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及坐标参数方程教案


课题 课型 新授课 知识与技 能 教 学 目 标 过程与方 法 情感态度 与价值观 重点 难点 教学方法 课时

柱坐标系与球坐标系简介
备课时间

1. 了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中 点的位置的方法 2. 了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

用三个数据来确定卫星的位置, 即卫星到地球中心的距离、 经度、纬度。

体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 利用它们进行简单的数学应用

启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、复习引入: 情境: 我们用三个数据来确定卫星的位置, 即卫星到地球中心的距离、 经度、 纬度。 问题:如何在空间里确定点的位置?有哪些方法? 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课: 1、球坐标系 设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q,连接 OP,记| OP |= r ,OP 与 OZ 轴正向所夹的角为 ? ,P 在 oxy 平面的射影为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转 到 OQ 时所转过的最小正角为 ? ,点 P 的位置可以用有序数组 (r ,? , ? ) 表示,我 们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组 (r ,? , ? ) 叫做点 P 的球坐标,其中 r ≥0,0≤ ? ≤ ? ,0≤ ? <2 ? 。 空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r ,? , ? ) 之间的变换关系为:
?x 2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos? ? 2、柱坐标系 设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q,用(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ <2 π )表示点在 平面 oxy 上的极坐标,点 P 的位置可用有序数组(ρ ,θ ,Z)表示把建立上述对应 关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点 P 的柱坐标,其中ρ ≥0, 0≤θ <2π , z∈R 空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ ,θ ,Z)之间的变换关系为:

3、数学应用 例 1 建立适当的球坐标系,表示棱长为 1 的正方体的顶点.

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? ? z?z ?

变式训练 建立适当的柱坐标系, 表示棱长为 1 的正方体的顶点. ? 5? 例 2.将点 M 的球坐标 (8, , ) 化为直角坐标. 3 6 变式训练 1.将点 M 的直角坐标 (?1,?1, 2 ) 化为球坐标. 2.将点 M 的柱坐标 ( 4,

?
3

,8) 化为直角坐标.

3.在直角坐标系中点 (a, a, a) (a >0)的球坐标是什么? 例 3.球坐标满足方程 r=3 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方 程.

变式训练 标满足方程 ? =2 的点所构成的图形是什么? 例 4.已知点 M 的柱坐标为 ( 2 ,

?
4

,3), 点 N 的球坐标为 (2,

? ?

, ), 求线段 MN 的长度. 4 2

? ? ? ? 思考:在球坐标系中,集合 M ? ?(r ,? , ? ) 2 ? r ? 6,0 ? ? ? ,0 ? ? ? 2? ? 表示的图 2 ? ? ?

形的体积为多少? 三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.球坐标系的作用与规则; 2.柱坐标系的作用与规则。 五、课后作业:教材
教学反思

课题 课型 新授课 知识与技 能 教 学 目 标 过程与方 法 情感态度 与价值观 重点 难点 教学方法

第二章
课时

参数方程
备课时间

1. 通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写 出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。
2.分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养探究意识。 培养探究、合作交流精神

根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。 根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。

启发诱导,探究归纳

教学过程:(一).参数方程的概念 1.问题提出:铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为 成 ? 角,如何来刻画铅球运动的轨迹呢? 2.分析探究理解: (1)、斜抛运动:
y v=v0

?

0 ,与地面

? x ? v0 cos? ? t ? ? 1 2 (t为参数) ? y ? v0 sin ? ? t ? 2 gt ?

?
O x

(2)、抽象概括:参数方程的概念。说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有 限制的。 (2)参数是联系变量 x,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。 (3)平抛运动:
y 500 v=100m/s A

? x ? 100t ? ? 1 2 (t为参数) ? y ? 500 ? 2 gt ?

O

x

(4)思考交流:把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数 t 后, 再将所得方程与原方程进行比较,体会参数方程的作用。 (二)、应用举例:

? x ? 3t 例 1、已知曲线 C 的参数方程是 ? (t 为参数)(1)判断点 2 ? y ? 2t ? 1

M

1

(0,1),

M 2 (5,4)与曲线 C 的位置关系;(2)已知点 M 3 (6,a)在曲线 C 上,求 a 的值。
分析:只要把参数方程中的 t 消去化成关于 x,y 的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于 x,y 的方程问题求解。

例 2、设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆做匀速(角速度)运动,角速度为

? 60 rad/s,试以时间 t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程。
解析:如图,运动开始时质点位于 A 点处,此时 t=0,设动点 M(x,y)对应时刻 t,

由图可知

{

x ?2cos? y ? 2sin?

