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【高考复习方案】(新课标)2015届高三数学二轮限时训练 第9讲 三角恒等变换与解三角形


[第 9 讲

三角恒等变换与解三角形]

(时间:5 分钟+40 分钟) 基础演练 1.计算 sin 47°cos 17°-cos 47°cos 73°的结果为( 1 A.2 3 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 )

)

2.在△ABC 中,“A<B”是“sin2A<sin2B”

的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?π ? cos 2α tan 4 +α · ? ? 3.计算 的结果为( π ? ? 2cos2 4 -α ? ?

)

A.-2 B.2 C.-1 D.1 4.在△ABC 中,若 tan A·tan B<1,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

)

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B=60°,b= 3,则△ABC 周长的最 大值为________. 提升训练 π? ? 6.若 tan α =3,则 sin 2α + 4 的值为( ? ? 2 A.- 10 2 B. 10 5 2 C. 10 ) 7 2 D. 10 )

1 7.已知2sin(π -2x)-1=cos 2x(0<x<π ),则 tan 2x 的值是( 4 A.-3 4 B.3 2 C.-3 2 D.3

8.某公司要测量一水塔 CD 的高度,测量人员在该水塔所在的东西方向的水平直线上选择 A, B 两个观测点,在 A 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 α,在 B 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 β. π 已知 AB=a,0<β<α< 2 ,则水塔 CD 的高度为( asin(α-β)sin α A. sin β asin α sin β B. sin(α-β) asin(α-β)sin β C. sin α )

-1-

asin α D. sin(α-β)sin β 9.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 则 A=( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 3sin B,

10.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin2A+sin2C-sin2B = 3sin Asin C,则 B=________. 4 11.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,AB 边上的高为3,则 AC+BC=________. π? 1 ? 12.三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin 2A+ 6 =2,b=1,S

?

?

b+c 3 △ABC= 2 ,则 =________. sin B+sin C 1 5 13.已知 tan α =-3,cos β = 5 ,α,β∈(0,π ). (1)求 tan(α+β)的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.

14.已知向量 a=(2sin x,sin x),b=(sin x,2 3cos x),函数 f(x)=a· B. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos B=bcos C+ccos B,若对任意 满足条件的 A,不等式 f(A)+m>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcos C=(2a-c)cos B. (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A+sin C 的取值范围.

-2-

专题限时集训(九) 【基础演练】 1.A [解析] sin 47°cos 17°-cos 47°cos 73°=sin 47°cos 17°-cos 47°sin 17°=sin 1 30°=2. 2.C [解析] 根据三角形边角关系知“A<B”即“a<b”,根据正弦定理知,“a<b”即“sin A<sin B” , 又在三角形中 sin A,sin B 都恒大于 0,所以“sin2A<sin2B” ;反之也成立,所以, “A<B”是 “sin2A<sin2B”的充要条件.

?π ? cos 2α 1+tan α ·(cos2α -sin2α ) tan 4 +α · 1-tan α ? ? 3.D [解析] = = π ? ? ?π ? 2cos2 4 -α 1+cos 2 -2α ? ? ? ?
cos α +sin α ·(cos α -sin α )(cos α +sin α ) cos α -sin α =1. (sin α +cos α )2 4.C [解析] 由 tan A·tan B<1 得 1-tan A·tan B>0,当 tan A<0 或 tan B<0 时,三角形 ABC 为钝角三角形, 当 tan A>0 且 tan B>0, 即角 A, B 都是锐角时, tan C = tan[π -(A + B)] = tan A+tan B -tan(A + B) = - 1-tan A ·tan B < 0,则角 C 为钝角,所以三角形 ABC 为钝角三角形.

5 .3 3 [解析] 在△ABC 中,由题意( 3)2=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac≥(a+c)2- 2 ?a+c? (当 a=c 时取等号),则 a+c≤2 3.又 b= 3,所以△ABC 周长的最大值为 3 3. 3 2

?

?

【提升训练】 6.A π? π π 2 2sin α cos α +cos2α -sin2α ? [解析] sin 2α + 4 =sin 2α cos 4 +cos 2α sin 4 = 2 · sin2α +cos2α ? ?

