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江苏省盐城市东台市三仓中学2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷


2014-2015 学年江苏省盐城市东台市三仓中学高一(上)12 月月 考数学试卷
一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,合计 70 分) 1.sin600°= . 2.已知 log54=a,log53=b,用 a,b 表示 log2536= 3.函数 y=2x+ . 4.已知 tan100°=k,则 sin80°的值等于
2



的值域是



5.已知集合 P={y|y=﹣x +2,x∈R},Q={y|y=﹣x+2,x∈R},则 P∩Q=

6.定义运算 a*b 为:a*b= 为 .
2

,如 1*2=1,则函数 f(x)=2 *2 的最大值

x

﹣x

7.已知 sinα是方程 5x ﹣7x﹣6=0 的根,且α是第三象限角,则

=



8.方程 sinx=lg|x|的实数解有

个.

9.已知函数 f(x)是定义在(﹣3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的图象如图所示, 则不等式 f(x)cosx<0 的解集是 .

10.当 x∈时,函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域为

2



11.设 0≤x≤2,则函数 f(x)=

﹣3×2 +5 的值域为

x



12.若函数 f(x)=|4x﹣x |﹣a 恰有 3 个零点,则 a= 13.若 =﹣ ,则 +cos a=
2

2

. .

14. 若函数 y=f (x) 为偶函数, 且在 ( 0, +∞) 上是减函数, 又f (3) =0, 则 <0 的解集为 .

二、解答题(本题共 6 小题,合计 90 分) 15. (1)lg 5+lg2? lg50; (2) (log43+log83) (log32+log92) . 16.已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|x +2(a+1)x+(a ﹣5)=0}, (Ⅰ)若 B={2},求实数 a 的值; (Ⅱ)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 17.已知函数 f(x)=x|x﹣2|. (1)写出 f(x)的单调区间; (2)设 a>0,求 f(x)在上的最大值. 18.A,B 两城相距 100km,在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核电站给 A,B 两城供电.为保 证城市安全,核电站距城市距离不得少于 45km.已知供电费用(元)与供电距离(km)的平 方和供电量(亿度)之积成正比,比例系数λ=0.2,若 A 城供电量为 30 亿度/月,B 城为 20 亿度/月. (Ⅰ)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (Ⅱ)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小,最小费用是多少? 19.已知函数 f(x)=cos x+asinx﹣a +2a+5 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最大值; (2)若函数 f(x)有最大值 2,试求实数 a 的值. 20.已知函数 f(x)= 为奇函数.
2 2 2 2 2 2

(1)求 b 的值; (2)证明:函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; (3)解关于 x 的不等式 f(1+2x )+f(﹣x +2x﹣4)>0.
2 2

2014-2015 学年江苏省盐城市东台市三仓中学高一(上) 12 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,合计 70 分) 1.sin600°= .

考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式直接化简 sin600°为﹣sin60°,然后求出它的值即可. 解答: 解:sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=﹣sin60°=﹣ 故答案为: . .

点评: 本题考查三角函数求值与化简,正确应用诱导公式是解决三角函数求值的重点,一般 思路,负角化简正角,大角化小角(锐角) .

2.已知 log54=a,log53=b,用 a,b 表示 log2536=

+b



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质和运算法则求解. 解答: 解:∵log54=a,log53=b, ∴log2536=log56=log52+log53 = = . +b. +log53

故答案为:

点评: 本题考查对数的化简、运算,是基础题,解题时要注意对数的运算性质和运算法则的 合理运用. 3.函数 y=2x+ 的值域是 2 时,函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域为 考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质.



分析: 利用同角三角函数间的关系与二次函数的配方法可求得 y=2 ? ﹣ ≤sinx≤1,从而可求函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域. 解答: 解:∵y=3﹣sinx﹣2cos x 2 =2sin x﹣sinx+1 =2 ∵x∈时, ∴﹣ ≤sinx≤1, ∴当 sinx= 时,ymin= ; 当 sinx=﹣ 时,ymax=2; + ,
2 2

+ ,x∈

∴函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域为. 故答案为: . 点评: 本题考查复合函数的值域,着重考查二次函数的配方法与正弦函数的单调性与值域, 属于中档题.

2

11.设 0≤x≤2,则函数 f(x)=

﹣3×2 +5 的值域为

x



考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 化简,利用换元法求函数的值域. 解答: 解:f(x)= 令 2 =t,则 1≤t≤4, 则 y= t ﹣3t+5 = (t﹣3) + , ∵1≤t≤4, ∴ ≤ (t﹣3) + ≤ , 故答案为: . 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单 调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意 选择. 12.若函数 f(x)=|4x﹣x |﹣a 恰有 3 个零点,则 a=
2 2 2 2 x

﹣3×2 +5= (2 ) ﹣3×2 +5,

x

x

2

x

4 .