? 又? ? 60 t ,得参数方程为

{

? x ? 2 cos 60 t ? y ? 2sin 60 t

(t ? 0) 。

反思归纳:求曲线的参数方程的一般步骤。 (三)、课堂练习: (四)、小结:1.本节学习的数学知识;2、本节学习的数学方法。学生自我反思、 教师引导,抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。 (五)、作业:
补充:设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行,若在飞行高度 h=588m 处投弹(设投弹的初速度 等于飞机的速度,且不计空气阻力)。(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程;(2)试问飞机在 离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标。 简解:(1) ?
x ? 150t 2 ? y ? 588 ? 4.9t ? (t为参数) 。(2)1643m。

教学反思

课题 课型

第二课时
新授课 知识与技 能 课时

圆的参数方程及应用
备课时间

分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。利 用圆的几何性质求最值(数形结合) 能选取适当的参数,求圆的参数方程 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

教 学 目 标

过程与方 法 情感态度 与价值观

重点 难点 教学方法

能选取适当的参数,求圆的参数方程 选择圆的参数方程求最值问题. 启发、诱导发现教学.

教学过程:(一)、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程,教师准对问题讲评。

? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?

(?为参数) 这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。

说明:(1)参数θ 的几何意义是 OM 与 x 轴正方向的夹角。(2)随着选取的参数不 同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。(3)在建立曲线的参数方程 时,要注明参数及参数的取值范围。

?x ? 2 cos? ? 5 2、指出参数方程 (?为参数)所表示圆的圆心坐标、 半径,并化为普通方程 。 ? ? y ? 3 ? 2 sin ?
8 6 4
P

2

A

-10

-5

C

5

10

-2

c1
-4

-6

-8

3、若如图取<PAX=θ ,AP 的斜率为 K,如何建立圆的参数方程,同学们讨论交流, 自我解决。 结论:参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。 4,反思归纳:求参数方程的方法步骤。 (二)、应用举例 例 1、已知两条曲线的参数方程

45 c1 : ?y ?5sin? (? 为参数)和c 2 : ?y ?3?t sin 450 (t为参数)

x ?5cos?

x ? 4 ? t cos

0

(1)判断这两条曲线的形状;(2)、求这两条曲线的交点坐标。学生练习,教师 讲评。 (三)、最值问题:利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值(数形结合) 例 2、已知点 P(x,y)是圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 12 ? 0 上动点,求(1) x 2 ? y 2 的最 值, (2)x+y 的最值, (3)P 到直线 x+y- 1=0 的距离 d 的最值。

解 : 圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 12 ? 0 即 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 , 用 参 数 方 程 表 示 为
{ x ? 3 ? cos? y ? 2 ? sin ?

由于点 P 在圆上,所以可设 P(3+cosθ ,2+sinθ ),

(1) x 2 ? y 2 ? (3 ? cos? ) 2 ? (2 ? sin ? ) 2 ? 14 ? 4 sin ? ? 6 cos? ? 14 ? 2 13 sin(? ? ? ) (其中 tan ? =
3 ) ∴ x 2 ? y 2 的最大值为 14+2 2

13 ,最小值为 14- 2 13



? (2) x+y= 3+cosθ + 2+sinθ =5+ 2 sin θ + 4 ) x+y 的最大值为 5+ ( ∴
最小值为 5 - 2 。

2



2、 过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦:为最长的直线方程是 _________;为最短的直线方程是__________; 3、若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值为 (三)、课堂练习: 1、方程 x 2 ? y 2 ? 4tx ? 2ty ? 5t 2 ? 4 ? 0 (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D) A.一个定点 2、已知 ? B.一个椭圆 C.一条抛物线 的最大值是 6。 D.一条直线 。

? x ? 2 ? cos? (?为参数) ,则 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 ? y ? sin?

