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高一数学必修1函数总复习课件


第一章 集合与函数概念

第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用 周口文昌中学数学组 :杨留 杰

永切隔数形数焉数 远莫离形少无能与 联忘分结数形分形 系几家合时时作本 华莫何万百难少两是 罗分代事般入直边相 庚离数休好微觉飞倚 统 依 一 体 ,

——

,

一、知识

结构
集合

含义与表示

基本关系

基本运算

列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集

交集 补集

一、集合的含义与表示
(一)集合的含义 1、集合:把研究对象称为元素,把一些元素组成的
总体叫做集合

2、元素与集合的关系: ? 或 ? 3、元素的特性:确定性、互异性、无序性

4、常用数集: 、N、Z、Q、R N

?

(二)集合的表示 1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,并
放在{ }内

2、描述法:用文字或公式等描述出元素的特性,
并放在{x| }内

3.图示法 Venn图,数轴

二、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A中的任何
一个元素都是集合B的元素,我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个,则其子集个数为 真子集个数为

2n

2n-1 非空真子集个数为 2n-2

2、集合相等: A ? B, B ? A ? A ? B 3、空集:规定空集是任何集合的子集,是任
何非空集合的真子集

三、集合的并集、交集、全集、补集
1、A ? B ? {x | x ? A或x ? B}
2、A ? B ? {x | x ? A且x ? B}
A B

3、CU A ? {x | x ?U且x ? A}

全集:某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素,用U表示

题型示例
考查集合的含义

例 已知x ?{1, 2, x }, 则x ? 0或2 1
2

例2

A ? y y ? x ,B ? x y ? x ,
2 2

?

?

?

?

求A ? B.

? A ? [0, ??), B ? R, ? A ? B ? [0, ??).

考查集合之间的关系
例3 设A ? ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0? , B ? ? x | mx ? 1 ? 0? , 且A ? B ? A, 求m的值的集合. 解: B ?? ?2, ?3? ,由A ? B ? A得B ? A A? A A ?
? A ? 时, ?当m ? B0? B B ? ?, 符合题意;

? 1? 当m ? 0时,B ? ?? ? ,? B ? A ? m? 1 1 1 1 ?? ? 2, 则m ? ? ;或- ? ?3, m ? . m 2 m 3 1 1 ? m ? 0, 或 ? , 或 2 3

?B? A

转化的思想

考查集合的运算

例( )已知I ? {0,1,2,3,4}, A ? {0,1,2,3}, 41 B ? {2,3},求CI B, C A B. 求A ? B, A ? B. (2)已知A ? {x ? 1 ? x ? 3}, B ? x x ? 0, 或x ? 2 ,

?

?

例5 设U= ?1,2,3,4,5? ,若A ? B= ?2? ,(C U A) ? B = ?4? ,(C U A) ? (C U B)= ?1,5? ,求A.
U
3 5 2 3 4

1

A

B

例6 已知集合A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? k ? 0}, (1)若A ? B ? ?, 求k的取值范围 (2)若A ? B ? A, 求k的取值范围

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扩展提升
1.设 A ? {x x 2 ? 4 x ? 0}, B ? {x x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0} , 其中 x ? R ,如果 A ? B ? B,求实数a的取值范围
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2.设全集为R,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} ,

B ? {x | 2 x ? 4 ? x ? 2}
(1)求: A∪B,CR(A∩B);(数轴法)

(2)若集合

C ? {x | 2 x ? a ? 0} ,满足

B ? C ? C ,求实数a的取值范围。

练习
1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x= -1 。

2.已知集合 M ? ? 1,,?集合 N ? ? y ? x 2 , ? M ? y x - 1 2 , 则M∩N是( B ) A

? 1,, ? 2 4

B{1 }

C{1,2}



3.满足{1,2} ? A ?{1,2,3,4}的集合A的个数 ? 有 个 3

函数

定义域

值域

单调性

奇偶性

图象

一次函数 反比例函数 二次函数

函数的复习主要抓住两条主线 1、函数的概念及其有关性质。 2、几种初等函数的具体性质。

指数函数 对数函数
幂函数

函数知识结构
函数的概念 函数 函数的基本性质 函数的单调性

函数的最值

函数的奇偶性

一、函数的概念:
A x1 x2 x3

B C y1 y2 y3 y4 y5 y6

x4
x5

思考:函数 值域与集 A.B是两个非空的数集,如果 合B的关 按照某种对应法则f,对于 系 集合A中的每一个元素x,在 集合B中都有唯一的元素y和 它对应,这样的对应叫做从 A到B的一个函数。
函数的三要素:定义域,值域,对应法则

二、映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定 的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元 素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对 应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的 一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一

使函数有意义的x的取值范围。

求 定 义 域 的 主 要 依 据

1、分式的分母不为零.

