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四川省双流中学2016届高三数学5月月考试题 理


四川省双流中学 2016-2017 学年度高三 5 月月考试题 数学(理工农医类)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.设复数 z ?

2 ,则在复平面内 i ? z 对应的点坐标为 ( ?1? i A . ?1,1? B. ?? 1,1? C. ?? 1,?1?


) D. ?1,?1? ) D. A ? (CI B) ? ? )

2. 集合 A ? y y ? log2 x, x ? 2 , B ? x y ? A. A ? B B. A ? B ? A

?

?

?

x ? 1 ,则 (
C. A ? B ? ?

?

3.已知向量 a , b 满足 a + b ? (5, ?10) , a ? b ? (3, 6) ,则 a,b 夹角的余弦值为(

A.

?

13 13

B.

13 13

C. ?

2 13 13

D.

2 13 13

4.若圆 C1 : x2 ? y 2 ? ax ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2ax ? y tan ? ? 0 都关于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 对称, 则 sin ? cos ? ? ( A. ) B. ?

2 5

2 5

C. ?

6 37

D. ?

2 3

5.下列各命题中正确的命题是 ( ) ①命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题 “ q ”均为真命题;
2 ② 命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 3x0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 3x ”;

③“函数 f ( x) ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件;
2 2

④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ”。 A.②③ B.①②③ C.①②④ D 6. 如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a, 动点 M、N、Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1 上. 当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时, 三棱锥 Q-BM N 的正视图面积等于 ( )
A1 M N C

?

?

? ?

D.③④
1

Q

C1

B1

1 2 a A. 2 2 2 C. a 4

1 2 a B. 4 3 2 D. a 4

D

A

B

正视方向 图2

图1

7.某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、 乙两辆汽车,每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置) ,其中大一的孪生姐妹需乘 同一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有( A. 24 B. 18 C. 48 D. 36
1

)种.

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? 8.设不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域为 D ,点 A(2, 0) ,点 B(1, 0) ,在区域 D 内随机 ?y ? 0 ?
取一点 M ,则点 M 满足 | MA |? 2 | MB | 的概率是 ( A. ) D.

5? 16

B.

3? 16

C.

3? 8

? 4

9. 已知 A, B, P 是双曲线 斜率乘积 k PA ? k PB ? A .

x2 y2 ? ? 1 上的不同三点, 且 AB 连线经过坐标原点, 若直线 PA, PB 的 a2 b2
( C. )

2 ,则该双曲线的离心率 e ? 3
B.

5 2

15 3

10 2

D.

2

2x 10.已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ln x ?

1 ,对 ?a ? R, ?b ? ?0,??? ,使得 f ?a ? ? g ?b? ,则 b ? a 2
C. 2 e ? 1 D. e ? 1

的最小值为 ( A .

) B. 1 ?

1?

ln 2 2

ln 2 2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分。 11.设 1 ? x5 ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? ?? a5 ( x ?1)5 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a5 ?



12.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x ? C 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温, 并制作了对照表 气温( ? C ) 用电量(度)

18
24

13
34

10
38

?1

64

? ? ?2 , 预 测 当 气 温 为 ?4 ? C 时 , 用 电 量 的 度 数 ? ?a ? ? bx ? 中b 由表中数据得回归直线方程 y
是 .

13.已知△ABC 外接圆的圆心为 O ,且 OA ? 3OB ? 2OC ? 0, 则 ?AOC =
2 14 .已知函数 f ? x ? ? x ?

??? ?

??? ?

??? ?

?



1 1 2 a x ? b ? ( a , b 为正实数)只有一个零点,则 ? 的最小值为 4 a b

________.

15 .函数 y ? f ? x? 图象上不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 处的切线的斜率分别是 k A,kB ,规定

? ? A, B ? ?

k A ? kB AB
3 2

( AB 为线段 AB 的长度) 叫做曲线 y ? f ? x ? 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”,

给出以下命题: ①函数 y ? x ? x ? 1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2,则 ? ? A, B ? ? 3 ; ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
2 x

③设点 A,B 是抛物线 y ? x ? 1 上不同的两点,则 ? ? A, B ? ? 2 ; ④ 设 曲 线 y ? e ( e 是 自 然 对数 的 底 数 ) 上 不同 两 点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且x1 ? x2 ? 1 , 若
2

t ?? ? A, B? ? 1恒成立,则实数 t 的取值范围是 ? ??,1? .
其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上) 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人参加某次招聘会,若甲应聘成功的概率为 成功的概率均为 (0 ? t ? 3) ,且三人是否应聘成功是相互独立的. (Ⅰ)若甲、乙、丙都应聘成功的概率是

4 ,乙、丙应聘 9

t 3

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 ? 表示甲、乙两人中被聘用的人数,求 ? 的数学期望.

