若函数 f ( x) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内,那么下列命题中正 确的是( C ) B.函数 f ( x) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 D.函数 f ( x) 在区间 (1,16) 内无零点 A )

A.函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点 C.函数 f ( x) 在区间 ? 2,16? 内无零点

18.若方程 a x ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A. (1, ??) B. (0,1) C. (0, 2) D. (0, ??)

19.若方程 x3 ? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根,则 a ? b 的值为( C A. ?1 B. ?2 C. ? 3 D. ?4 C )



20.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x2 是 10x ? x ? 3 的解,则 x1 ? x2 的值为( A.
3 2

B.

2 3

C. 3

D.

1 3
44

作出 y1 ? lg x, y2 ? 3 ? x, y3 ? 10x 的图象, y2 ? 3 ? x, y ? x ,交点横坐标为

3 3 ,而 x1 ? x2 ? 2 ? ? 3 2 2

45


推荐相关:

必修一函数补课知识点

必修一函数补课知识点_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 必修一函数补课知识点_数学_高中教育_教育专区。必修一函数复习资料 知识网络...


必修一,第二章 基本初等函数知识点

必修一,第二章 基本初等函数知识点_数学_高中教育_教育专区。必修一,第二章 基本初等函数知识点 浩瀚补课班 基本初等函数 唐海亮 第二章 基本初等函数一、指数...


高一数学必修一函数知识点总结

高一数学必修一函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高一数学必修一函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。二、函数的有关...


高一数学必修一 函数知识点总结

高一数学必修一 函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。值域求解,函数特点(增减性,奇偶性,周期性,对称性)3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用...


暑假补习数学必修1讲义1

暑假补习数学必修1讲义1_高一数学_数学_高中教育_教育...完成下面知识点的问题:一、集合有关概念 1.集合的...D. [ ? 2 , 2 ] x ?4 2 6.若函数 f (...


高一必修一基本初等函数知识点总结归纳

高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数(1)根式的概念 ① n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. ②当 n 为奇数时, a 为任意实数;...


高一数学必修1第二章基本初等函数知识点整理

高一数学必修1第二章基本初等函数知识点整理_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修 1 第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理〖2.1〗指数函数 2.1.1 指数与指数...


高中数学必修1集合与函数知识点总结

高中数学必修1集合与函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点总结第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念 集合...


必修一 函数初步知识点与练习题总结

2.1 函数 一、课本扫描 二、基本概念 (一)映射的概念 1、对应 对应和集合一样,是一个不加定义的原始概念,对应是两个集合中元素之间的一种关系,对应可以用 ...


高一数学必修1知识点总结:第二章基本初等函数

高一数学必修1知识点总结:第二章基本初等函数_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点总结第二章 基本初等函数 〖2.1〗指数函数 2.1.1 指数与指数幂...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com