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高中数学圆锥曲线详解【免费】


解圆锥曲线问题常用以下方法:
1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。

(2) 双曲线有两种定义。 第一定义中,r1 ? r2 ? 2 a , r1>r2 时, 当 注意 r2 的最小值为 c-a: 第二定义中,1=ed1, r r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半

径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最 终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题, 弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为 “设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关 系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1)
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有

x0 a
2

?

y0 b
2

k ? 0。

(2)

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有

x0 a
2

?

y0 b
2

k ? 0

(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.

【典型例题】
例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时, 最小。 解: (2, 2 ) (1) 连 PF,当 A、P、F 三点共线时, AP ? PH ? AP ? PF 最小,此时 AF 的方程为 y ? y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ), (注:另一交点为(
1 4
1
H P F A Q B

。 当 A、

距离和

4

2 ?0 3?1

( x ? 1) 即

1 2

,?

2 ),它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去)

(2) (

,1 )

过 Q 作 QR⊥l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时, BQ 入 y2=4x 得 x=
1 4

? QF ? BQ ? QR

最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代

,∴Q(

1 4

,1 )

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 例 2、F 是椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。
y A P F H x

4

3

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 P F ? 或准线作出来考 题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
PA ? PF ? PA ? 2 a ? P F ? ? 2 a ? ( P F ? ? PA ) ? 2 a ? A F ? ? 4 ? 5
F ′ 0





当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)3 作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF ?
1 2 PH , 即 2 PF ? PH 1 2



∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH 当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为
a
2

c

? xA ? 4 ?1 ? 3

例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。 分析:作图时,要注意相切时的“图形特征” :两个圆心与切点这三点 (如图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的
C y



线

“半径
M D A 0 B 5 x

等于半径” (如图中的 MC ? MD ) 。 解:如图, MC ? MD , ∴ AC ? MA ? MB ? DB 即 6 ? MA ? MB ? 2 ∴ MA ? MB ? 8 (*)
x
2

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

?

y

2

?1

16

15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出
2

( x ? 1) ? y
2

2

?

( x ? 1) ? y
2

2

? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!

例 4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 5

sinA,求点 A 的轨迹方程。

分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系。 解:sinC-sinB=
3 5

sinA
3 5

2RsinC-2RsinB=

3 5

·2RsinA

∴ AB ? AC ?

BC

即 AB ? AC ? 6

(*)

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为
x
2

?

y

2

? 1 (x>3)

9

16

点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。 分析: (1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点 公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。 (2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)
2 ? ( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( x 12 ? x 2 ) 2 ? 9 ? 则?x ? x ? 2x 1 2 0 ? 2 2 x1 ? x 2 ? 2 y 0 ?

① ② ③

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
9 1 ? 4 x0
2

∴4 y0 ? 4 x0 ?
2



3

4 y0 ? 4 x0 ?
2

9 4 x0
2

? ( 4 x 0 ? 1) ?
2

9 4 x0 ? 1
2

?1

≥ 2 9 ? 1 ? 5,

y0 ?

5 4

当 4x02+1=3 即 x 0 ? ?

2 2

时, ( y 0 ) min ?

5 4

此时 M ( ?

2 2

,

5 4

)

法二:如图, 2 MM

2

? AA 2 ? BB

2

? AF ? BF ? AB ? 3

∴ MM

2

?

3 2

, 即 MM

1

?

1 4

?

3 2



y M A

B

∴ MM

1

?

5 4

, 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。

A1 A2

0 M1 M2

B1 B2

x

∴M 到 x 轴的最短距离为

5 4

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种“设而不 求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利 用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁” 时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。
x
2

例 6、 已知椭圆

?

y

2

m

m ?1

? 1( 2 ? m ? 5 ) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、

B、C、D、设 f(m)= AB ? CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。 分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“不同系统” ,A 在准线上,B 在椭 圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到 x 轴上,立即可得防
f (m ) ? ( x B ? x A ) 2 ? ( x D ? xC ) 2 ? 2 (xB ? xA ) ? (xD ? X

C

)

?

2 ( x B ? xC ) ? ( x A ? x D )

y C

D

?

2 (xB ? X

C

)
F1 B A 0 F2 x

4

此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
2 2

解: (1)椭圆

x

?

y

m

m ?1

? 1 中,a =m,b =m-1,c =1,左焦点 F1(-1,0)

2

2

2

则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
2m 2m ? 1

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

(2 ? m ? 5)

f ( m ) ? AB ? CD ?

?

2 (x B ? x A ) ? (xD ? xC ) 2 x1 ? x 2 ? 2 ? 2m 2m ? 1

2 ( x1 ? x 2 ) ? ( x A ? x C ) ?

(2) f ( m ) ?

2

2m ? 1 ? 1 2m ? 1

?

2 (1 ?

1 2m ? 1

)

∴当 m=5 时, f ( m ) min ?

10 9

2

当 m=2 时, f ( m ) max ?

4 3

2

点评:此题因最终需求 x B ? x C ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、 C 坐标代入作差,得
x B ? xC ? ? 2m 2m ? 1
x0 m ? y0 m ?1 ? k ? 0 ,将 y0=x0+1,k=1 代入得 x0 m ? x0 ? 1 m ?1 ? 0 ,∴ x 0 ? ?

m 2m ? 1

,可见

当然,解本题的关键在于对 f ( m ) ? AB ? CD 的认识,通过线段在 x 轴的“投影”发现 f ( m ) ? x B ? x C 是解此题的要点。

【同步练习】
1、已知:F1,F2 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B,若 AB ? m ,
5

△ABF2 的周长为( A、4a

) B、4a+m C、4a+2m D、4a-m

2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 ( A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x )

3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标分别为(-1,0), (1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( A、
x
2

) B、
x
2

?
2

y

2

?1
2

?
2

y

2

? 1( x ? 0 )
2

4

3
? y ? 1( x ? 0 )

4

3 ? y ? 1( x ? 0 且 y ? 0 )

C、

x

D、

x

4

3

4

3

4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是 ( A、 ( x ?
2



1 2

) ? y
2

2<