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2011—2016年全国卷数学(理)知识模块整理(全)


2011—2015 年全国高考数学卷(2)模块试题整理
一、选择题 算法
(2013)6、执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,那么输出的 S ? ( )

(2014)7. 执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7



(2015) (8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图, 若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a= A.0 B.2 C.4 D.14 )

(2016) (7)执行下图的程序框图,如果输入的 a ? 4,b ? 6 ,那么输出的 n ? ( (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

集合
(2012) (2)已知集合 A ? {1,3, m} , B ? {1, m} , A ? B ? A ,则 m ? ( A) 0 或 3 (B) 0 或 3 (C) 1 或 3 (D) 1 或 3 )

2 (2013)1、已知集合 M ? x | ( x ? 1) ? 4), x ? R , N ? ?? 1,0,1,2,3?,则 M ? N ? (

?

?

(A){0,1,2} (B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3} (2014)1. 设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2} ) )

(2015)已知集合 A={-2,-1,0,1,2} ,B={x|(X-1) (x+2)<0},则 A∩B=( (A) {--1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {,0,,1,2}

(2016) (1)设集合 S ? ?x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0?, T ? ?x | x ? 0? ,则 S ? T ? ( (A) [2,3] 复数 (2011)1.复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 ? A. ? 2 i B. ?i C. i D. 2 i (B)(- ? ,2] U [3,+ ? ) (C) [3,+ ? )



(D)(0, 2] U [3,+ ? )

(2012) (1)复数 ( A) 2 ? i

?1 ? 3i ? 1? i
(B) 2 ? i (C) 1 ? 2i ) (D) 1 ? 2i

(2013)2、设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i, 则 z =(

(A) ? 1 ? i (B) ? 1 ? i (C) 1 ? i (D) 1 ? i (2014)2. 设复数 z1 , z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i )



(2015) (2)若 a 为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i,则 a=( (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 )

(2016) (2)若 z ? 1 ? 2i ,则 (A)1 (B) -1

4i ?( z z ?1
(C) i

(D) ?i

基本初等函数及有关性质 (2011)2.函数 y ? 2 x ( x≥0) 的反函数为

x2 ( x ? R) A. y ? 4
C. y ? 4 x ( x ? R )
2

x2 ( x≥0) B. y ? 4
D. y ? 4 x ( x≥0)
2

(2011)9.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) = A. -

5 2

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2
)

(2015) (5)设函数 f ( x) ? ? (A)3 (B)6

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log 2 12) ? (

(C)9

(D)12

利用对数、指数、幂函数比较大小
(2012) (9)已知 x ? ln ? , y ? log5 2 , z ? e (A) x ? y ? z (B) z ? x ? y
? 1 2

,则 (D) y ? z ? x ) (D) a ? b ? C

(C) z ? y ? x

(2013)8、设 a ? log3 6 , b ? log5 10 , c ? log7 14,则( (A) c ? b ? a (B) b ? c ? a
4 3 2 5

(C) a ? c ? b
1 3

(2016) (6)已知 a ? 2 , b ? 4 , c ? 25 ,则(



(A) b ? a ? c

(B) a ? b ? c

(C) b ? c ? a

(D) c ? a ? b

三角函数运算和解三角形
(2011)5.设函数 f ( x) ? cos? x (?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 合,则 ? 的最小值等于 A.

? 个单位长度后,所得的图像与原图像重 3

1 3

B. 3

C. 6

D. 9

(7)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ? (2012)

3 ,则 cos 2? ? 3
5 9
) (D)

( A) ?

5 3

(B) ?

5 9

(C)

5 3

1 (2014)4. 钝角三角形 ABC 的面积是 2 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(
A. 5 B.

5

C. 2

D. 1 ) (D)

(2016) (5)若 tan ? ? (A)

64 25

3 ,则 cos 2 ? ? 2sin 2? ? ( 4 48 (B) (C) 1 25

16 25


(2016) (8)在 △ABC 中, B = (A)
3 10 10

π 1 , BC 边上的高等于 BC ,则 cos A = ( 4 3

(B)

10 10

(C) -

10 10

(D) -

3 10 10

导数在函数中的运用
(2011)8.曲线 y= e A.
?2 x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 B.
3

1 3

1 2

C.

2 3

D.1

(2012) (10)已知函数 y ? x ? 3x ? c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c ? (A) ?2 或 2 (B) ?9 或 3
3 2

(C) ?1或 1

(D) ?3 或 1 )

(2013)10、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,下列结论中错误的是( (A) ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 (B)函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形

(C)若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 (D)若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 (2014)8. 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 2 (2014)12. 设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是 m





A.

? ??, ?6? ? ? 6, ??

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?