2、偶次方根的被开方数不小于零.
3、零次幂的底数不为零.

4、对数函数的真数大于零.
5、指、对数函数的底数大于零且不为1.

6、实际问题中函数的定义域

(一)函数的定义域
1、具体函数的定义域
例7.求下列函数的定义域 x ?1 (1) f ( x) ? x?2 2 (2) f ( x) ? log 2 ( x ? 1) (3) f ( x) ? log 0.5 (4 x ? 3)
1.【-1,2)∪(2,+∞) 2.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.(3∕4,1】

练习:

1 (1) y ? ? x ?1 2? x 2? x 3 0 (2) y ? ? (x ? ) 2 x?2 (3) y ? log2 (2 x ? 1)

2、抽象函数的定义域
1)已知函数y=f(x)的定义域是[1,3], 求f(2x-1)的定义域 2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,5), 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域 3) y ? f ( x ? 2)的定义域为{x|x ? 4},

求y=f(x )的定义域
1.[1,2] ; 2.[1,4); 3. [- 2,2 ]

2

例8 若f ( x) ? lg(ax ? 4ax ? 3)的定义域为R
2

求实数a的取值范围。
当a ? 0时,函数的定义域为R; ? a ? 0, 当? 时,函数的定义域也为R. 2 ? ? ? 16a ? 12a ? 0 3 ?函数的定义域为R,a的取值范围是0 ? a ? . 4 思考:若值域为R呢? 分析:值域为R等价为真数N能取(0,+∞)每个数。
当a=0时,N=3只是(0,+∞)上的一个数,不成立; a ? 0? 当a≠0时,真数N取(0,+∞)每个数即 ? ? ?
?? ? 0 ?

求值域的一些方法:
1) 3)

y ? ex
3x ? 7 y? 2x ? 5

2) y ? 2x2 ? x
4) y ? log3 ( x ? 3) x ? ?6,12?

5)f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 3, ( x ? 2)

1、图像法,2 、 配方法,3、分离常数法, 4、换元法,5单调性法。

三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 象 法

例10求下列函数的解析式
(1) 已知f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3, 求f ( x ? 1) (2)已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x, 求f ( x)
2

换元法

(3)设 f ( x)一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3,求f ( x)

待定系数法

1 1 2 (4) 已知 f ( x ? x ) ? x ? x 2

( x ? 0) ,

配凑法

求 f ( x) 的解析式

(5)已知:对于任意实数x、y, 等式 f ( x ? y) ? ? f ( x) ? 2 x( y ? x ? 1) 恒成立, 求 f (x)

赋值法

(6) 已知f ? x ? 是偶函数,g( x)是奇函数,且 构造方程组法 2 f ? x ? +g(x) ? x ? x ? 2, 求f ( x)、g ( x)的解析式 .

三、函数单调性
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) ,那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的 某个区间而言的。

写出常见函数的单调区间 并指明是增区间还是减区间
y ? a a ? 0) ( 1、函数 的单调区间是 x
a ? 0时, 单减区间是(??, 0), (0, ??) a ? 0时, 单增区间是(??, 0), (0, ??)

2、函数y=ax+b(a≠0)的单调区间是
a ? 0时, 单增区间是(??, ??) a ? 0时, 单减区间是(??, ??) 3、函数y=ax2+bx+c (a≠0)的单调区间是
b b a ? 0时, 单减区间是(??, ? ], 单增区间是[? , ??) 2a 2a b b a ? 0时, 单增区间是(??, ? ], 单减区间是[? , ??) 2a 2a

用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 设元,设x1,x2是区间上任意两个实数,且x1<x2;

(2) 作差, f(x1)-f(x2) ;
(3)变形,通过因式分解转化为易于判断符号的形式 (4)判号, 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (5)下结论.

