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第2讲:概率与统计初步训练


第十六讲:概率与统计
知识小结: 1、在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件。在一定条件下必然不发生的事件 叫做不可能事件。 2、 在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。 3、 表示随机事件发生的可能性大小的数,叫做该随机事件的概率,记作 P(A) 。 如果某个试验共有 N 种等可能出现的结果, 每一个结果都是随机事件, 那么每个结 果出现的概率为

/>
1 ,0 ? P( A0 ? 1. N

4、如果一个试验共有 N 种等可能出现的结果,而且其中任意两个结果都不可能同 时出现,则称这个试验为等可能试验。 5、如果某个试验共有 N 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结果有 k 种,那 么事件 A 的概率 P( A) ?

k . N

6、在统计中,所要考察对象的全体叫做总体,而其中每一个考察对象称为个体,把从总 体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中所包含的个体的个数叫做样本容量。 7、在统计中,用总体平均数 ? ?

1 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) (其中 N 是指总体是 N 个 N

个体,它们所取的值分别为 x1 , x2 ,? x N ) 来表示总体的平均状况;用总体中位数 ? (其 中 ? 指总体当 N 为偶数时,位于该数列正中位置的两个数的平均数)表示总体的一般水 平。 另外,用总体方差和总体标准差来反映总本中各个体的离散程度。 设总体有 N 个个体,它们的值分别 x1 , x2 , ? xN ,各个个体与总体平均数 ? 的差 的平均方分别是 ( x1 ? ? ) 2 , ( x2 ? ? ) 2 ,?, ( xN ? ? ) 2 将它们的平均数为总体方差,记为

? 2 ,即
?2 ?
1 1 2 2 ( x1 ? ? ) 2 ? ( x2 ? ? ) 2 ? ? ? ( x N ? ? ) 2 ? ( x12 ? x2 ? ? ? xN ) ? ? 2. N N

?

?

而将总体方差的算术平方根 ? 称为总体标准差。 总体方差反映了各个个体离开平均数 ? 的偏离程度, ? 越大,总体各个体之间的
2

差别也越小; ? 越小,总体各个体越接近平均数 ? 。
2

实施随机抽样调查的最主要方法是抽签法和随机数表示法。
1

例 1、填空题: (1)某小组有成员 3 人每人在一个星期中参加一天劳动,如果劳动日期可随机安排, 则 3 人在不同的 3 天参加劳动的概率为 。 解: P ?
3 C7 30 ? ; 3 49 7

(2)有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 3 面,在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1、 2 和 3,现任取出 3 面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 。 解: P ?
1 1 p3 ? p1 1 2 ? p1 ? ; 1 1 1 c3 ? c3 ? c3 14

(3)在某次花样滑冰比赛中,发生裁判受贿事件,竞赛委员会决定将裁判由原来的 9 名增至 14 名,但只任取其中 7 名裁判的评分作为有效分,若 14 名裁判的评分中有 2 个 受贿,则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 。
7 c12 3 解: p ? 7 ? ; c14 13

(4)某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成。现从中 随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 。 解: p ?
1 1 1 1 1 2 2 2 c11 ? c1 C11 ? c4 ? c5 3 3 4 ? c11 ? c5 ? c4 ? c5 或是 ? ; 1 ? ? 2 2 C20 13 13 c20

(5)若在二项式 ( x ? 1)10 展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率 解: p ?



4 ; 11

2 3 4 5 中,若随机取出三个数字,则剩下两 (6) (2007 年上海高考题)在五个数字 1,,,,

个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示) . 解: p ?
1 C3 ? 0.3 3 C5

(7)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本。将它们 任意地排成一排, 左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 (结果用分数表示) 。 解: p ?

2 ? 4!?4! 1 ? ; 8! 35

例题 2、以平行六面体 ABCD-A’B’C’D’的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出 两个三角形,则这两个三角形不共面的概率是多少?
3 2 解:由 8 个顶点任取三个,可以构成 C8 种,但 ? 56 个三角形,从中任取两个三角形情形 C56
2 12C4 367 ? 2 385 C56

共面的情况有 12C4 种,故两个三角形不共面的概率是: 1 ?
2

2

例题 3、 某轻轨列车有 4 节车厢,现有 6 位乘客准备乘坐,设每一位乘客进入每节车厢是等 可能的,则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0,1,2,3 的概率是多少? 解:6 位乘客等可能的进入 4 节轻轨车厢,有 4
6

