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3.3.3函数的最大(小)值与导数


3.3.3函数的最大 (小)值与导数
高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

观察下列图形,你能找出函数的极值吗?
y

y=f(x)

o
a
x1 x2 x3

x4 x5

x6

b

x

f 观察图象,我们发现, ( x1 ), f ( x3 ), f ( x5 ) 是 函数y=f(x)的极小值, f ( x2 ), f ( x4 ), f ( x6 ) 是函数 y=f(x)的 极大值。

? ? ? ? ?

求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f’(x) (3)求方程f’(x)=0的根 (4)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定 义域分成若干个开区间,并列成表格 ? (5)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号, 来判断f(x)在这个根处取极值的情况

新课引入
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益, 常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最 大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个 函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们 与函数极值关系如何?

观察下列图形,你能找出函数的最值吗?

x? (a, b) 在开区间内 的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
在闭区间 x ? a, b] [ 上的连续函 数必有最大 值与最小值

y

因此:该函数没 有最值。 y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

y f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

如何求出函数在[a,b]上的最值?
y
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

一般的如果在区间,[a,b]上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值。

观察右边一个定义在 区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象:

y

y=f(x)

a

x1

o

X2

X3

b

x

f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值,_________是极 f(b) 大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值 f(x3) 是_______。
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

新授课
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值);
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个最小值.

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.

求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).

题型:求函数的最大值和最小值
例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大 值与最小值.
y? ? 4 x 3 ? 4 x. 解:

令 y? ? 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y?, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.

练习:函数 y = x? 3 x? + -9x在 [-4 , 4 ]上的最大值 为 76 ,最小值为 -5 . 分析: (1) 由 f ?(x)=3x? +6x-9=0, 得x1=-3,x2=1 函数值为f (-3)=27, f (1)=-5 (2) 区间[-4 , 4 ]端点处的函数值为 f (-4) =20 , f (4) =76 当x变化时,y′ 、 y的变化情况如下表: x y′ y -4 20 (-4,-3) + -3 0 (-3,1) 1 (1,4) 0 + 4 0 76

27

-5

比较以上各函数值,可知函数在[-4 , 4 ]上的最大 值为 f (4) =76,最小值为 f (1)=-5

※典型例题
例题2:已知函数f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? a在 ? ?2,? 上有最小值 ? 37 2

?1? 求实数a的值;
2

2 ? 2 ? 求f ( x)在? ?2,? 上的最大值。

解:(1 f ?( x) ? 6x ?12x )
又f (?2) ?40 ? a, ?

令f ?( x) ? 0解得x ? 0或x ? 2
f (0) ? a, f (2) ? ?8 ? a

由已知得 ? 40 ? a ? ?37解得a ? 3

(2)由 知f ( x)在??2, 2?的最大值为3. (1)
反思:本题属于逆向探究题型: 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大 小上,从而解决问题,往往伴随有分类讨论。

小结:
求函数最值的一般方法

一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数



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