1 例11.证明:函数 f ( x) ? x ? 在(1, ?)上是增函数 . ? x

2x+1, (x≥1) 1. 函数f (x)= 4-x, (x<1) 则f (x)的递减区间为( B )

A. [1, +∞) B. (-∞, 1) D. (-∞, 0] C. (0, +∞) 2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞) 上是增函数,求实数a的取值范围

3 判断函数

e ?e y? 2
x

?x

的单调性。

? 拓展提升复合函数的单调 性
复合函数的定义:设y=f(u)定义 域A,u=g(x)值域为B,若A ? B, 则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 数f与g的复合函数,u叫中间量

? 复合函数的单调性
?复合函数的单调性由两个函数共同决定;

引理1:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b) 上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。 x增→ g(x)增 →y增:故可知y随着x的增大而增大 引理2:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。

x增→ g(x)减 →y增:故可知y随着x的增大而增大

? 复合函数的单调性
若u=g(x)
y=f(u) 则y=f[g(x)]
增函数 减函数 增函数 减函数
增函数 减函数 减函数 增函数

增函数

增函数

减函数

减函数

规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增 函数;当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是 减函数。 “同增异减”

?

复合函数的单调 性

例题:求下列函数的单调性y=log4(x2-4x+3)
解 设 y=log4u(外函数),u=x2-4x+3(内函数). 由 u>0, u=x2-4x+3,解得原复合函数的定义域为 {x|x<1或x>3}. 当x∈(-∞,1)时,u=x2-4x+3为减函数,而y=log4u 为增函数,所以(-∞,1)是复合函数的单调减区间; 当x∈(3,±∞)时,u=x2-4x+3为增函数y=log4u为增 函数,所以,(3,+∞)是复合函数的单调增区间.

代数解法:
解:设u=x2-4x+3 ,u=x2-4x+3=(x-2)2-1, x>3或x<1,(复合函数定义域)

x<2

(u减)

解得x<1.所以x∈(-∞,1)时,函数u单调递减.

由于y=log4u在定义域内是增函数,所以由引理知: u=(x-2)2-1的单调性与复合函数的单调性一致,所 以(-∞,1)是复合函数的单调减区间. u=x2-4x+3=(x-2)2-1, x>3或x<1,(复合函数定义域) x>2 (u增) 解得x>3.所以(3,+∞)是复合函数的单调增区间.

例2
解:

求下列复合函数的单调区间: y=log(2x-x2)

设 y=logu,u=2x-x2.由u>0,u=2x-x2 解得原复合函数的定义域为0<x<2. 由于y=log13u在定义域(0,+∞)内是减函数,所以, 原复合函数的单调性与二次函数 u=2x-x2的单调性 正好相反.易知u=2x-x2=-(x-1)2+1在x≤1时单调增. 由 0<x<2 (复合函数定义域) x≤1,(u增) 解得0<x≤1,所以(0,1]是原复合函数的单调减区间. 又u=-(x-1)2+1在x≥1时单调减,由 x<2, (复合函数定义域) x≥1, (u减) 解得0≤x<2,所以[0,1=是原复合函数的单调增区间.

1 例题:求函数 f ( x) ? 2
2

x 2 ?3 x ? 2

的单调性。
, 上

解:设 u ? x ? 3x ? 2 f(u)和u(x)的定义域均为R 因为,u在 递增。
3? ? ? ? ?, ? 2? ?

1 u f (u ) ? ( ) 2

?3 ? ,?? ? 上递减,在 ? 2 ? ?

1 u 而 f (u ) ? ( ) 在R上是减函数。 x 2 ?3 x ? 2 2 1 3? ? ? ?, ? 上 所以, f ( x) ? 2 在? 2? ?

是增函数。在

?3 ? ,?? ? ?2 ? ?

上是减函数。

例4:求 解:

y ? 0.3

x2 ?2 x?1

的单调区间.

设 y ? 0.3u由u∈R, u=x2-2x-1, 解得原复合函数的定义域为x∈R. 因为y ? 0.3u在定义域R内为减函数,所以由二 次函数u=x2-2x-1的单调性易知,u=x2-2x- 1=(x-1)2-2在x≤1时单调减,由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1, (u减) 解得x≤1.所以(-∞,1]是复合函数的单调 增区间.同理[1,+∞)是复合函数的单调减区 间.