1 种方法,4 节车厢选一节不进入,有 C4 种选

3 2 1 法.6 人中分 3 组,各组分别为 3 人,2 人,1 人的分法有 C6 种分法,3 组进入三节车 ? C3 ? C1

厢有 P33 种分法,因此,所求概率:
1 3 2 1 3 C4 C6 C3 C1 P3 4 ? 5 ? 4 ? 3 ? 6 45 p? ? ? . 128 46 46

例题 4、 设有 10 个人,每个人都等可能地被分到 16 个房间中的任意一间去住,求下列事件 的概率: (1)指定的 10 个房间各有一个人住; 解:记”指定的 10 个房间各有一人住”为事件 A1 ,则在 16 种可能结果中,满足 A1 的住法有 10!种,故 P ( A1 ) ?
10

10! . 1610

(2)恰好有 10 个房间,其中各住一个人
10 解 : 记 ” 恰好有 10 个房间 , 其中各住一个人 ” 为 A2 , 则满足 A2 的住法有 C16 10! 种 , 故
10 C16 10! 16! ? 10 . 10 16 16 ? 6!

P( A2 ) ?

(3)某指定的房中恰好有 3 个人.
3 记”某指定的房中恰好有 3 个人”为事件 A3 ,则指定房间中的住法有 C10 种,剩下 7 个人可 3 任 意 在 剩 下 15 个 房 间 去 挑 , 有 15 种 , 故 满 足 A3 的 住 法 有 C10 ?157 种 , 于 是
7

3 C10 ?157 P( A3 ) ? . 1610

例题 5、4 个球投入 5 个盒子中. 求(1)每个盒子最多 1 个球的概率是多少? 解:每个球投入 5 个盒子中,有 5 种方法,即基本事件总数有 5 种,每个盒子最多一个球的 事件数为 P54 .故 P( A) ?
4 4

P54 24 ? . 5 4 125

(2) 恰有一个盒子放 2 个球,其余盒子最多放 1 个球的概率是多少? 恰 有 一 个 盒 子 放 2 个 球 , 其 余 盒 子 最 多 放 1 个 球 的 事 件 数 为 C4 P5 种 . 故
2 3

P( A) ?

2 3 C4 P5 72 ? . 4 125 5

3

例 6、某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站(包括起点站和终点站) ,在起点站开出的 一辆公共汽车上有 6 位乘客,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能 的.求: (I)这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率; (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率; 解(I)这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为

P?

6 P 1512 10 ? . 6 10 106

3 C6 ? 93 1458 ? 6 ? 0.01458 . (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率为 P ? 106 10

例题 7、设集合 I ? ? 1,2,3,4,5?, 随机选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大 于 A 中最大的数,则这样不同的选择方法占总数的概率是多少? 设集合 A 中最大数可分四类: (1)当 A 中最大数为 1 时,则 B 为 ?2,3,4,5?的非空子集有 2 ? 1 ? 15 (个)
4

(2)当 A 中最大数为 2 时, 则 B 为 ?3,4,5? 的非空子集有 2 ? 1 ? 7 (个)而这时的 A 有 2 个,
3

因此,共有 7 ? 2 ? 14 (个) (3)当 A 中最大数为 3 时,则 B 为 ?4,5?的非空子集,有 2 ? 1 ? 3 ( 个).而这时的 A 有
2

0 1 2 C2 ? C2 ? C2 ? 4 (个),因此,共有 3 ? 4 ? 12 (个)

0 1 2 3 (4)当 A 中最大数为 4 时,则 B 为 ?5?只有 1 个.而这时的 A 有 C3 ? C3 ? C3 ? C3 ? 8 (个),

因此,共有 1? 8 ? 8 (个).
1 2 5 2 又 I 的非空子集为 c5 个。 ? c5 ? ? ? c5 ? 25 ? 1 ? 31,随机选择两个子集有 c31

综上所述,所求概率为 p ?

15 ? 14 ? 12 ? 8 49 。 ? 2 465 c31

例 8、有甲、乙两只口袋,甲袋装有 3 个白球和 4 个黑球,乙袋装有 4 个白球和 3 个黑 球,若从甲、乙两袋中给任取出两球后并交换放入袋中。 (1)求甲袋内恰好有 1 个白球的概率; (2)求甲袋内恰好有 2 个白球的概率。 解: (1)设甲袋内恰好有 1 个白球为事件 A,则 A 仅有一种情况:甲袋中取 2 个白球, 乙袋中取 2 个黑球。

? P( A) ?

