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高中数学圆锥曲线详解【免费】


解圆锥曲线问题常用以下方法:
1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。

(2) 双曲线有两种定义。 第一定义中,r1 ? r2 ? 2 a , r1>r2 时, 当 注意 r2 的最小值为 c-a: 第二定义中,1=ed1, r r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半

径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最 终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题, 弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为 “设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关 系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1)
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有

x0 a
2

?

y0 b
2

k ? 0。

(2)

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有

x0 a
2

?

y0 b
2

k ? 0

(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.

【典型例题】
例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时, 最小。 解: (2, 2 ) (1) 连 PF,当 A、P、F 三点共线时, AP ? PH ? AP ? PF 最小,此时 AF 的方程为 y ? y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ), (注:另一交点为(
1 4
1
H P F A Q B

。 当 A、

距离和

4

2 ?0 3?1

( x ? 1) 即

1 2

,?

2 ),它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去)

(2) (

,1 )

过 Q 作 QR⊥l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时, BQ 入 y2=4x 得 x=
1 4

? QF ? BQ ? QR

最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代

,∴Q(

1 4

,1 )

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 例 2、F 是椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。
y A P F H x

4

3

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 P F ? 或准线作出来考 题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
PA ? PF ? PA ? 2 a ? P F ? ? 2 a ? ( P F ? ? PA ) ? 2 a ? A F ? ? 4 ? 5
F ′ 0





当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)3 作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF ?
1 2 PH , 即 2 PF ? PH 1 2



∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH 当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为
a
2

c

? xA ? 4 ?1 ? 3

例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。 分析:作图时,要注意相切时的“图形特征” :两个圆心与切点这三点 (如图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的
C y



线

“半径
M D A 0 B 5 x

等于半径” (如图中的 MC ? MD ) 。 解:如图, MC ? MD , ∴ AC ? MA ? MB ? DB 即 6 ? MA ? MB ? 2 ∴ MA ? MB ? 8 (*)
x
2

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

?

y

2

?1

16

15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出
2

( x ? 1) ? y
2

2

?

( x ? 1) ? y
2

2

? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!

例 4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 5

sinA,求点 A 的轨迹方程。

分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系。 解:sinC-sinB=
3 5

sinA
3 5

2RsinC-2RsinB=

3 5

·2RsinA

∴ AB ? AC ?

BC

即 AB ? AC ? 6

(*)

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为
x
2

?

y

2

? 1 (x>3)

9

16

点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。 分析: (1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点 公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。 (2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)
2 ? ( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( x 12 ? x 2 ) 2 ? 9 ? 则?x ? x ? 2x 1 2 0 ? 2 2 x1 ? x 2 ? 2 y 0 ?

① ② ③

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
9 1 ? 4 x0
2

∴4 y0 ? 4 x0 ?
2



3

4 y0 ? 4 x0 ?
2

9 4 x0
2

? ( 4 x 0 ? 1) ?
2

9 4 x0 ? 1
2

?1

≥ 2 9 ? 1 ? 5,

y0 ?

5 4

当 4x02+1=3 即 x 0 ? ?

2 2

时, ( y 0 ) min ?

5 4

此时 M ( ?

2 2

,

5 4

)

法二:如图, 2 MM

2

? AA 2 ? BB

2

? AF ? BF ? AB ? 3

∴ MM

2

?

3 2

, 即 MM

1

?

1 4

?

3 2



y M A

B

∴ MM

1

?

5 4

, 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。

A1 A2

0 M1 M2

B1 B2

x

∴M 到 x 轴的最短距离为

5 4

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种“设而不 求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利 用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁” 时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。
x
2

例 6、 已知椭圆

?

y

2

m

m ?1

? 1( 2 ? m ? 5 ) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、

B、C、D、设 f(m)= AB ? CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。 分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“不同系统” ,A 在准线上,B 在椭 圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到 x 轴上,立即可得防
f (m ) ? ( x B ? x A ) 2 ? ( x D ? xC ) 2 ? 2 (xB ? xA ) ? (xD ? X

C

)

?