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 先画出 y=|4x﹣x |图象,为 y=4x﹣x 图象在 x 轴上方的不变,x 轴下方的沿 x 轴翻折, 2 此时 y=|4x﹣x |图象与 x 轴有 2 个交点,若把图象向上平移,则与 x 轴交点变为 0 个,向下 平移,则与 x 轴交点先变为 4 个,再变为 3 个,最后变为 2 个,所以,要想有 3 个零点,只 需与 x 轴有 3 个交点即可. 解答: 解:∵利用含绝对值函数图象的做法可知, 函数 y=|4x﹣x |的图象,为 y=4x﹣x 图象 在 x 轴上方的不变,x 轴下方的沿 x 轴翻折, ∴y=|4x﹣x |图象与 x 轴有两个交点,为(0,0)和(4,0)原来的顶点经过翻折变为(2,4) 2 2 f(x)=|4x﹣x |﹣a 图象为 y=|4x﹣x |图象发生上下平移得到,可知若把图象向上平移,则 与 x 轴交点变为 0 个,向下平移,当平移的量没超过 4 时,x 轴交点为 4 个,当平移 4 个单位 长度时,与 x 轴交点变为 3 个,平移超过 4 个单位长度时,与 x 轴交点变为 2 个, ∴当 a=4 时,f(x)=|4x﹣x |﹣a 图象与 x 轴恰有 3 个交点,此时函数恰有 3 个零点. 故答案为 4
2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查了含绝对值的函数图象的做法,为图象题,解题时须认真观察,找到突破口.
2

13.若

=﹣ ,则

+cos a=



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式整理求出 tanα的值,原式利用同角三角函数间基本关系化简后,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:由 ∴原式= 故答案为: 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. + =﹣ 整理得,tanα=2, = + = .

14. 若函数 y=f (x) 为偶函数, 且在 ( 0, +∞) 上是减函数, 又f (3) =0, 则 <0 的解集为 (﹣3,0)∪(3,+∞) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象, 利用函数的奇偶性将不等式进行化简, 然后利用函数的单调性确定不等式的解集. 解答: 解:由题意画出符合条件的函数图象: ∵函数 y=f(x)为偶函数, ∴ 转化为: ,

即 xf(x)<0,由图得, 当 x>0 时,f(x)<0,则 x>3; 当 x<0 时,f(x)>0,则﹣3<x<0; 综上得, 的解集是: (﹣3,0)∪(3,+∞) ,

故答案为: (﹣3,0)∪(3,+∞) .

点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用数形结合的思想是解决本题的关键. 二、解答题(本题共 6 小题,合计 90 分) 15. (1)lg 5+lg2? lg50; (2) (log43+log83) (log32+log92) . 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用 lg5+lg2=1 即可得出; (2)利用对数的换底公式和对数的运算性质即可得出. 解答: 解: (1)原式=lg 5+lg2?(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1;
2 2

(2)原式=

=

= .

点评: 本题考查了 lg5+lg2=1、对数的换底公式和对数的运算性质,属于基础题. 16.已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|x +2(a+1)x+(a ﹣5)=0}, (Ⅰ)若 B={2},求实数 a 的值; (Ⅱ)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数的零点;并集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 x ﹣3x+2=0 解得 x=1,2.可得 A={1,2}. (Ⅰ)由 B={2},可得 ,解得即可.
2 2 2 2

(Ⅱ)由 A∪B=A,可得 B? A.分类讨论:B=? ,△<0,解得即可.若 B={1}或{2},则△=0, 解得即可.若 B={1,2},可得 解答: 解:由 x ﹣3x+2=0 解得 x=1,2. ∴A={1,2}. (Ⅰ)∵B={2}, ∴ 解得 a=﹣3. (Ⅱ)∵A∪B=A,∴B? A. 1°B=? ,△=8a+24<0,解得 a<﹣3. 2°若 B={1}或{2},则△=0,解得 a=﹣3,此时 B={2},符合题意. 3°若 B={1,2},∴ ,此方程组无解.
2

,此方程组无解.

综上:a≤﹣3. ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3]. 点评: 本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系,属于中档题. 17.已知函数 f(x)=x|x﹣2|. (1)写出 f(x)的单调区间; (2)设 a>0,求 f(x)在上的最大值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;带绝对值的函数;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)首先去掉函数的绝对值,写成分段函数,然后求出函数的单调增区间与单调减 区间;

(2)设 a>0,对 a 进行讨论分 0<a<1 时,1≤a≤2、 的单调区间分别求 f(x)在上的最大值. 解答: 解: (1)f(x)=x|x﹣2|= =



,借助函数

∴f(x)的单调递增区间是(﹣∞,1]和. (2)①当 0<a<1 时,f(x)在上是增函数, 此时 f(x)在上的最大值是 f(a)=a(2﹣a) ; ②当 1≤a≤2 时,f(x)在上是增函数,在上是减函数, 所以此时 f(x)在上的最大值是 f(1)=1 ③当 时,f(x)在是增函数,在上是减函数,在上是增函数, 而 , 所以此时 f(x)在上的最大值是 f(1)=1 ④当 时,f(x)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数, 而 , 所以此时 f(x)在上的最大值是 f(a)=a(a﹣2)