8.曲线 x 2 ? y 2 ? 2 y 的一个参数方程为 ? (四)、小结:
(五)、作业:

? x ? cos? (?为参数) ? y ? 1 ? sin?

教学反思

课题 课型 新授课 知识与技 能 教 学 目 标 过程与方 法 情感态度 与价值观 重点 难点 教学方法 课时

第三课时

圆锥曲线的参数方程
备课时间

1.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 2.能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 通过观察、探索、发现的过程,理解圆锥曲线的参数方程 通过观察、探索、发现的过程,培养合作交流意识。

圆锥曲线参数方程的定义及方法 选择适当的参数写出曲线的参数方程. 、探索、发现教学.

教学过程:(一)、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

? x ? r cos? (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? (2) ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为:? 圆 ? y ? y 0 ? r sin ?
2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? (二)、讲解新课: 1.椭圆的参数方程推导:椭圆
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

( ? 为参数)

? x ? a cos? ( ? 为参 ? ? y ? b sin ?

数),参数 ? 的几何意义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正 半轴的夹角。

6

5

4

3

A

2

1

M

-8

-6

-4

-2 -1

O

L1

2

N

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

-7

2.双曲线的参数方程的推导:双曲线 为参数)

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a sec? (? ? ? y ? b tan?

2500

2000
Q P

1500
B

1000

500

A

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

M

4000

5000

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-3000

-3500

参数 ? 几何意义为以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴 的夹角。
? x ? 2 Pt 2 3.抛物线的参数方程:抛物线 y ? 2Px 参数方程 ? (t 为参数),t ? y ? 2 Pt
2

为以抛物线上一点(X,Y)与其顶点连线斜率的倒数。 (1)、关于参数几点说明:
A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程求法:(A)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ;(B)选 取适当的参数;(C)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的 函数式;(D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程

4、椭圆的参数方程常见形式:(1)、椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
的 参

? x ? a cos? (? 为 ? ? y ? b sin ?
数 方 程 是













2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 2 2 b a

?

x ?b cos? y ?a sin?

(?为参数,且0 ? ? ? 2?).
x ,y ) 为中心焦点的连线平行于
0 0

(2)、以 (
x?

x 轴的椭圆的参数方程是

x 0 ? a cos? {y ? y ?b sin? (? 为参数) 。 0

(3)在利用 ?

? x ? a cos? 研究椭圆问题时,椭圆上的点 ? y ? b sin ?

的坐标可记作(acos ? ,bsin ? )。

(三)、巩固训练 (四)、小结:
(五)、作业:

教学反思

课题 课型 新授课 知识与技 能 教 学 目 标

第四课时
课时

圆锥曲线参数方程的应用
备课时间

1. 利用圆锥曲线的参数方程来确定最值, 解决有关点的轨迹问题 2. 选择适当的参数方程求最值。 通过观察、探究、利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,

过程与方 法 情感态度 与价值观

解决有关点的轨迹问题 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

重点 难点 教学方法

选择适当的参数方程求最值。 正确使用参数式来求解最值问题

讲练结合,探析归纳

教学过程: (一)、复习引入: 通过参数 ? 简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角 问题,从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值,参数取值范围等问 题。 (二)、讲解新课: 例 1、双曲线{
x ?2 3 tan ? y ?6sec?

(?为参数)的两焦点坐标是



答案:(0,-4 3 ),(0,4 3 )。学生完成。

e ?e 例 2、方程{ y ? t ? ? t e e
x ?
2

x?

t

?t

(t 为参数)的图形是 双曲线右支



学生练习,教师准对问题讲评。反思归纳:判断曲线形状的方法。

例 3、设 P 是椭圆 36

y
4

2

? 1 在第一象限部分的弧 AB 上的一点,求使四边

形 OAPB 的面积最大的点 P 的坐标。 分析:本题所求的最值可以有几个转化方向,即转化为求

s

?POA?

s

?poB ,

S

OAPB

的最大值或者求点 P 到 AB 的最大距离,或者求四边形

OAPB 的最大值。

学生练习,教师讲评。【 ? =

? 4

时四边形 OAPB 的最大值=6

2 ,此时点 P 为(3 2 ,2)。】

(三)、巩固训练 1、 直线 ? A. 或 2、椭圆
? 6
? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切, 那么直线的倾斜角为 (A) ? y ? t sin? ? y ? 2 sin?