?

复合函数的单调性小结

复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断: (1) 将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与u=g(x)。其 中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域; (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性; (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增 函数,或都是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数; (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是 增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)]为 减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话:“同增异减”。

四、函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 2.偶函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? f ( x) 3.奇函数和偶函数的必要条件:
定义域关于原点对称.

注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定
义域区间是否关于原点对称!

奇(偶)函数的一些特征
1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则
f(0)=0.

2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上 不改变单调性. 3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改
变单调性

例12 判断下列函数的奇偶性

(1) f ?x? ? x ? 1 ? x ? 1

3 ( 2) f ? x ? ? 2 x

1 (3) f ? x ? ? x ? x

(4) f ?x? ? x , x ? ?? 2,3?
2

例13 已知f ( x)是奇函数. 且当x ? 0时, f ( x) ? x(1 ? x);

( )求x ? 0时, f ( x)表达式; 1

(2)求f ( x).

例14

f ? x ? 是定义在 ? ?11? 上的减函数, ,

若f ? 2 ? a ? ? f ? 3 ? a ? ? 0, 求a的取值范围

例15 已知f ? x ? 是定义在区间? ?11? 上的 , 奇函数,在区间? 0, 上是减函数,且 1? f ?1 ? a ? ? f ?1 ? 2a ? ? 0, 求实数a的取值范围.

函数的图象
1、用学过的图像画图。 2、用某种函数的图象变形而成。

(1)关于x轴、y轴、原点对称关系。
(2)平移关系。

(3)绝对值关系。

反比例函数
k>0 1、定义域 2、值域 .

k y? x
k<0
(??, 0)(0,+?) ?

(??,0)(0,+?) ?

3、图象

二次函数 y ? ax ? bx ? c
2

a>0 1、定义域 2、值域 .
4ac ? b [ 4a
2

a<0
R.

, ? ?)

4ac ? b 2 ( ??, ] 4a

3、图象

指数函数
a>1 1、定义域 2、值域 .

y ? ax

(a > 0,a ? 1)
0<a<1

R.

R+

3、图象 y y

1

1

o

x

o

x

对数函数 y ? log
a>1 1、定义域 2、值域 .

a

x

其中 a > 0且a ? 1
0<a<1 R+

R
y y

3、图象

o

1

x

o

1

x

在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x2, y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象:

a f ?x? ? x ? x

a .函数 f ? x ? ? x ? (a>0)的大致图像 x
y

2 a ? a
0

a ?2 a

x

利用所掌握的函数知识,探究函数 a (a>0)的性质. f ?x? ? x ?
x

1. 定义域 2.奇偶性

(-∞,0) ∪(0 ,+∞) 奇函数 f(-x)=-f(x)

a 3.确定函数 f ? x ? ? x ? (a>0)的单调区间 x

⑴. 当x∈ (0 ,+∞)时,确定某单调区间
任取x1 ,x2 ? (0, ? ?), x1 <x2 . a a 则 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x2 ? ? ( x1 ? ) x2 x1 a( x1 ? x2 ) ( x1 x2 ? a ) ? ( x2 ? x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) x1 x2 x1 x2

上式中x2 ? x1 ? 0,为使上式符号确定,

对任意x1?x2 , x1 x2 ? a或x1 x2 <a都成立.

当x1 x2 >a时,由x1 ,x2是任意的,知x1 ,x2可 无限接近.而x1 ,x2在同一个区间取值, 知x1 ,x2 ? ( a,+?)时,x1 x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f ( x1 ). 所以x ? ( a,+?)时,f(x)是增函数. 同时可知,x ? (0, a )时,f(x)是减函数.

⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
由f ? x ? 是奇函数,图像关于原点对称. 所以f ? x ? 在( ? ?,- a )是增函数, 在(- a ,0)是减函数. a 综上,函数 f ? x ? ? x ? (a>0)的单调 x 区间是

f ? x ? 在(- a ,0),(0, a )是减函数.

在( ? ?,- a ),( a ,+?)是增函数,

单调区间的分界点为: a的平方根

a 4.函数 f ? x ? ? x ? (a>0)的大致图像 x
y

2 a ? a
0

a ?2 a

x

a 5.函数f ? x ? ? x ? (a>0)的值域 x

?