2 ( x B ? xC ) ? ( x A ? x D )

y C

D

?

2 (xB ? X

C

)
F1 B A 0 F2 x

4

此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
2 2

解: (1)椭圆

x

?

y

m

m ?1

? 1 中,a =m,b =m-1,c =1,左焦点 F1(-1,0)

2

2

2

则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
2m 2m ? 1

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

(2 ? m ? 5)

f ( m ) ? AB ? CD ?

?

2 (x B ? x A ) ? (xD ? xC ) 2 x1 ? x 2 ? 2 ? 2m 2m ? 1

2 ( x1 ? x 2 ) ? ( x A ? x C ) ?

(2) f ( m ) ?

2

2m ? 1 ? 1 2m ? 1

?

2 (1 ?

1 2m ? 1

)

∴当 m=5 时, f ( m ) min ?

10 9

2

当 m=2 时, f ( m ) max ?

4 3

2

点评:此题因最终需求 x B ? x C ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、 C 坐标代入作差,得
x B ? xC ? ? 2m 2m ? 1
x0 m ? y0 m ?1 ? k ? 0 ,将 y0=x0+1,k=1 代入得 x0 m ? x0 ? 1 m ?1 ? 0 ,∴ x 0 ? ?

m 2m ? 1

,可见

当然,解本题的关键在于对 f ( m ) ? AB ? CD 的认识,通过线段在 x 轴的“投影”发现 f ( m ) ? x B ? x C 是解此题的要点。

【同步练习】
1、已知:F1,F2 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B,若 AB ? m ,
5

△ABF2 的周长为( A、4a

) B、4a+m C、4a+2m D、4a-m

2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 ( A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x )

3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标分别为(-1,0), (1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( A、
x
2

) B、
x
2

?
2

y

2

?1
2

?
2

y

2

? 1( x ? 0 )
2

4

3
? y ? 1( x ? 0 )

4

3 ? y ? 1( x ? 0 且 y ? 0 )

C、

x

D、

x

4

3

4

3

4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是 ( A、 ( x ?
2



1 2

) ? y
2

2

?

9 4

( x ? ? 1)

B、 ( x ?
2

1 2

) ? y
2

2

?

9 4

( x ? ? 1)

C、 x ? ( y ?

1 2

)

2

?

9 4

( x ? ? 1)
2

D、 x ? ( y ?

1 2

)

2

?

9 4

( x ? ? 1)

5、已知双曲线

x

2

?

y

? 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是

9

16

6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是

8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k= 10、设点 P 是椭圆
x
2

?

y

2

25

9

? 1 上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求 sin∠F1PF2 的最大值。

6

11、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列, 若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点,且 AB 中点 M 为(-2,1), AB ? 4 3 ,求直线 l 的方程和椭圆方程。

12、已知直线 l 和双曲线
AB ? CD 。

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C、D。求证:

7

椭圆与双曲线的对偶性质总结

1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点. 3. 4. 5. 6. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 是 7.
x0 x a
2



x a x a

2 2 2 2

? ?

y b y b

2 2 2 2

? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程

?
2 2

y0 y b
2

? 1.

椭圆

x a

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ? F1 P F 2 ? ? ,则椭圆的焦点
2

角形的面积为 S ? F P F ? b ta n
1 2

?
2

.

8.

椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的焦半径公式:

| M F1 |? a ? ex 0 , | M F 2 | ? a ? ex 0 ( F1 ( ? c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) M ( x 0 , y 0 ) ).

9.

设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦 点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即K
? ?

x a

2 2

?
2

y b

2 2

? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 k O M ? k A B ? ?

b a

2 2



b x0 a y0
2

AB


x a x a
2 2 2 2

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

? ?

y b y b

2 2 2 2

? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是
x a
2 2

x0 x a
2

? y
2 2

y0 y b ?
2

?

x0 a

2

2

?

y0 b

2

2

.