综上所述,f(x)max=



点评: 本题是中档题,考查二次函数的最值的应用,考查分类讨论思想,计算能力. 18.A,B 两城相距 100km,在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核电站给 A,B 两城供电.为保 证城市安全,核电站距城市距离不得少于 45km.已知供电费用(元)与供电距离(km)的平 方和供电量(亿度)之积成正比,比例系数λ=0.2,若 A 城供电量为 30 亿度/月,B 城为 20 亿度/月. (Ⅰ)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (Ⅱ)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小,最小费用是多少? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (Ⅰ)由题意得到每月给 A 城供电的费用和每月给 B 城供电的费用,求和可得月供电 总费用,由核电站到两城的距离不小于 45km 得到函数定义域; (Ⅱ)利用配方法求函数的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)每月给 A 城供电的费用为 0.2×30×x ,每月给 B 城供电的费用为 0.2×20 2 ×(100﹣x) , 2 2 ∴月供电总费用 y=0.2×30×x +0.2×20×(100﹣x) . 2 即 y=10x ﹣800x+40000. 由 ,得 45≤x≤55.
2 2

∴函数解析式为 y=10x ﹣800x+40000,定义域为; 2 2 (Ⅱ)由 y=10x ﹣800x+40000,得 y=10(x﹣40) +24000, ∵x∈,∴y 在上单调递增, ∴当 x=45 时, .

故当核电站建在距 A 城 45km 时,才能使供电费用最小,最小费用为 24250 元. 点评: 本题考查了函数模型的选择及应用,考查了简单的数学建模思想方法,训练了分段函 数解析式的求法,分段函数的最值得求法,分段函数的最值要分段求,是中档题. 19.已知函数 f(x)=cos x+asinx﹣a +2a+5 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最大值; (2)若函数 f(x)有最大值 2,试求实数 a 的值. 考点: 三角函数的最值. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: (1)由 a=1,化简可得 f(x)=﹣sin x+sinx+7,从而解得 f(x)≤
2 2 2 2 2 2 2



(2)y=﹣sin x+asinx﹣a +2a+6,令 sinx=t,t∈,有 y=﹣t +at﹣a +2a+6,对称轴为 t= , 讨论即可求得 a 的值. 解答: 解: (1)∵a=1 ∴f(x)=﹣sin x+asinx﹣a +2a+6=﹣sin x+sinx+7 ∴可解得:f(x)≤ (2)y=﹣sin x+asinx﹣a +2a+6,令 sinx=t,t∈ y=﹣t +at﹣a +2a+6,对称轴为 t= , 当 <﹣1,即 a<﹣2 时,是函数 y 的递减区间,ymax=y|t=﹣1=﹣a +a+5=2 得 a ﹣a﹣3=0,a=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

,与 a<﹣2 矛盾;
2

当 >1,即 a>2 时,是函数 y 的递增区间,ymax=y|t=1=﹣a +3a+5=2 得 a ﹣3a﹣3=0,a=
2

,而 a>2,即 a=
2



当﹣1≤ ≤1,即﹣2≤a≤2 时,ymax=y

=﹣ a +2a+6=2

得 3a ﹣8a﹣16=0,a=4,或﹣ ,而﹣2≤a≤2,即 a=﹣ ; ∴a=﹣ ,或 .

2

点评: 本题主要考查了三角函数的最值,一元二次函数的性质的应用,属于基本知识的考查. 20.已知函数 f(x)= 为奇函数.

(1)求 b 的值; (2)证明:函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; (3)解关于 x 的不等式 f(1+2x )+f(﹣x +2x﹣4)>0.
2 2

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(0)=0,求得 b 的值. (2)由(1)可得 f(x)= ∞)上是减函数. (3)由题意可得 f(1+2x )>f(x ﹣2x+4) ,再根据函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函 2 2 数,可得 1+2x <x ﹣2x+4,且 x>1,由此求得 x 的范围. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= (2)由(1)可得 f(x)= 为定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=b=0.
2 2

,再利用函数的单调性的定义证明函数 f(x)在区间(1,+

,下面证明函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.

证明:设 x2>x1>0,则有 f(x1)﹣f(x2)=



= 再根据 x2>x1>0,可得 1+

= >0,1+

. >0,x1﹣x2<0,1﹣x1? x2<0,∴

>0, 即 f(x1)>f(x2) ,∴函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数. 2 2 2 2 2 (3)由不等式 f(1+2x )+f(﹣x +2x﹣4)>0,可得 f(1+2x )>﹣f(﹣x +2x﹣4)=f(x ﹣2x+4) , 再根据函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,可得 1+2x <x ﹣2x+4,且 x>1 求得 1<x <3, 故不等式的解集为(1,3) . 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于基 础题.
2 2


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