??, ?2 a ? ? ?2 a , ?? ? ?

?

7 1.已知函数 f ? x ? ? x ? x
(1).x ? ?1, 2? , 求f ? x ?的值域.
(2).x ? ? 2, 4? , 求f ? x ?的最小值.

(3).x ? ? ?7, ?3? , 求f ? x ?的值域.

7 解:函数f (x) ? x ? 在 0, 7 , ? 7,0 递减 x 在 ? 7 , ? ? , ??, ? 7 ? 递增 ? ? (1).在x ? ?1, 2? 是减函数 ? f (2) ? f ( x) ? f (1)
1 即 ? f ( x) ? 8 2 ?1 ? ? 值域为 ? , 8? ?2 ?

?

?? ??

?

(2).分析知x ? 7 ? ? 2, 4? , f ( x)的最小值为f ( 7)
(3).在x ? ? ?7, ?3? 是增函数 ? f (?7) ? f ( x) ? f (?3) 16 16 ? ? 即-8 ? f ( x) ? ? ? x ? ? ?7, ?3? 值域为 ??8, - ? 3 3? ?

? f ( x)在x ? ? 2, 4? 最小值为2 7

2.已知函数 f ? x ? ? 2 ,求f(x)的最小值,并 x ?4 求此时的x值.
解:原函数化为f ? x ? ?
2

x ?5
2

x ? 4 ?1
2

x ?4
2

? x ?4?
2

1 x ?4
2

1 令t ? x ? 4 ? y=t+ ,(t ? 2) 此函数在 ?1,+? ? 递增 t 1 5 2 ? y min ? 2 ? ? , 此时t ? 2 ? 2 ? x ? 4 ? x ? 0 2 2 5 即f ? x ? ? 时, x ? 0 2

3.建筑一个容积为800米3,深8米的长方体 水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米2 和2a元/ 米2.底面一边长为x米,总造价为y. 写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时 总造价y最低,是多少?
解:长方体底面积S=100米 ,
2

100 底面另一边长为 x 200 池壁总面积为8 ? (2 x ? )米2 x

200 总造价y ? 100 ? 2a ? (2 x ? ) ?8? a x 100 ? 200a ? 16a ( x ? ) ( x ? 0) x
100 函数t ? ( x ? ) 在 ? 0,10? 是减函数, x 在 ?10,+? ? 是增函数 ? 在x=10时,t最小值为20 ? y min ? 520a (元)

答:底面一边长为10米时,总造价最低,为520a元.

函数图象与变换 1.平移变换 (1)水平方向的变换: y=f(x+a)的图象可由y=f(x)的图象沿x轴向左平移(a>0)或 向右平移(a<0)|a|个单位而得到.

(2)竖直方向的变换: y=f(x)+b的图象可由y=f(x)的图象沿y轴向上平移(b>0)或 向下平移(b<0)|b|个单位而得到.

2.对称变换 (1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. (4)y=|f(x)|的图象是保留y=f(x)图象中位于x轴上方的 部分及与x轴的交点,将y=f(x)的图象中位于x轴下 方的部分翻折到x轴上方去而得到. (5)y=f(|x|)的图象是保留y=f(x)中位于y轴右边部分及 与y轴的交点,去掉y轴左边部分而利用偶函数的性 质,将y轴右边部分以y轴为对称轴翻折到y轴左边去 而得到.

[例 1] 作出下列函数的图象: 2-x (1)y= ;(2)y=|x2-2x|;(3)y=x2-2|x|. x-1

2-x x-2 x-1-1 1 (1)原函数 y= =- =- =-1+ , x-1 x-1 x-1 x-1 1 因此,先作函数 y=x 的图象,再将其向右、向下各平移 1 个 2-x 单位,得函数 y= 的图象,如图所示. x-1

[例 1] (1)y=

作出下列函数的图象: 2-x ;(2)y=|x2-2x|;(3)y=x2-2|x|. x-1

(2)先作函数y=x 2-2x的位于x轴上方的图象,再 作x轴下方图象关于x轴对称的图象,得函数y= |x2-2x|的图象,如图所示.