?

x0 x a
2

?

y0 y b
2

.

b

双曲线
1. 2. 3. 4. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)
8

5. 6.

若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线

x a x a

2 2 2 2

? ?

y b y

2 2 2 2

? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?1.

切点弦 P1P2 的直线方程是 7. 双曲线
x a
2 2

b x0 x
a
2

? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则
? y0 y b
2

? 1.

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ? F1 P F 2 ? ? ,
2

则双曲线的焦点角形的面积为 S ? F P F ? b c o t
1 2

?
2

.

8.

双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ? c , 0 ) , F 2 ( c , 0 )

当 M ( x 0 , y 0 ) 在右支上时, | M F1 |? ex 0 ? a , | M F 2 |? ex 0 ? a . 当 M ( x 0 , y 0 ) 在左支上时, | M F1 |? ? ex 0 ? a , | M F 2 |? ? ex 0 ? a 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于 点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线
K OM ? K ?

x a
2

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦, M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则
? b x0 a y0
2
2 2

b x0 a y0
2

2

AB

,即 K
x a

AB



2 2

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在 双 曲 线
x0 x a
2

?

y b

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是

?

y0 y b
2

?

x0 a

2

2

?

y0 b

2

2

.
x a
2 2

13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在 双 曲 线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是

?

y b

2 2

?

x0 x a
2

?

y0 y b
2

.

9

椭圆与双曲线的一些结论

1. 椭圆
x a
2 2



?

y b

2 2

? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 x a
2 2

A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2. 过椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

?1.

?

y b

2 2

? 1 (a>0, b>0)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,
b x0 a y0
2
2 2

则直线 BC 有定向且 k B C ? 3. 若 P 为椭圆
x a
2 2

(常数). 是 焦 点 , ? P F1 F2 ? ? ,

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1, F

? P F 2 F1 ? ? ,则
x a
2 2

a?c a?c

? ta n

?
2

co t

?
2

.

4.

设椭圆

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2
s in ? s in ? ? s in ? c a

中,记 ? F1 P F 2 ? ? , ? P F1 F2 ? ? , ? F1 F 2 P ? ? ,则有
x a
2 2

?

? e.

5.

若椭圆

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤

2 ? 1 时,可

在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则

2 a ? | A F 2 |? | P A | ? | P F1 |? 2 a ? | A F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P 三点共线时,等号成立.

7.

椭 圆
2 2

( x ? x0 ) a
2

2

2
2

?

( y ? y0 ) b
2

2

?1 与 直 线
2

Ax ? By ? C ? 0

有 公 共 点 的 充 要 条 件 是

A a ? B b ? ( A x0 ? B y0 ? C ) .

8.

已知椭圆
1 | OP |
2

x a

2 2

?

y b
2

2 2

? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 O P ? O Q .(1)
1 a
2

?

1 | OQ |

?

?

1 b
2

;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为

4a b
2

2

2 2

a ?b

;(3) S ? O P Q 的最小值是

a b
2

2

2 2

a ?b

.

9.

? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 2 b | PF | e ? . x 轴于 P,则 | MN | 2

过椭圆

x

2 2

?

y

2

a

10. 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点

10

P ( x0 , 0 ) , 则 ?

a ?b
2

2

a

? x0 ?
2 2

a ?b
2

2

.

a

11. 设 P 点是椭圆

x a

2 2

?

y b

? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ? F1 P F 2 ? ? ,则

(1) | P F1 || P F 2 | ?

2b

2

1 ? cos ?

.(2) S ? P F F ? b ta n
2
1 2

?
2

.

12. 设 A 、 B 是 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ? PAB ? ? ,
2 ab | cos ? |
2

? P B A ? ? , ? B P A ? ? , c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1) | P A | ?

a ? c co s ?
2 2 2

.(2)

tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ? P A B ?
2

2a b
2

2

2 2

b ?a

cot ? .

13. 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交

于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线
1. 双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) ,与 y 轴平行的直线交双曲线 x a
2 2

于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2. 过双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1.