(2015) (12) 设函数 f’(x)是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数, ( f -1) =0, 当 x ? 0 时,xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 A. (??, ?1) ? (0,1) B. (?1,0) ? (1, ??) C. (??, ?1) ? (?1,0) D. (0,1) ? (1, ??)

等差等比数列
(2011)4.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k ? A.8 B.7 C .6 D.5

(2012) (5)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 {

1 } 的前 100 项和为 an an ?1
101 100


( A)

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

(2013)3、等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 =( (A)

1 3

(B)

?

1 3

(C)

1 9

( D) ?

1 9
)

(2015) (4)等比数列{an}满足 a1=3, a1 ? a3 ? a5 =21,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( (A)21 (B)42 (C)63 (D)84

(2016) (12)定义“规范 01 数列” ?an ? 如下: ?an ? 共有 2 m 项,其中 m 项为 0, m 项为 1,且对任意 k ? 2 m ,

a1 , a2 ,?, ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m ? 4 ,则不同的“规范 01 数列”共有(
(A)18 个 (B)16 个 (C)14 个 (D)12 个



向量的运算
(2011)12.设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a ?b = ? A.2 B. 3

1 0 , a ? c, b ? c = 60 ,则 c 的最大值等于 2
D.1

C. 2

(2012) (6) ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ?

??? ?

?

??? ?

?

? ?

?

?

????

2? 2? 3? 3? a? b (C ) a ? b 3 3 5 5 (2014)3. 设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( )
( A) a ? b (B) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

1? 3

1? 3

(D)

4? 4? a? b 5 5

(2016) (3)已知向量 BA ? ( , (A) 30 ? (B) 45 ?

uuv

uuu v 1 3 3 1 ) , BC ? ( , ) ,则 ?ABC ? ( 2 2 2 2
(C) 60 ? (D) 120?



空间几何

(2011)6.已知直二面角 α? ι?β,点 A∈α,AC⊥ι,C 为垂足,B∈β,BD⊥ι,D 为垂足.若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于 A.

2 3

B.

3 3

C.

6 3
0

D.1

(2011)11.已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60 二面角的平面 β 截该球面得圆 N.若该球面的半 径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 A.7 ? B.9 ? C.11 ? D.13 ?

(2012) (4)已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , AB ? 2 , CC1 ? 2 2 , E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面

BED 的距离为
( A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1

(2012) (12)正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, AE ? BF ?

3 。动点 P 从 E 出发沿 7

直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边 碰撞的次数为 (A) 16 (B) 14 (C) 12 (D) 10

(2013)4、已知 m , n 为异面直线, m ⊥平面 ? , n ⊥平面 ? ,直线 l 满足 l ⊥ m , l ⊥ n , l ? ? , 则( )

l??,

(A) ? ∥ ? 且 l ∥ ? (B) ? ⊥ ? 且 l ⊥ ? (C) ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l (D) ? 与 ? 相交,且交线平行于 l (2013)7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1, 0,1) , (1,1, 0) , (0,1,1) , (0, 0, 0) ,画 该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

(2014)6. 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是 某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削 得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( A. )

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3

(2014) 11. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BCA=90°, M, N 分别是 A1B1,A1C1 的中点, BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( A. 1 ) D.

10

B. 2

5

C.

30 10

2 2

(2015) (6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的 比值为 ( A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π

(2015)10.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC, CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A、B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为

(2016)
( )

(9)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为

(A) 18 ? 36 5

(B) 54 ? 18 5

(C)90

(D)81

(2016)(10)

V 的球,若 在封闭的直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 内有一个体积为
) (D)

AB ? BC , AB ? 6 , BC ? 8 , AA1 ? 3 ,则 V 的最大值是(
(A)4π (B)

9? 2

(C)6π

32? 3

圆锥曲线
(2011)10.已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点.则 cos ?AFB =
2

A.

4 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

(3)椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 ( A) 16 12

x2 y 2 ? ?1 (B) 12 8
2 2

x2 y 2 ? ?1 (C) 8 4

x2 y 2 ? ?1 (D) 12 4

(2012) (8)已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,| PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则 cos ?F 1 PF2 ?

( A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

(2013)11、设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2) , 则 C 的方程为( ) (D)y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16x

(A)y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8x (B)y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8x (C)y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16x

(2013)12、已知 A(-1,0) ,B(1,0) ,C(0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将△ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( (A)(0,1) ) (B) ?1 ?

? ? ?

2 1? , ? 2 2? ?

(C)

? 2 1? ?1 ? , ? ? 2 3? ? ?

(D) ? , ?

?1 1 ? ?3 2 ?