16 ,求 t 的值; 81

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x)2 ? 1 ,方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 上的解 cos 2 x ? sin 2 x 按从小到大的顺序排成数列 ?an ? (n ? N *) .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
2

3an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的表达式. (4n ? 1)(3 n ? 2)

18.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中, D 是 BC 中点,已知 ?BAD ? ?C ? 90 .
o

(1)判断 ?ABC 的形状;

D C 的三边长是连续三个正整数, (2) 若 ?A 求 ?BAC 的余弦值。
B D

A

C

19.(本小题满分 12 分)如图,BC 为圆 O 的直径,D 为圆周上异于 B、C 的一点,AB 垂直于圆 O 所在 的平面,BE⊥AC 于点 E,BF⊥AD 于点 F. (1)求 证:BF⊥平面 ACD; (2)若 AB=BC=2,∠CBD=45°,求平面 BEF 与平面 BCD 所成锐二面角的余弦值.

3

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆形:

x2 y 2 3 + 2 =1 (a>b>0)的离心率为 ,其左顶点 A 在圆 O: x 2+y 2= 16 上. 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交 点为 Q.是否存在点 P, 使得

PQ =3? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. AP

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? ax(a ? 0) .
2

(1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)证明: (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ?

1 3

1 9

1 ) ? e e ( e 为自然对数的底数, n ? N * ) . n 3

数学(理工农医类)参考答案 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。
4

1.设复数 z ?

2 ,则在复平面内 i ? z 对应的点坐标为 ?1? i A . ?1,1? B. ?? 1,1? C. ?? 1,?1?

( D ) D. ?1,?1? ) D. A ? (CI B) ? ?

2. 集合 A ? y y ? log2 x, x ? 2 , B ? x y ? A. A ? B B. A ? B ? A

?

?

?

x ? 1 ,则 ( C
C. A ? B ? ?

?

3.已知向量 a , b 满足 a + b ? (5, ?10) , a ? b ? (3, 6) ,则 a,b 夹角的余弦值为( D )

A.

?

13 13

B.

13 13

C. ?

2 13 13

D.

2 13 13

? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b) ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? ? 试题分析: a ? ? (4, ?2) , b ? ? (1, ?8) ,则 a, b 的夹角余弦值 2 2 ? ? a ?b 20 2 13 ? ? 为 cos ? ? ? . 故选 D. 考点:向量的基本运算. ? 13 | a|?|b| 20 ? 65
4.若圆 C1 : x2 ? y 2 ? ax ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2ax ? y tan ? ? 0 都关于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 对称, 则 sin ? cos ? ? ( A. ) B. ?

2 5

2 5

C. ?

6 37

D. ?

2 3

【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系及利用同角三角函数的关系式求值,意在考查基本 运算能力. 【答案】B

5.下列各命题中正确的命题是 ( A ) ①命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题 “ q ”均为真命题;
2 ② 命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 3x0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ”;
2

③“函数 f ( x) ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件;
2 2

④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ”。 A.②③ B.①②③ C.①②④ 6. 如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a, 动点 M、N、Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1 上. 当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时, 三棱锥 Q-BM N 的正视图面积等于 ( B )
A1 M N D1

?

?

? ?

D.③④
Q C1

B1

5
D C

A

正视方向
B

图1

图2

1 2 a 2 2 2 C. a 4
A.

1 2 a 4 3 2 D. a 4
B.

7.某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、 乙两辆汽车,每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置) ,其中大一的孪生姐妹需乘 同一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有( )种. A. 24 B. 18 C. 48 D. 36

【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识,考查学生分类讨论,运算能力以及逻辑推理能力.
2 1 1 【答案】A 【解析】分类讨论,有 2 种情形.孪生姐妹乘坐甲车,则有 C3 C2C2 ? 12 种. 孪生姐妹 1 1 1 不乘坐甲车,则有 C3 C2C2 ? 12 种. 共有 24 种. 选 A.

