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椭圆典型例题精讲


典型例题精讲 考点一 考查椭圆的定义、方程 例 1、方程

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 表示的曲线是____________________。

例 2、椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是 考点二

3 ,求

这个椭圆的方程

考查椭圆的几何性质 2 2 例 3、设 P 为椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F1、F2 为焦点,若∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率为__________。 2 2 a b
x y 例 4、椭圆 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 和 2 ? 2 ? ? (? ? 0) 具有( ) a b A、相同的离心率 B、相同的焦点 C、相同的顶点 D、相同的长、短轴 例 5、椭圆 x 2 y 2 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上一动点,当∠F1PF2 为钝角时,求点 P 的横坐标的取值范围
9
1 A、 32

x2

y2

2

2

?

4

?1
2



例 6、若椭圆 2kx
x
2

,则 k 的值为( ? ky 2 ? 1的一个焦点是(0,-4) B、8 C、
1 8



D、32 )

例 7、过椭圆 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 中心的直线交椭圆于 A、B 两点,右焦点为 F2( c ,0) ,则△ABF2 的最大面积为( A、 ab B、 ac C、 bc 考点三 考查直线和椭圆的位置关系及综合运用 例 8、若直线
1

y

2

D、 b

2

y ? kx ? 1 与焦点在 x 轴上的椭圆 x 2 ? y 2
9 m

? 1 总有公共点,则实数 m 的取值范围是(

) 。

A、 2 ≤ m <9

B、9< m <10

C、1≤ m <9

D、1< m <9

例 9、已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上,若右焦点到直线 x ?

y ? 2 2 ? 0 的距离为 3。(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线

y ? kx ? m(k ? 0) 相交于不同的两点 M、N,当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围。

例 10、试确定 m 的取值范围,使椭圆

x2 y2 ? ? 1 上存在两点关于直线 y ? 2 x ? m 对称。 4 3

1. 下列说法中,正确的是 ( ) A.平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆 B.与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆 C.方程

x2 y2 ? ? 1(a ? c ? 0) 表示焦点在 x 轴上的椭圆. a2 a2 ? c2
( D.

D.方程 )

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 表示焦点在 y 轴上的椭圆 a 2 b2

2. 方程 ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 10 ,化简的结果是 A.

x2 y2 ? ?1 25 16

B.

x2 y2 ? ?1 25 21

C.

x2 y2 ? ?1 25 4

x2 y2 ? ?1 21 25

6 ) ) 的椭圆标准方程是 ( 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. B. C. D. ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 2 3 3 2 4 9 2 3 2 2 4. 设 ? ∈ [0, 2 ?) ,且方程 x sin ? +y cos ? =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 ? ∈( ) ? ? 3? 7? ? , 2 ?) A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ?) D. ( 4 4 2 4 4 x2 y2 5. 已知 M(-2,0)、N(2,0), 若 |PM|十| PN|=6,则 P 点的轨迹方程是 . ? ? 1 若|PM|+|PN|= 4,则 P 点的轨迹方程 9 9
3. 焦点分别是(0,-1)、(0,1),且经过点 P (?1, 是 . 2 2 6. 设 F1、F2 为椭圆 16x +25y =400 的焦点,P 为椭圆上的任一点.则△PF1F2 的周长是 7. 化简方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 使结果不含根式. △PF1F2 的面积的最大值是 .

8. 已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,求实数 k 的取值范围. k ? 4 10 ? k

9. 已知方程(2-k)x +ky =2k-k 表示焦点在 x 轴上的椭圆,求实数 k 的取值范围.

2

2

2

10. 巳知椭圆 C1 与椭圆 C2 有相同的焦点,椭圆 C2 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ,椭圆 C1 过点(- 6 ,1),求椭圆 C1 的标准方程. 9 5

11. 已知椭圆 9x +16y =144,焦点为 F1,F2,P 是椭圆上一点,且∠F1PF2=60°,求△PF1F2 的面积.

2

2

12. 设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点为 A′、A,若椭圆上存在一点 M,使∠A′MA=120°,试求该椭圆的离心率 e 的取值范围. a 2 b2

13. 已知椭圆 a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1、F2,过中心 O 作直线,交椭圆于 A、B, b2 3 (1)若△ABF2 的面积等于 2 bc (c 为半焦距),求直线 l 的方程; (2)求△ABF2 面积的最大值.
2

x2

?

14. 已知椭圆 4x +5y =20 的一个焦点为 F,过 F 且倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,求弦长|AB|.

2

2

15.若椭圆 3x +4y =12 上存在两个不同的点 A、B 关于直线 2x-y+b=0 对称,试求实数 b 的取值范围.

2

2

16.过椭圆 C:

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 a2 b2

P 引圆 O: x

2

? y 2 ? b 2 的两条切线 PA、PB,切点为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 M、N 两点
(2)若椭圆 C 的短轴长为 8,且 | OM |
a2
2

(1)设 P ( x 0 , y 0 ) ,且 x 0 y 0

≠0 ,求直线 AB 的方程;

+

b2 25 = | ON | 2 16 ,求此椭圆的方程;

(3)试问椭圆 C 上是否存在满足 PA⊥PB 的点 P,说明理由


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