5? 6

B. 或

? 4

3? 4

C. 或

? 3

2? 3

D. ?

? 5? 或? 6 6

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )与 x 轴正向交于点 A,若这个椭圆上存在点 P, a2 b2

使 OP⊥AP,(O 为原点),求离心率 e 的范围。 3、抛物线 y 2 ? 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点,其重心恰是抛物线的焦点, 求内接三角形的周长。 4 、 设 P 为 等 轴 双 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1 上 的 一 点 , F1 , F2 为 两 个 焦 点 , 证 明
F1 P ? F2 P ? OP
2

5、求直线 ?

?x ? 1 ? t ?y ? 1? t

(t为参数) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的交点坐标。

解:把直线的参数方程代入圆的方程,得(1+t)2+(1-t)2=4,得 t=±1,分别代

入直线方程,得交点为(0,2)和(2,0)。 (三)、小结:本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的 轨迹问题, 选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题,要求理解和掌 握求解方法。 (四)、作业:

教学反思

课题 课型 新授课 知识与技 能 教 学 目 标 过程与方 法 情感态度 与价值观 重点 难点 教学方法

直线的参数方程
课时 备课时间 了解直线参数方程的条件及参数的意义 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义

通过观察、探索、培养合作交流意识。 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

曲线参数方程的定义及方法 选择适当的参数写出曲线的参数方程.

教学过程 (一)、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

? x ? r cos? 圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? (2) ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为:? 圆 ? y ? y 0 ? r sin ?
2.写出椭圆参数方程.

( ? 为参数)

3.复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直 线的参数方程? (二)、讲解新课:

1、问题的提出:一条直线 L 的倾斜角是 30 ,并且经过点 P(2,3),如 何描述直线 L 上任意点的位置呢? 如果已知直线 L 经过两个 定点 Q(1,1),P(4,3), 那么又如何描述直线 L 上任意点的 位置呢? 2、教师引导学生推导直线的参数方程: (1)过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的 参数方程
? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

0

( t 为参数)

【辨析直线的参数方程】:设 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 t 的几何意义是指从点 P 到点 M 的位移,可以用有向线段 PM 数量来表示。带符号. (2)、经过两个定点 Q (
x? y?
x1?? X 2 1?? y1?? y 2 1??

???? ?

x , y ) ,P ( x , y ) (其中 x ? x
1 1 2 2

1

2

)的直线的参数方程为

{

(?为参数,? ? ?1) 。其中点 M(X,Y)为直线上的任意一点。这里参数 ? 的几何意
??? ?
QM

义与参数方程(1)中的 t 显然不同,它所反映的是动点 M 分有向线段 QP 的数量比 MP 。 当 ? ? o 时,M 为内分点;当 ? ? o 且 ? ? ?1 时,M 为外分点;当 ? ? o 时,点 M 与 Q 重合。

(三)、直线的参数方程应用,强化理解。 1、例题讲评: 1、 直线 ? A. 或
? 6
? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切, 那么直线的倾斜角为 (A) ? y ? t sin? ? y ? 2 sin?

5? 6

B. 或

? 4

3? 4

C. 或

? 3

2? 3

D. ?

? 5? 或? 6 6

? x ? 1 ? 2t , 2、(坐标系与参数方程选做题)若直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 ? y ? 2 ? kt. ? x ? s, ( s 为参数)垂直,则 k ? . l2 : ? ? y ? 1 ? 2s. ? x ? 1 ? 2t , k 解:直线 l1 : ? (t为参数) 化为普通方程是 y ? 2 ? ? ( x ? 1) , 2 ? y ? 2 ? kt.
该直线的斜率为 ?
k , 2

? x ? s, 直线 l2 : ? ( s 为参数)化为普通方程是 ? y ? 1 ? 2s.

y ? ?2 x ? 1 ,该直线的斜率为 ? 2 ,

? k? 则由两直线垂直的充要条件,得 ? ? ? ? ?? 2? ? ?1 , ? 2?

k ? ?1 。

(四)、小结:(1)直线参数方程求法;(2)直线参数方程的特点;(3)根 据已知条件和图形的几何性质,注意参数的意义。
(五)、作业:

教学反思



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