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? 8.设不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域为 D ,点 A(2, 0) ,点 B(1, 0) ,在区域 D 内随机 ?y ? 0 ?
取一点 M ,则点 M 满足 | MA |? 2 | MB | 的概率是 (B) (A)

5? 16

(B)

3? 16

(C)

3? 8

(D)

? 4

9. 已知 A, B, P 是双曲线 斜率乘积 k PA ? k PB ? A .

x2 y2 ? ? 1 上的不同三点, 且 AB 连线经过坐标原点, 若直线 PA, PB 的 a2 b2
( B ) C.

2 ,则该双曲线的离心率 e ? 3
B.

5 2

15 3

10 2

D.

2

2x 10.已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ln x ?

1 ,对 ?a ? R, ?b ? ?0,??? ,使得 f ?a ? ? g ?b? ,则 b ? a 2
C. 2 e ? 1 D. e ? 1

的最小值为 ( A ) A .

1?

ln 2 2

B. 1 ?

ln 2 2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分。 11.设 1 ? x5 ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? ?? a5 ( x ?1)5 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a5 ?
?

.31

12.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x C 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温, 并制作了对照表 气温( ? C ) 用电量(度)

18
24

13

10

?1

34

38

64
6

? ? ?2 , 预 测 当 气 温 为 ?4 ? C 时 , 用 电 量 的 度 数 ? ?a ? ? bx ? 中b 由表中数据得回归直线方程 y
是 .【答案】 68

试题分析:回归直线过 ? x , y ? ,根据题意 x ?

18 ? 13 ? 10 ? ?? 1? ? 10 , 4

y?

24 ? 34 ? 38 ? 64 ? ? 40 ,代入 a ? 40 ? ?? 2? ? 10 ? 60 ,所以 x ? ?4 时, 4

y ? ?? 2? ? ?? 4? ? 60 ? 68 ,所以用电量的度数是 68. 考点:回归直线方程
13.已知△ABC 外接圆的圆心为 O,且 OA ? 3OB ? 2OC ? 0, 则∠AOC=
2 14 .已知函数 f ? x ? ? x ?

??? ?

??? ?

??? ?

?



2 ? 3

1 1 2 a x ? b ? ( a , b 为正实数)只有一个零点,则 ? 的最小值为 4 a b

________. 9+4 2

15 .函数 y ? f ? x? 图象上不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 处的切线的斜率分别是 k A,kB ,规定

? ? A, B ? ?

k A ? kB AB
3 2

( AB 为线段 AB 的长度) 叫做曲线 y ? f ? x ? 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”,

给出以下命题: ①函数 y ? x ? x ? 1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2,则 ? ? A, B ? ? 3 ; ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A,B 是抛物线 y ? x2 ? 1 上不同的两点,则 ? ? A, B ? ? 2 ; ④ 设 曲 线 y ? e x ( e 是 自 然 对数 的 底 数 ) 上 不同 两 点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且x1 ? x2 ? 1 , 若

t ?? ? A, B? ? 1恒成立,则实数 t 的取值范围是 ? ??,1? .
其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上) 15.答案②③.解:①错: A(1,1), B(2,5),| AB |? 17,| kA ? kB |? 7,

?? ( A, B) ?

7 ? 3; ②对:如 y ? 1 ; 17 | 2 xA ? 2 xB | 2 ③对; ? ( A, B) ? ? ? 2 ;④错; 2 2 2 ( xA ? xB )2 ? ( xA ? xB ) 1 ? ( xA ? xB )2
| e x1 ? e x2 | ( x1 ? x2 ) 2 ? (e x1 ? e x2 ) 2 ? | e x1 ? e x2 | 1 ? (e x1 ? e x2 ) 2


? ( A, B) ?

1 ? ( e x1 ? e x2 ) 2 1 1 1 ? ? ? 1 ? 1, 因为 t ? 恒成立,故 t ? 1 . x1 x2 x1 x2 2 ? ( A, B ) |e ?e | (e ? e ) ? ( A, B)
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人参加某次招聘会,若甲应聘成功的概率为 的概率均为 (0 ? t ? 3) ,且三人是否应聘成功是相互独立的. (Ⅰ)若甲、乙、丙都应聘成功的概率是

4 ,乙、丙应聘成功 9

t 3

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 ? 表示甲、乙两人中被聘用的人数,求 ? 的数学期望.
7

16 ,求 t 的值; 81

16 解: (Ⅰ)依题意

4 t t 16 ? ? ? , 9 3 3 81

所以 t ? 2 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得乙 应聘成功的概率均为

2 , ? 的可能取值为 0,1,2 3 4 2 8 4 1 5 2 14 P (? ? 2) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , 9 3 27 9 3 9 3 27 5 1 5 8 14 5 30 10 P (? ? 0) ? ? ? ? 1? ? 0 ? ? ? . ,所以 E? ? 2 ? 9 3 27 27 27 27 27 9

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

成数列 ?an ? (n ? N *) .