(2014) 10. 设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为( ) A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

(2015)(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN = (A)2 6 (B)8 (C)4 6 (D)10

(2015)(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的 离心率为 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2

(2016) (11) 已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点, A, B 分别为 C 的左,右顶点. P a 2 b2

为 C 上一点,且 PF ? x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点, 则 C 的离心率为( (A) )

1 3

(B)

1 2

( C)

2 3

(D)

3 4

统计
(2015) (3) 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量 (单位: 万吨) 柱形图。 以下结论不正确的是( )

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (2016) (4) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况, 绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图 中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15?C ,B 点表示四月的平均最低气温约为 5?C . 下面叙述不正确的是 ( )

(A)各月的平均最低气温都在 0?C 以上 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同

(B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (D)平均气温高于 20?C 的月份有 5 个

线性规划
?x ? 1 ? (2013)9、已知 a >0, x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2x ? + 3y 的最小值是 1,则 a =( ? y ? a ( x ? 3) ?
(A) )

1 4

(B)

1 2

(C)1

(D)2

? x ? y ? 7≤0 ? (2014)9. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2



概率
(2011)7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本,则不同的 赠送方法共有 A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 (2012) (11)将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排 列方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 24 种 (D) 36 种

(2014)5. 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两为优良的概率是 0.6,已

知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45



命题
(2011)3.下面四个条件中,使 a> b 成立的充分而不必要的条件是 A. a>b ? 1 B. a>b ? 1 C. a 2>b 2 D. a3>b3

二项式
(2013)5、已知 (1 ? ax)(1 ? x) 5 的展开式中 x 的系数是 5,则 a =(
2



(A) -4

(B)

-3

(C)-2

(D)-1

二、填空题 算法 集合
复数 基本初等函数及有关性质

(2014)15. 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________. (2016) (15)已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 错误!未找到引用源。时, f ( x) ? ln( ? x) ? 3 x 错误!未找到引用源。 , 则曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, ?3) 处的切线方程是_______________.

三角函数
(2011)14.已知 a∈(

? 5 ,? ) ,sinα= ,则 tan2α= 2 5

(2012) (14)当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ___________。

1 ,则 sin ? ? cos ? ? 。 4 2 (2014)14. 函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________.
(2013) (15)设 ? 为第二象限角,若 tan(? ?

?

)?

(2016) (14)函数 y ? sin x ? 3 cos x 错误!未找到引用源。的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 错误!未找到引 用源。的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.

导数 等差等比数列
(2013) ( (16)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0 , S15 ? 25 ,则 n S n 的最小值为 (2015) (16)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? S n S n ?1 ,则 S n ? ________. 。

向量的运算

(2013) (13)已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______。 (2015) (13)设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________.

??? ? ??? ?

?

?

? ?

?

?

空间几何
(2011)16.己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB1 、CC1 上,且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 .

? (2012) (16) 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 底面边长和侧棱长都相等,?BAA 则异面直线 AB1 与 BC1 1 ? ?CAA 1 ? 60 ,

所成角的余弦值为____________。

圆锥曲线
(2011) 15. 已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 的平分线.则|AF2| = .

x2 y 2 =1 的左、 右焦点, 点 A∈C, 点 M 的坐标为 (2, 0) , AM 为∠F1AF2∠ 9 27

(2014)16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是________. (2016) (16)已知直线 l : mx ? y ? 3m ? 3 ? 0 错误!未找到引用源。与圆 x2 ? y 2 ? 12 错误!未找到引用源。 交于 A, B 两点,过 A, B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C , D 两点,若 AB ? 2 3 错误! 未找到引用源。 , 则 | CD |? 错误! 未找到引用源。__________________.

统计 线性规划
? x ? y ?1 ? 0 ? (2012)(13)若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为__________。 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? (2015)(14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
?x ? y ?1 ? 0 ? (2016) (13)若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 错误!未找到引用源。 则 z ? x ? y 的最大值为_____________. ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

概率
(2013) 14) 从 n 个正整数 1, 2,3, 4,5 , ?,n 中任意取出两个不同的数, 若其和为 5 的概率是

1 , 则n= 14



命题

二项式
(2011)13. (1- x )20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为: . 2 y2

(2012) (15)若 ( x ? ) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中
n

1 x

1 的系数为_________。 x2

(2014)13.

? x ? a?

10

的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)

(2015) (15) (a ? x)(1 ? x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? __________.

三、解答题
算法 集合
复数 基本初等函数及有关性质

三角函数
(2011)17.△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 C.

(2012) (17) ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 , a ? 2c ,求 C 。 (2013) (17)△ABC 的内角的对边分别为 a, b, c, 已知 a ? b cos C ? c cos B (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b =2,求△ABC 的面积的最大值。 (2015) (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ) 若 AD =1, DC =

2 求 BD 和 AC 的长. 2

等差等比数列
(2011)20.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
2

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n

(2012) (22)函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,定义数列 {xn } 如下: x1 ? 2 , xn ?1 是过两点 P(4, 5) 、 Qn ( xn , f ( xn )) 的直 线 PQn 与 x 轴交点的横坐标。 (Ⅰ)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ; (Ⅱ)求数列 {xn } 的通项公式。

(2014)17.已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1. (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

?