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
b x0 a y0
2
2 2

B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k B C ? ? 3. 若 P 为双曲线
x a
2 2

(常数). 是焦点,

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F

11

? P F1 F 2 ? ? , ? P F 2 F1 ? ? ,则
x a
2 2

c?a c?a

? ta n

?
2

co t

?
2

(或

c?a c?a

? ta n

?
2

co t

?
2

).

4.

设双曲线

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,
s in ? ? (s in ? ? s in ? ) c a

在△PF1F2 中,记 ? F1 P F 2 ? ? , ? P F1 F2 ? ? , ? F1 F 2 P ? ? ,则有
x a
2 2

?

? e.

5.

若双曲线

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤

2 ?1

时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则

| A F 2 | ? 2 a ? | P A | ? | P F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P 三点共线且 P 和 A , F 2 在 y 轴同侧时,等号成立.

7.

双曲线
2 2

x a
2

2 2

?
2

y b

2 2

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 A x ? B y ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是
2

A a ?B b ?C .

8.

已知双曲线
1 | OP |
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 O P ? O Q .
1 a
2

(1)

?

1 | OQ |
2 2 2

?

?

1 b
2

;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为

4a b
2

2

2 2

b ?a

;(3) S ? O P Q 的最小值是

a b
2

2

2 2

b ?a

.

9.

过双曲线

x a

2 2

?

y b

? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的 | PF | | MN | ? e 2

垂直平分线交 x 轴于 P,则 10. 已知双曲线
x a
2 2

.

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a ?b
2 2

交于点 P ( x 0 , 0 ) , 则 x 0 ? 11. 设 P 点是双曲线
x a
2 2

a

或 x0 ? ?

a ?b
2

2

.

a

?

y b

2 2 2

?1 (a>0,b>0) 上异于实轴端点的任一点,F1、 2 为其焦点记 ? F1 P F 2 ? ? , F

则(1) | P F1 || P F 2 | ?

2b
2 2

1 ? cos ?

.(2) S ? P F F ? b c o t
2
1 2

?
2

.

12. 设 A、B 是双曲线

x a

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ? P A B ? ? ,

? P B A ? ? , ? B P A ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | P A | ?

2 ab | cos ? |
2

| a ? c co s ? |
2 2 2

.

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ? P A B ?
2

2a b
2

2

2 2

b ?a

cot ? .

13. 已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与

双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
12

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

13

【参考答案】
1、C
AF 2 ? AF 1 ? 2 a , BF 2 ? BF 1 ? 2 a ,

∴ AF 2 ? BF 2 ? AB ? 4 a , AF 2 ? BF 2 ? AB ? 4 a ? 2 m , 选 C 2、C 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为 y2=16x,选 C 3、D ∵ AB ? AC ? 2 ? 2 ,且 AB ? AC ∵点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y≠0,故选 D。 4、A 设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为 4 得 1 ?
(x ? 1 2 ) ? y
2 2

( 2 x ? 1) ? ( 2 y )
2

2

? 4 ,∴

?

9 4
2 2

①又 c<a,∴ ( x ? 1) ? y

? 2

∴(x-1)2+y2<4 ②,由①,②得 x≠-1,选 A 5、
29 3

左准线为 x=6、 x ?
1 2

9 5

,M 到左准线距离为 d ? 4 ? ( ?
1 2

9 5

) ?

29 5

则 M 到左焦点的距离为 ed ?

5 3

?

29 5

?

29 3

(y ?

)

设弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2)AB 中点为(x,y),则 y1=2x12,y2=2x22,y1-y2=2(x12-x22) ∴
y1 ? y 2 x1 ? x 2
1 2

? 2 ( x1 ? x 2 )

∴2=2·2x, x ?
1 2

1 2

将x ?

代入 y=2x2 得 y ?

,轨迹方程是 x ?