[例 1] (1)y=

作出下列函数的图象: 2-x ;(2)y=|x2-2x|;(3)y=x2-2|x|. x-1

(3)先作函数y=x 2-2x位于y轴右边的图象,再作 关于y轴对称的图象,得到函数y=x2-2|x|的图 象,如图所示.

例 作函数的图象

(1) y ? log a (? x) (2) y=log a (x+1)

a>1 a>1

y

y

o

1

x

o

1

x

抽象函数问题
概念 题型特点 解题思路 抓住函数中的某 些性质,通过局 部性质或图象的 局部特征,利用 常规数学思想方 法(如类比法、 赋值法添、拆项 等)。

没有具体给出函 数解析式但给出 某些函数特性或 相应条件的函数

高考题和平时的 模拟题中经常出 现。 抽象性较强; 综合性强; 灵活性强; 难度大。

【例 1】若奇函数 f ( x) ( x ? R) ,满足 f (2) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (1) 等于( ) A.0 B.1 C. ?
1 2

一、研究函数性质“赋值” 策略 对于抽象函数,根据函数的概念 和性质,通过观察与分析,将变 量赋予特殊值,以简化函数,从 而达到转化为要解决的问题的目 的。
D.
1 2

解:对于 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,令 x ? ?1 ,得 f (1) ? f (?1) ? f (2) 即 f (1) ? ? f (1) ? 1 ,
1 从而 2 f (1) ? 1 ,所以 f (1) ? ,选 D。 2

(1)令x=?,-2,-1,0,1,2,?等特殊值求 抽象函数的函数值; (2)令x=x2,y=x1或y= 抽象函数的单调性;
1 x1

,且x1<x2,判断

(3)令y=-x,判断抽象函数的奇偶性; (4)换x为x+T,确定抽象函数的周期;
1 x x (5)用x= 2 + 2 或 x 换为x等来解答抽象

函数的其它一些问题.

【 例 2 】 设 对 任 意 实 数 x1 、 x2 , 函 数 y ? f (x) ( x ? R, x ? 0) 满 足

f ( x1) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) 。
(1)求证: f (1) ? f (?1) ? 0 ; (2)求证: y ? f (x) 为偶函数。

解: (1)令 x1 ? x2 ? 1 ,得 f (1) ? f (1) ? f (1?1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 。 令 x1 ? x2 ? ?1 ,得 f (?1) ? f (?1) ? f (1) ? 0 ,所以 f (?1) ? 0 。 (2)令 x1 ? x2 ? x ,得 2 f ( x) ? f ( x 2 ) , 令 x1 ? x2 ? ?x ,得 2 f (?x) ? f ( x 2 ) ,从而我们有: f (? x) ? f ( x) , 所以, y ? f (x) 为偶函数。

例3: 已知f (x) 对一切x,y, 满足

时f ( x) ? 1 0 ; 求证: (1) x ? 0时,? f ( x) ? 1
(2) f ( x)在R上为减函数

f (0) ? 0,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)且当x ? 0

证明: 对一切x,y ? R 有f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ?
且f (0) ? 0 令x ? y ? 0 ,得f (0) ? 1
现设x ? 0则 ? x ? 0 那么f (?x) ? 1
令y ? ? x得 f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 1
? f (? x) ? 1 ? 1 ? 0 ? f ( x) ? 1 f ( x) 设x1,x2 ? R且x1 ? x2 则0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,

f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即f (x)为减函数。

二、求参数范围“穿脱”策略 加上函数符号即为“穿”,去掉函 数符号即为“脱”。对于有些抽象 函数,可根绝函数值相等或者函数 的单调性,实现对函数符号的“穿 脱”,以达到简化的目的。
都有
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 1.

【例 3】 已知函数 f (x) 是定义在 (0,??) 上的增函数, 且满足对于任意的正实数 x 、y ,

(1)求 f (8) 的值; (2)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3.