2

?

a1

a2

an

2

(2016) (17) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 错误! 未找到引用源。 的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an 错误! 未找到引用源。 , 错误! 未找到引用源。 其中 ? ? 0 . (I)证明 {an } 错误!未找到引用源。是等比数列,并求其通项公式;学科&网 (II)若 S5 ?

31 错误!未找到引用源。 ,求 ? . 32

导数在函数中的应用
(2012) (20)设函数 f ( x) ? ax ? cos x , x ? [0, ? ] 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围。 (2013)(21) 已知函数 f ( x) ? e ? ln(x ? m) 。
x

(Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m 并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) >0。 (2014)21. 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

(2015)21.设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx 。 (1)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围。 (2016) (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a cos 2 x ? (a ? 1)(cos x ? 1) ,其中 a ? 0 ,记 | f ( x) | 错误!未找到引用源。的最大值为 A . (Ⅰ)求 f ?( x ) ; (Ⅱ)求 A ; (Ⅲ)证明 | f ?( x) |? 2 A .

向量的运算 空间几何
(2011) 19. 如图, 四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? CD , BC ? CD , 侧面 SAB

为等边三角形, AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1. (Ⅰ)证明: SD ? 平面SAB ;(Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小. (2012 ) ( 18)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面
P

ABCD , AC ? 2 2 , PA ? 2 , E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC 。
E

(Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90 ,求 PD 与平
?

A D

B C

面 PBC 所成角的大小。

(2013) (18)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的 中点。 AA 1 ? AC ? CB ? 2 AB (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 ACD (Ⅱ)求二面角 D ? A1C ? E 的正弦值。 1 1; (2014)18. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的 体积.

A1 B1 A D B E

C1

2 2

C

(2015)19.如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB = 16,BC = 10, AA1 = 8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点 E,F 的平面 α 与此长方 体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。

(2016) (19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABC 中, PA ? 地面 ABCD , AD ? BC , AB ? AD ? AC ? 3 , PA ? BC ? 4 ,M 为线段 AD 上一点, AM ? 2 MD , N 为 PC 的中点. (I)证明 MN ? 平面 PAB ; (II)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.

圆锥曲线

(2011)21.已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 2

交于 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. (2012) (21)已知抛物线 C : y ? ( x ? 1)2 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A ,且在点 A 处两
2 2 2

??? ? ??? ? ??? ?

1 2

曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离。
(2013) (20)平面直角坐标系 xoy 中,过椭圆 M:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A、B a2 b2

两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 。 2

(Ⅰ)求 M 的方程 (Ⅱ)C、D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值。
2 y2 (2014)20. 设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1

a

b

与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率; (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.

4

(2015)20.已知椭圆 C: 9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线 段 AB 的中点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

m (2)若 l 过点 ( , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率; 3
若不能,说明理由。 (2016) (20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C :y 2 ? 2 x 的焦点为 F , 平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A, B 两点, 交 C 的准线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

统计
(2013)(19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每1 t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示。经销商为下一个销售季 度购进了 130 t 该农产品。以 X (单位: t , 100 ? X ? 150 )表示下一 个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内经 销该农产品的利润。

(Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取 该区间中点值的概率(例如:若 x ? ? 100,110? ,则取 X=105,且 X=105 的概率等于需求量落入 ?100,110?的 T 的数 学期望。 (2014)19. 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地 区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
?

b?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

(2015)(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的 满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程 度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据 所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率 (2016)18) (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n



i

? y) 2

? ?b ? 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 回归方程 ? y?a

?? b

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
2 i

? (t ? t )
i ?1

n

? ? y ? bt ? . , a

线性规划 概率
(2011)18.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。 (2011)22. (Ⅰ)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x ,证明:当 x>0 时, f ( x)>0 ; x?2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p ? (

9 19 1 ) ? 2 10 e

(2012) (19)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次, 依次轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各 次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。

(Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。

命题 二项式

四、选作题
(2013) (23) 已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t , ( t 为参数) 上, 对应参数分别为 t =? 与 t =2?( 0 ? ? ? 2? ) , ? y ? 2sin t

M 为 PQ 的中点。
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 (2014)23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定 D 的坐 标. (2015)23.选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0) ,其中 0 ≤ α < π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极 ? y ? t sin ?

轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。 (2016)23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? 3 cos ? ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? , (?为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴, ? ? y ? sin ?

? 建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 2 . 4
(I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标.


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