1 2

(y>

1 2

)

7、y2=x+2(x>2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 M(x,y),则
y 1 ? 2 x 1 , y 2 ? 2 x 2 , y 1 ? y 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ),
2 2 2 2

y1 ? y 2 x1 ? x 2
2

? ( y1 ? y 2 ) ? 2

∵ k AB ? k MP ?

y ?0 x? 2

,∴

y x? 2

? 2 y ? 2 ,即 y =x+2

又弦中点在已知抛物线内 P,即 y2<2x,即 x+2<2x,∴x>2 8、4
14

a

2

? b

2

? 4, c

2

? 8 , c ? 2 2 ,令 x ? 2

2 代入方程得 8-y =4

2

∴y2=4,y=±2,弦长为 4 9、 ?
2或 ? 1

y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2-2kx-2=0 ①?
?1 ? k
2

? 0

?? ? 0

得 4k2+8(1-k2)=0,k= ?

2

②1-k2=0 得 k=±1 10、解:a2=25,b2=9,c2=16 设 F1、F2 为左、右焦点,则 F1(-4,0)F2(4,0) ① 设 PF 1 ? r1 , PF 2 ? r2 , ? F1 PF 2 ? ? ② 则 ? r1 ?
? r 2 ? 2?
2 2 2

y P F1 F2

x

? r1 ? r 2 ? 2 r1 r 2 cos ? ? ( 2 c )

①2-②得 2r1r2(1+cosθ )=4b2 ∴1+cosθ =
4b
2

?

2b

2

2 r1 r 2

r1 r 2

∵r1+r2 ? 2 r1 r 2 ,
2

∴r1r2 的最大值为 a2

∴1+cosθ 的最小值为
7 25

2b a

2

,即 1+cosθ ?
7 25

18 25

cosθ ? ?

, 0 ? ? ? ? ? arccos

则当 ? ?

?
2

时,sinθ 取值得最大值 1,

即 sin∠F1PF2 的最大值为 1。 11、设椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

由题意:C、2C、
a
2

a

2

? c 成等差数列,

c

∴ 4c ? c ?

? c即 a

2

? 2c ,
2

c

∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2 椭圆方程为
x1 2b
2 2

x

2 2

?

y b

2 2

2b

? 1 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2) x2
2 2



?

y1 b
2

2

2

?1①
2 2

?
2

y2 b

2

2b
?

2

?1②

①-②得

x1 ? x 2 2b
2

y1 ? y 2 b
2

? 0

15



xm 2b
2

?

ym b
2

?k ? 0



?2 2

? k ? 0 ∴k=1

直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3, 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0,
AB ? x 1 ? x 2 1?1 ? 1 3 12
2

? 12 (18 ? 2 b )
2

2 ? 4 3

解得 b =12, ∴椭圆方程为

2

x

2

?

y

2

? 1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0

24

12

12、证明:设 A(x1,y1),D(x2,y2),AD 中点为 M(x0,y0)直线 l 的斜率为 k,则
2 ? x 12 y1 ? 2 ?1 ? 2 ?a b ? 2 2 x2 y2 ? ? 2 ?1 ?a2 b ?

① ②

①-②得

2 x0 a
2

?

2 y0 b
2

?k ? 0 ③

? ? ? ? 设 B ( x 1? , y 1? ), C ( x 2 , y 2 ), BC 中点为 M ? ( x 0 , y 0 ) ,
12 ? x12 y1 1 ? 2 ? 2 ? 0 则? a b ? 2 1 12 y2 ? x2 ? 2 ? 0 ? 2 b ? a

④ ⑤
2 y0 b
2 1

④-⑤得

? 2 x1 a
2

?

?k ? 0 ⑥

由③、⑥知 M、 M ? 均在直线 l ? :

2x a
2

?

2y b
2

? k ? 0 上,而 M、 M ? 又在直线 l 上 ,

若 l 过原点,则 B、C 重合于原点,命题成立 若 l 与 x 轴垂直,则由对称性知命题成立 若 l 不过原点且与 x 轴不垂直,则 M 与 M ? 重合 ∴ AB ? CD

16


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