2 2tan α +1-tan2α 2 6+1-9 2 =2· =2× =- 10 . 1+tan2α 1+9 1 1 7.A [解析] 由2sin(π -2x)-1=cos 2x 得2sin 2x=1+cos 2x,即 sin xcos x=2cos2x,得 tan x 2tan x 4 =2,所以 tan 2x= =-3. 1-tan2x 8.B [解析] 如图所示,△ABD 中,∠ADB=α-β, a AD asin β 由正弦定理得 = ,所以 AD= . sin(α-β) sin β sin(α-β) asin α sin β 在 Rt△ACD 中,CD=ADsin α = . sin(α-β)

9.A

[解析] 由正弦定理得 c=2

3b, 3bc 3 =2.

b2+c2-a2 - 3bc +c2 - 3bc+2 则 cos A= = = 2bc 2bc 2bc

-3-

∴A=30°. π 10. 6 a2+c2-b2 3 3 [解析] 由正弦定理得 a2+c2-b2= 3ac,所以 = 2 ,即 cos B= 2 ,所 2ac

π 以 B= 6 . 1 4 2 11. 11 [解析] 三角形 ABC 的面积 S=2× 3×3=3 1 3,又 S=2AC·BC·sin C,得 AC· BC

8 8 =3,所以 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos C=(AC+BC)2-3AC· BC,即(AC+BC)2=3+3×3=11, 所以 AC+BC= 11. π? 1 π 5 π 3 ? 12.2 [解析] 由 sin 2A+ 6 =2,0<A<π 得 2A+ 6 =6π ,所以 A= 3 .又 S△ABC= 2 , ? ? 1 1 3 3 即2bcsin A=2×1×c× 2 = 2 ,得 c=2,所以 a2=c2+b2-2cbcos A=3,解得 a= 3,所以 b+c a 3 = = =2. sin B+sin C sin A π sin 3 5 2 5 13.解:(1)由 cos β = 5 ,β∈(0,π ),得 sin β = 5 , 所以 tan β =2, 1 -3+2 tan α +tan β 于是 tan(α+β)= = 2 =1. 1-tan α tan β 1+3 1 1 3 (2)因为 tan α =-3,α∈(0,π ),所以 sin α = ,cos α =- 10 10, 故 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)= 2sin xcos α - 3 5 5 5 2 5 2cos xsin α +cos xcos β -sin xsin β ,即 f(x)=- 5 sin x- 5 cos x+ 5 cos x- 5 sin x =- 5sin x, 所以 f(x)的最大值为 5. 14.解:(1)f(x)=a· b=2sin2x+2 3sin x·cos x = 3sin 2x-cos 2x+1 π? ? =2sin 2x- 6 +1, ? ? π π π π π 令 2kπ - 2 ≤2x- 6 ≤2kπ + 2 ,k∈Z,得 kπ - 6 ≤x≤kπ + 3 ,k∈Z, π π? ? ∴f(x)的单调递增区间为 kπ - 6 ,kπ + 3 ,k∈Z, ? ? (2)2acos B=bcos C+ccos B,由正弦定理得 2cos Bsin A=sin Bcos C+cos Bsin C, 2cos Bsin A=sin(B+C)=sin A. 1 ∵0<A<π ,∴sin A≠0,∴cos B=2,

-4-

π 又∵0<B<π ,∴B= 3 , 2π ∴0<A< 3 . π π 7π ∴- 6 <2A- 6 < 6 , π? π? 1 ? ? ∴-2<sin 2A- 6 ≤1,0<2sin 2A- 6 +1≤3, ? ? ? ? π? ? ∴f(A)=2sin 2A- 6 +1∈(0,3],

?

?

不等式 f(A)+m>0 恒成立, ∴m>-f(A)恒成立, 又∵-f(A)<0, ∴m≥0,m 的取值范围是[0,+∞). 15.解:(1)在△ABC 中,∵bcos C=(2a-c)cos B, 由正弦定理,得 sin Bcos C=(2sin A-sin C)cos B. ∴2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A. 1 ∵0<A<π ,∴sin A≠0,∴cos B=2. π ∵0<B<π ,∴B= 3 . 2π 2π (2)由(1)得 C= 3 -A,且 0<A< 3 , 3 ? 2π ? 3 ? π? ∴sin A+sin C=sin A+sin 3 -A =2sin A+ 2 cos A= 3sin A+ 6 . ? ? ? ? π π 5π ? π ? ?1 ? ∵ 6 <A+ 6 < 6 ,∴sin A+ 6 ∈ 2,1 .

?

? ?

?

∴sin A+sin C 的取值范围是?

? 3 ? , 3? . 2 ? ?

-5-


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