【例 3】已知函数 f (x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且满足对于任意的正 实数 x 、 y ,都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 1.
(1)求 f (8) 的值; (2)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3.
解: (1) f (2) ? 1 ? f (4) ? 2 ? f (8) ? 3 (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? f (8) ? f ( x) ? f [8( x ? 2)] 由函数 f (x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,则 x ? 8( x ? 2) 即 x ?
16 , 7

?x ? 0 16 x ? 2 ,从而不等式的解集为 ( 2, ) 。 依题设,有 ? ,? 7 ?x ? 2 ? 0

三、 “模型”策略 模型化策略,就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型,作 出目标猜想,利用模型函数的有关性质去探索解题方法。对于选择、填空题,可用 模型函数解决;对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。

知识再现:
? 1、抽象函数关系式

相应的模型函数
y=ax+b y=a(x-m)2+n y=ax(a>0且

? ? ? ? ? ?

f(x+y)=f(x)+f(y)-b f(m-x)=f(m+x) f(x+y)=f(x)f(y) f(xy)=f(x)+f(y) f(x/y)=f(x)-f(y) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

a ?) 1 1 y=logax(a>0且 a ?)
同上

温 故 知 新

一、一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y)
x 例1:已知函数f ( x)对任意的实数 , y都有
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)且当x ? 0时 f ( x) ? 0,f (?1) ? ?2求f ( x)在 ?2, [ 1] 上的值域

解:由f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)得,( x) ? f ( x ? y) ? f ( y) f
任取x1 , x2且x1 ? x2
则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? y) ? f ( y) ? [ f ( x2 ? y) ? f ( y)]

? f ( x1 ? y) ? f ( x2 ? y) ? f ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 则根据题意有 ( x1 ? x2 ) ? 0 f

令y ? ? x, 则f (0) ?

?函数f ( x)在x ? R为增函数
f ( x) ? f (? x) 又令x ? y ? 0

得f (0) ? 0 ? f ( ? x ) ? ? f ( x ) 故,f (1) ? ? f (1) ? 2 f ( ?2) ? 2 f ( ?1) ? ?4

? f ( x)在[?2,上的值域为:4, 1] [? 2]

解法2:设x1 ? x2且x1,x2 ? R
? f ( x2 ? x1 ) ? 0
则x2 ? x1 ? 0 由条件知当, ? 0时,f ( x) ? 0, x

又? f ( x2 ) ? f [(x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)为x ? R的增函数。

已知函数f ( x)对任意x, y ? R有 例2: f ( x) ? f ( y ) ? 2 ? f ( x ? y ),当x ? 0时,f ( x) ? 2 f (3) ? 5, 求不等式f ( a 2 ? 2a ? 2) ? 3的解集。

f( 由 解: f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? 2得,x) ? f ( x ? y) ? f ( y) ? 2
任取x1 , x2且x1 ? x2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? y) ? f ( y) ? 2 ? [ f ( x2 ? y) ? f ( y) ? 2]

? f ( x1 ? y) ? f ( x2 ? y) ? f ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 则根据题意有 ( x1 ? x2 ) ? 0 f
?函数f ( x)在x ? R为增函数

又f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 3 f (1) ? 4 ? 5

? f (1) ? 3 则f (a 2 ? 2a ? 2) ? f (1)

即a 2 ? 2a ? 2 ? 1
? ?1 ? a ? 3

因此不等式 (a 2 ? 2a ? 2) ? 3的解集为: | ?1 ? a ? 3} f {a

二. 指数函数模型:f(x+y)=f(x)?f(y)
例3: 已知f (x) 对一切x,y, 满足
时f ( x) ? 1 0 求证: (1) x ? 0时,? f ( x) ? 1;
(2) f ( x)在R上为减函数

f (0) ? 0,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 且当x ? 0

证明: 对一切x,y ? R 有f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ?
且f (0) ? 0 令x ? y ? 0 ,得f (0) ? 1
现设x ? 0则 ? x ? 0 那么f (?x) ? 1
令y ? ? x得 f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 1
? f (? x) ? 1 ? 1 ? 0 ? f ( x) ? 1 f ( x) 设x1,x2 ? R且x1 ? x2 则0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,

f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即f (x)为减函数。

三. 对数函数模型:f(x?y)=f(x)+f(y) 已知函数f ( x)满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ), ( x ? 0) 例4:
1.求证:f (1) ? f (?1) ? 0; 2.求证:f ( x) ? f (? x); 3.若f ( x)在(0,??)上是增函数,解不等式
f ( x) ? f ( x ? 1 )?0 2

解:1.令x ? y ? 1得f (1) ? 0 再令x ? y ? ?1得f (?1) ? 0
2.令y ? ?1得f ( x) ? f (? x) 3. f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)得 : ? f ( x) ? f ( y) ? f ( xy) 由 1 1 令y ? 代入上式得 : ? f ( x) ? f ( ) x x 1 1 1 1 由f ( x) ? f ( x ? ) ? 0得 : f ( x ? ) ? ? f ( x) 即f ( x ? ) ? f ( ) 2 2 2 x 因为f ( x)在(0,??)为增函数得:

x ? 0

1 ?0 2 1 1 x? ? 2 x x?

