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2012年文科数学全国二卷高考试卷


2012 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务 必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大 题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A={x| x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 (A)A? ?B (2)复数 z= (A)2+i (B)B? ?A -3+i 的共轭复数是 2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i (C)A=B (D)A∩B=?

3、在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) (n≥2,x1,x2,…,xn 不全 1 相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上, 2 则这组样本数据的样本相关系数为 (A)-1 (B)0 (C) 1 2 (D)1

x2 y2 3a (4)设 F1、F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点, a b 2
△F1PF2 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 4 (D) 4 5 )

5、已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)

在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 (A)(1- 3,2) (B)(0,2) (C)( 3-1,2) (D)(0,1+ 3)

(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,aN,输出 A,B,则 (A)A+B 为 a1,a2,…,aN 的和 A+B (B) 为 a1,a2,…,aN 的算术平均数 2 (C )A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最大的数和最小的数 (D) A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最小的数和最大的数[来 源:学,科,网]
x>A 否 是 x<B B=x 否 输入 N,a1,a2,…,aN 开始

k=1,A=a1,B=a1

x =ak k=k+1 是

A=x

k≥N 是 输出 A,B



结束

(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为 (A)6 (B)9 (C)12 (D)18

(8)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此 球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π

(9)已知 ω >0,0<φ <π ,直线 x= 两条相邻的对称轴,则 φ = (A) π 4 (B) π 3

π 5π 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的 4 4

(C)

π 2

(D)

3π 4

(10)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交 于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为 (A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8

1 (11)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2 (C)(1, 2) (D)( 2,2)

(12) 数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都 必须作答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ (14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0 ,则公比 q=_______ (15)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= (x+1)2+sinx (16)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=____ x2+1 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = 3asinC-ccosA

(1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c

18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价 格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求 量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 15[来 14 源:学 科网] 10 20 16 16 15 13 10 16 17 18 19 20

n
频数

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位: 元)的平均数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量 发生的概率,求当天的利润不少于 75 元的概率。

[来源

(19) (本小题满分 12 分) 1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 2

AA1 的中点 ( I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积 的比。
A1 C1

B1

[来源

D C A B

[来源:学§科§网]

(20) (本小题满分 12 分) 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆 心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公 共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值。

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间

(Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清楚题号。

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 CF//AB,证明: (Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD
G E D F A

B

C

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 ?x=2cosφ 已知曲线 C1 的参数方程是? ?y=3sinφ (φ 为参数), 以坐标原点为极点, x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2.正方形 ABCD 的 顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。 π ) 3

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。


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