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2017年北京市朝阳区高三二模数学(文)


试卷编号:1689

2017 年北京市朝阳区高三二模数学 (文)
班级:_____ 学号:_____ 姓名:_____ 成绩:_____ 一、选择题共 8 小题。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 已知 i 为虚数单位, 则复数 z = (1 + i)i 对应的点位于 (   ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2. 已知 x > y, 则下列不等式一定成立的是 (   ) (A) 1 < 1 (B) log2 ( x ? y) > 0 (C) x3 < y3 x y 3. 执行如图所示的程序框图, 则输出的 S 值是 (   )

(D) ( 1 ) x < ( 1 )y 2 2

(A) 15 4. “ x > 0, y > 0” 是 “ (C) 充分必要条件

(B) 29 2” 的 (   )

(C) 31

(D) 63

y + x x y (A) 充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

5. 将函数 f ( x) = cos 2 x 图象上所有点向右平移 π 个单位长度后得到函数 g( x) 的图象, 若 4 g( x) 在区间 [0, a] 上单调递增, 则实数 a 的最大值为 (   ) (A) π (B) π (C) π (D) 3 π 8 4 2 4

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6. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥最长的棱长 为 (   )

(A)

√ 5

√ (B) 2 2

(C) 3

√ (D) 3 2

7. 已知过定点 P(2, 0) 的直线 l 与曲线 y = (A) 150? (B) 135?

√ 2 ? x2 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 当 △AOB (C) 120? (D) 30?

的面积最大时, 直线 l 的倾斜角为 (   )

8. “现代五项” 是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目, 包含射击、击剑、游泳、 马术和越野跑五项运动. 已知甲、乙、丙共三人参加 “现代五项”. 规定每一项运动的前三 名得分都分别为 a, b, c (a > b > c 且 a, b, c ∈ N? ), 选手最终得分为各项得分之和. 已知甲 最终得 22 分, 乙和丙最终各得 9 分, 且乙的马术比赛获得了第一名, 则游泳比赛的第三名 是 (   ) (A) 甲 二、填空题共 6 小题。 9. 已知集合 A = { x | 2 x?1 > 1}, B = { x | x( x ? 2) < 0}, 则 A ∩ B = _____ . 10. 在平面直角坐标系中, 已知点 A(?1, 0), B(1, 2), C (3, ?1), 点 P( x, y) 为 △ABC 边界及内部的 任意一点, 则 x + y 的最大值为 _____ . 11. 若平面向量 a, b 满足 | a + b| = 1, a + b 平行于 x 轴, b = (2, ?1), 则 a = _____ . ? ? ? ? ? x + 1, x > 0, 12. 设函数 f ( x) = ? 则 f (1) = _____ ; 若 f ( x) 在其定义域内为单调递 ? ? ? x3 + a, x 0, 增函数, 则实数 a 的取值范围是 _____ .
2 y 13. 已知双曲线 x2 ? 2 = 1 (a > 0, b > 0) 与抛物线 y2 = 8 x 有一个公共的焦点 F . 设这两曲 a b 线的一个交点为 P, 若 |PF | = 5, 则点 P 的横坐标是 _____ ; 该双曲线的渐近线方程 2

(B) 乙

(C) 丙

(D) 乙和丙都有可能

为 _____ .
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14. 设 P 为曲线 C1 上动点, Q 为曲线 C2 上动点, 则称 |PQ| 的最小值为曲线 C1 , C2 之间的距 离, 记作 d(C1 , C2 ), 若 C1 : x2 + y2 = 2, C2 : ( x ? 3)2 + (y ? 3)2 = 2, 则 d(C1 , C2 ) = _____ ; 若 C3 : e x ? 2y = 0, C4 : ln x + ln 2 = y, 则 d(C3 , C4 ) = _____ . 三、解答题共 6 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 √ 15. 在 △ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a > b > c, 3c ? 2b sin C = 0. (1) 求角 B 的大小; √ (2) 若 b = 3, c = 1, 求 a 和 △ABC 的面积. 16. 已知数列 {an } 是首项 a1 = 1 , 公比 q = 1 的等比数列. 设 bn = 2 log 1 an ? 1 (n ∈ N? ). 3 3 3 (1) 求证: 数列 {bn } 为等差数列; (2) 设 cn = an + b2n , 求数列 {cn } 的前 n 项和 T n . 17. 某中学随机选取了 40 名男生, 将他们的身高作为样本进 行统计, 得到如图所示的频率分布直方图. 观察图中数据, 完成下列问题. (1) 求 a 的值及样本中男生身高在 [185, 195] (单位: cm) 的人数; (2) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代 替, 通过样本估计该校全体男生的平均身高; (3) 在样本中, 从身高在 [145, 155) 和 [185, 195](单位: cm) 内的男生中任选两人, 求这两人 的身高都不低于 185 cm 的概率. 18. 如 图, 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥ 底 面 ABC , ∠ACB = 90? , AC = BC = 1, AA1 = 2, D 是 棱 AA1 的 中点. (1) 求证: B1C1 ∥ 平面 BCD; (2) 求三棱锥 B ? C1CD 的体积; (3) 在线段 BD 上是否存在点 Q, 使得 CQ ⊥ BC1 ? 请说明 理由.
2 √ y 19. 已知椭圆 W : x + 2 = 1 (b > 0) 的一个焦点坐标为 ( 3, 0). 4 b (1) 求椭圆 W 的方程和离心率; 2

(2) 若椭圆 W 与 y 轴交于 A, B 两点 (A 点在 B 点的上方), M 是椭圆上异于 A, B 的任意一 点, 过点 M 作 MN ⊥ y 轴于 N , E 为线段 MN 的中点, 直线 AE 与直线 y = ?1 交于点 C , G 为线段 BC 的中点, O 为坐标原点. 求 ∠OEG 的大小.
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20. 已知函数 f ( x) = x ln x, g( x) = a x2 + x ? a (a ∈ R). 2 (1) 若直线 x = m(m > 0) 与曲线 y = f ( x) 和 y = g( x) 分别交于 M , N 两点. 设曲线 y = f ( x) 在点 M 处的切线为 l1 , y = g( x) 在点 N 出的切线为 l2 . ①当 m = e 时, 若 l1 ⊥ l2 , 求 a 的值; ②若 l1 ∥ l2 , 求 a 的最大值; (2) 设函数 h( x) = f ( x) ? g( x) 在其定义域内恰有两个不同的极值点 x1 , x2 , 且 x1 < x2 . 若 λ > 0, 且 λ ln x2 ? λ > 1 ? ln x1 恒成立, 求 λ 的取值范围.

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