1 1 ? 15 解得: ? x ? 2 4

四、 “数形”策略 一般地讲,抽象函数的图象为示意图居多,有的示意图可能只能根据题意作出 n 个孤立的点,但通过示意图却使抽象变形象化,有利于观察、对比、减少推理、减小 计算量等好处。

【例 5】若函数 f(x)为奇函数,且在(0,+ ? )内是增函数,又 f(2)=0,
f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为( 则 x



A. (-2,0) ?(0,2) B. ? ,-2)?(0,2) (C. ? ,-2)?(2,+ ? )D. ((-2,0)?(2,+ ? )

分析:因为 f(x)是定义域上的奇函数,所以 f(x)的图像关于原点对称。根据题设条
f ( x) ? f (? x) f ( x) ?0? ? 0 得: 与 f(x) 件可以作出函数 f(x)在 R 上的大致图象, 由 x x x

异号。由图像可得解集为(-2,0) ? (0,2),选择(A)。

【专项练习】 1.给出四个函数,分别满足① f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ;② g ( x ? y) ? g ( x) g ( y) ; ③ h( xy) ? h( x) ? h( y) ;④ t ( xy) ? t ( x)t ( y) ,又给出四个函数图象



正确的匹配方案是(

) (B)①—乙②—丙③—甲④—丁 (D)①—丁②—甲③—乙④—丙

(A)①—丁②—乙③—丙④—甲 (C)①—丙②—甲③—乙④—丁

2. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x, y∈R), x<0 时, f (x)>0, 当 , 则函数 f (x)在[a,b]上 A 有最小值 f (a) B 有最大值 f (b) C 有最小值 f (b) ( )
a?b ) 2

D 有最大值 f (

3. 设函数 f ? x ? 的定义域为R,且对 x, y ? R, 恒有 f ? xy ? ? f ? x? ? f ? y ? , 若 f ? 8? ? 3, 则f
1 A. ? 2

? 2? ?(


1 C. 2 1 D. 4

B.1

4.若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是(
3 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2 3 B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 3 D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2



5.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n? , 且当 x ? 0 时,0 ? f ? x ? ? 1. (1)试举出一个满足条件的函数 f ? x ? ; (2)试求 f ? 0 ?
1 的 值; )判 断 f ? x ? 的 单调 性并 证明 你的 结论 ; 4) 若 f (1) ? , 解 不等 式 (3 ( 2 1 f (2 x ? 1) ? . 8
【参考解答】D C C D 5. 不等式的解集为 {x | x ? 2} 。

6. 已知 f ( x ) 是定义在( ?1,1 )上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足 f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 , 试确定 a 的取值范围。

7.已知 f ( x) 是定义在 (??,1] 上的减函数,若 f (m2 ? sin x) ? f (m ? 1 ? cos2 x) 对 x ?R 恒 成立,求实数 m 的取值范围。
?m 2 ? 3 ? 1 ? ?? 2 5 ?m ? m ? 1 ? 4 ? 1 ? 10 ?? 2 ? m ? 为所求。 2

8. 已知函数 f ( x ) 对任意 x,y ? R 有 f ( x) ? f ( y) ? 2 ? f ( x ? y) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ,
f (3) ? 5 ,求不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 的解集。

不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 的解集为 ?a|?1 ? a ? 3? 。

内容小结
以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思想,当 然对于用常规思想难以解决的 数学问题,若利用一些特 殊的数学思想方法求解,如合理赋值、类比联想;添、拆 项;归纳猜想等等。处理这类问题时,常需将几种解题思 想综合运用,"多管齐下"。通过抽象型函数问题的解题 思想的探求,提高解题能力,培养思维的灵活性,最终达 到创新思想的培养。


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