(sin x ? cos x)2 ? 1 ,方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 上的解按从小到大的顺序排 cos 2 x ? sin 2 x

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的表达式. (4n ? 1)(3 n ? 2)
2

(sin x ? cos x)2 ? 1 2sin x cos x sin 2 x ? ? ? tan 2 x , 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? ????2 分 cos 2 x ? sin 2 x cos 2 x cos 2 x ? k? ? ? (k ? Z ) 由 f ( x) ? 3 及 x ? 0 得 2 x ? k ? ? , ∴ x ? ???4 分 3 2 6 ? 方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 的解从小到大依次排列构成首项为 , 6 ? ? ? (3n ? 2)? 公差为 的等差数列∴ an ? ? (n ? 1) ? . ??????6 分 6 2 6 2 3 (3n ? 2)? ? 1 1 1 ? ( ? )? , ? ? (Ⅱ) bn ? 2 (4n ? 1)(3n ? 2) 6 2(2n ? 1)(2n ? 1) 4 2n ? 1 2n ? 1 ?? 1 1 1 1 1 ? ? 1 n? .??12 分 Sn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? (1 ? )? 4? 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 ? 4 2n ? 1 4 n ? 2
18.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, D 是 BC 中点,已知 ?BAD ? ?C ? 90 .
o

A

(1)判断 ?ABC 的形状;

D C 的三边长是连续三个正整数, (2) 若 ?A 求 ?BAC 的余弦值。

B D

C

试题解析: (I)设 ?BAD ? ? , ?DAC ? ? ,

则由 ? ? C ? 90? ? ? ? B ? 90?

?ABD 中,由正弦定理得

BD AD sin B AD sin C AD ? ,即 ? . 同理得 ? , sin ? sin B sin ? BD sin ? DC

?2 分
8

Q BD ? DC , ?

sin B sin C ? , ? sin ? sin C ? sin ? sin B sin ? sin ?
????4 分

Q ? ? C ? 90?, ? ? B ? 90?, ? sin C cos C ? sin B cos B
即 sin 2C ? sin 2 B, 因为 B、C ? ? 0,? ?

? B ? C或B ? C ? 90? ??6 分

? ?ABC 是等腰三角形或直角三角形。
(II)当 B ? C ? 90? 时, AD ?

??????7 分

1 BC ? DC , 2

与 ?ADC 的三边长是连续三个正整数矛盾,

??B ? ?C , ? ?ABC 是等腰三角形。
在直角三角形 ADC 中,设两直角边分别为 n, n ? 1, 斜边为n ? 1, 由 (n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 1) 2 得 n=4, 由余弦定理或二倍角公式得 cos ?BAC ? 或 cos ?BAC ? ?

??????8 分

????10 分

7 . 25
????12 分

7 . 25

考点:正弦定理、余弦定理的应用。 19.(本小题满分 12 分)如图,BC 为圆 O 的直径,D 为圆周上异于 B、C 的一点,AB 垂直于圆 O 所在 的平面,BE⊥AC 于点 E,BF⊥AD 于点 F. (1)求 证:BF⊥平面 ACD; (2)若 AB=BC=2,∠CBD=45°,求平面 BEF 与平面 BCD 所成锐二面角的余弦值. 【命题意图】本题主要考查空间向量的应用、线面垂直的判断及二面角的求法.意在考查逻辑推理 能力及空间想象能力.

法二:(建系向量法)如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系. 则 B(0,-1,0),E(0,0,1),D(1,0,0),A(0,-1,2), BD2 6 1 → 1→ ∵BF⊥AD,∴DF= = = AD,得DF= DA, AD 3 3 3 2 1 2 → 2 2 2 → ∴F( ,- , ),BF=( , , ),BE=(0,1,1), 3 3 3 3 3 3

