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高考数学一轮复习选修部分几何证明选讲第2讲直线与圆的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版选修4


第 2 讲 直线与圆的位置关系 1.如图,四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的半圆 O 交于点 F,连接 CF 并延长交 AB 于点 E. (1)求证:E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长. 2 解:(1)证明:由题意知,AB 与圆 D 和圆 O 相切,切点分别为 A 和 B,由切割线定理有:EA = 2 EF·EC=EB ,所以 EA=EB,即 E 为 AB 的中点. (2)由 BC 为圆 O 的直径,易得 BF⊥CE, 1 1 所以 S△BEC= BF·CE= CB·BE, 2 2 BF CB 5 = ,所以 BF= a. BE CE 5 2.(2015·高考全国卷Ⅰ)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; 所以 (2)若 OA= 3CE,求∠ACB 的大小. 解:(1)证明: 如图,连接 AE,由已知得 AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC, 故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°, 所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°, 即 DE 是⊙O 的切线. (2)设 CE=1,AE=x. 由已知得 AB=2 3,BE= 12-x . 2 由射影定理可得 AE =CE·BE, 即 x = 12-x ,即 x +x -12=0. 解得 x= 3,所以∠ACB=60°. 3. 2 2 4 2 2 (2015·高考湖南卷)如图,在⊙O 中,相交于点 E 的两弦 AB,CD 的中点分别是 M,N,直线 MO 与直线 CD 相交于点 F,证明: (1)∠MEN+∠NOM=180°; (2)FE·FN=FM·FO. 证明:(1)如图 所示,因为 M,N 分别是弦 AB,CD 的中点,所以 OM⊥AB,ON⊥CD, 即∠OME=90°,∠ENO=90°, 因此∠OME+∠ENO=180°. 又四边形的内角和等于 360°, 故∠MEN+∠NOM=180°. (2)由(1)知,O,M,E,N 四点共圆, 故由割线定理即得 FE·FN=FM·FO. 4.(2016·九江统考)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线,C 为切 点,AD⊥CD 交⊙O 于点 E,连接 AC、BC、OC、CE,延长 AB 交 CD 于 F. (1)证明:BC=CE; (2)证明:△BCF∽△EAC. 证明:(1)因为 CD 为⊙O 的切线,C 为切点,AB 为⊙O 的直径, 所以 OC⊥CD, 又 AD⊥CD,所以 OC∥AD,所以∠OCA=∠CAE, 又 OC=OA,所以∠OAC=∠OCA,所以∠OAC=∠CAE, 所以 BC=CE. (2)由弦切角定理可知,∠FCB=∠OAC,所以∠FCB=∠CAE, 因为四边形 ABCE 为圆 O 的内接四边形, 所以∠ABC+∠CEA=180°, 又∠ABC+∠FBC=180°, 所以∠FBC=∠CEA, 所以△BCF∽△EAC. 1.(2016·西安地区八校联考)如图,圆 O 为四边形 ABCD 的外接圆,AB =BD.过点 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 P,∠PBD 的角平分线与 DC 的延长线交于点 E. (1)若 AB=3,PD=2 7,求 AD 的长; 2 (2)求证:BE =CE·DE. 解:(1)PD 为圆 O 的切线,PA 为圆


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