9

→ ? ?BF·n1=0 设平面 BEF 的法向量为 n1=(x,y,z),则? , → ? ?BE·n1=0 2 2 2 ? ?y=-z ? ·x+ ·y+ ·z=0 ? 3 3 即?3 ,解得? ,不妨取平面 BEF 的一个法向量 n1=(0,-1,1). ?x=0 ? ? ?0·x+1·y+1·z=0 → → 而又由已知 AB 垂直于圆 O 所在的平面.得BA是平面 BDC 的一个法向量,即 n2=BA=(0,0,2), |n1·n2| 2 设平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角为 θ ,即 cos θ =|cos〈n1,n2〉|= = .(12 |n1|·|n2| 2 分) 20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 3 + 2 =1 (a>b>0)的离心率为 , 2 a b 2 其左顶点 A 在圆 O: x 2+y 2= 16 上.
已知椭圆形: (Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交 点为 Q.是否存在点 P,使得 出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

PQ =3? 若存在,求 AP

20 . 解: (1)因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16上,令 y ? 0 ,得 x ? ?4 ,所以 a ? 4 .又离
心率为
2 2 2 3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 ,所以 b ? a ? c ? 4 , 2 a 2

x2 y2 ? ? 1. ??????????????4 分 16 4 (2)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
所以 W 的方程为

? y ? k ( x ? 4) ? 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 , ? 16 ? 4 ? 1 ?
2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 , 因为 ?4 为方程的一个根,

所以 x1 ? ( ?4) ? 所以 | AP |?

?32k 2 4 ? 16k 2 x ? ,所以 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
????????????7 分

8 1? k2 . 1 ? 4k 2

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?
2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

| 4k | k2 ?1 8



16 ? , ??????????9 分 1? k2 1? k2 | PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ?1, 因为 | AP | | AP | | AP | 8 2 2 | PQ | 1 ? k 2 ? 1 ? 1 ? 4k ? 1 ? 3k ? 3 ? 3 ? 代入得到 | AP | 8 1 ? k 2 1? k2 1? k2 1? k2
1 ? 4k 2
10

显然 3 ?

| PQ | 3 ? 3 . ????????13 分 ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 2 | AP | 1? k
2

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? ax(a ? 0) . (1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)证明: (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ?

1 3

1 9

1 ) ? e e ( e 为自然对数的底数, n ? N * ) . n 3

【命题意图】 本题主要考查了导数在求解函数的单调性与极值; 不等式的证明等问题中的应用, 着重考查了分类讨论的数学思想方法,属于难题. 【答案】 (1) a ? 0 ; (2)若 a ? ?1 时 , f ( x ) 在 (??, ??) 上 单 调 递 减 ,若 ?1 ? a ? 0 时 ,

?1 ? 1 ? a 2 ?1 ? 1 ? a 2 , ) f ( x) 在 ( a a


?1 ? 1 ? a 2 ) 和 上 单 调 递 增 , 在 (-?, a

?1 ? 1 ? a 2 上 单 调 递 减 , 若 a ? 0 时 , f ( x ) 在 (0, ??) 单 调 递 增 , 在 ( ??, 0) 单 , +?) a

调 递 减 ; (3)证明见解析.

3分

?1 ? 1 ? a 2 ?1 ? 1 ? a 2 或x ? 再 令 f ( x ) ? 0, 可 得 x ? a a
/

11

?1 ? 1 ? a 2 ?1 ? 1 ? a 2 , ) 上单调递增, ∴ f ( x) 在 ( a a ?1 ? 1 ? a 2 ?1 ? 1 ? a 2 )和( , +?) 在 (-?, 上单调递减 a a
综 上 所 述 , 若 a ? ?1 时 , f ( x ) 在 (??, ??) 上 单 调 递 减 ;

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , ) 上单调递增, 若 ?1 ? a ? 0 时 , f ( x ) 在 (
2 2

a

a

?1 ? 1 ? a 2 ?1 ? 1 ? a 2 )和( , +?) 在 (-?, 上单调递减; a a


a?0 时 ,

f ( x) 在 (0, ??) 单 调 递 增 , 在 (?? , 0 单 )调 递

减 . ?????????????9 分

??????14 分

(本小题满分 12 分)已知向量 m ? (cos x,?1), n ? ( 3 sin x,? ) .

1 2

(1)当 m // n 时,求

3 sin x ? cos x 的值; sin x ? 3 cos x

( 2 ) 已 知 在 锐 角 ?A B C 中 , a , b, c 分 别 为 角 A, B, C 的 对 边 ,

3c ? 2a sin( A ? B) , 函 数

f ( x) ? (m ? n) ? m ,求 f ( B ) 的取值范围.

12


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