C32C32 1 ? . 2 2 C7 C7 49
4

(2)设甲袋内恰好有 2 个白球为事件 B,则 B 包含 2 种情况: (1)甲袋中取 2 个白球, 且乙袋中取 1 个白球,1 个黑球; (2)甲袋中取 1 个白球,1 个黑球,且乙袋中取 2 个 黑球。
1 1 1 1 C32 ? C4 ? C3 ? C3 ? C4 ? C32 8 ? P( B) ? ? . 2 2 C7 ? C7 49

例 9:填空题 (1)设有两组数据 x1 , x2 ,?, xn 与 y1 , y2 ,? yn ,它们的平均数分别为 x和 y ,则新的 一组数 3x1 ? 2 y1 ,3x2 ? 2 y2 ,?,3xn ? 2 yn 的平均数是 解:平均数为 3x ? 2 y (2) 、某球队在校际联赛的九场篮球赛中,得分较高的 1 号和 5 号球员各场得分情况如 下: 。

1号 2号

21 21

19 20

26 17

23 32

28 19 。

26 30

27 24

25 29

27 30

假定两人上场比赛时间相同,则最佳得分手为

解:比较两人的方差的大小,取小的方差的选手为 1 号。

(3)、 点p1 ( x1 , y 2 ), p2 ( x2 , y 2 ),?, pn ( xn , y n )都在y ? 2 x ? 5, 若数据x1 , x2 ?, xn的标准差为 x , 试用 x来表示数据y1 , y 2 ,?, y n的标准差 y等于 ______ .

解:标准差为 2 x ( 4 ) 若 点 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ),?, p10 ( x10 , y10 )在直线y ? 3x ? 1 上 , 且 数 据

x1 , x2 ,?, x10 的方差为 8,则数据 y1 , y 2 ,? y10 的方差为
解:通过公式代入运算求出结果为 72



例题 10:某校有学生 1400 名,从中随机抽出 140 名,调查他们对某学科是否兴趣,其 结果如下: 感兴趣情况 有兴趣 无兴趣 男生 45 37
5

女生 25 33

(1) 估计该校学生中有该学科有兴趣的总人数; (2) 分别估计该校女生与男生对该学科无兴趣人数。

45 ? 25 ? 1400 ? 700 ,所以估计该校有 700 名学生对该学科有兴趣; 140 37 33 ? 1400 ? 370 , S 女 ? ? 1400 ? 330 . 2) S 男 ? 140 140
解:1) S ? 所以估计该校有 370 名男生和 330 名女生对该学科无兴趣。 例题 11:检验甲乙两个工人所加工的零件,测得的零件直径的数据如下: (单位 mm) 甲:18.04,19.98,18.00,18.02,17.96,18.00 乙:18.01,18.00,17.95,18.00,18.05,19.99 (1) 求每组数据的平均数; (2) 求每组数据的方差; (3) 求每组数据的标准差; (4) 谁加工的零件的直径大小较稳定? 解

1 ?18.04 ? 19.98 ? 18.02 ? 17.96 ? 18.00 ? ? 1 ? 110 ? 18.3 6 6 1 1 x乙 ? ?18.01 ? 18.00 ? 17.95 ? ?18.00 ? 18.05 ? 19.99 ? ? ? 110 ? 18.3 6 6
: ( 1 )

x甲 ?

2 2 2 2 1 ??18.04 ? 18.3? ? ?19.98 ? 18.3? ? ?18.00 ? 18.3? ? ?18.02 ? 18.3? ? ? (2)? ? ? ? 2 2 6? ??17.96 ? 18.3? ? ?18.00 ? 18.3? ? ? 2 甲

? 0.544
2 ?乙 ?

1 ?18.01? 18.3?2 ? ?18.00 ? 18.3?2 ? ?17.95 ? 18.3?2 ? ?18.05 ? 18.3?2 ? ?19.99 ? 18.3?2 6 ? 0.5509

?

?

(3)? 甲 ? 0.7376 , (4) ?? 甲 ? ? 乙 ,

? 乙 ? 0.7422

∴甲加工的零件的直径大小较稳定. 例题 12:某班 n 个学生在一次英语考试中,学号为第 i 号的学生得 x i 分(i=1,2,3…, n) ,全班平均成绩为 x ,标准差为 S,为了更客观地反映学生的英语学习情况,并便于 同其他学科比较,采用如下的记分方式:

Ti ?

xi ? x , i ? 1,2,?, n S

称 Ti 为第 i 号学生的标准分(i=1,2,…,n)简称第 i 号学生 T 分数,采用 T 分数后,
6

试求全班 T 分数, T1 ,T2 ,?,Tn 的平均值和方差。 解: T ?

1 1 x ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x (T1 ? T2 ? ? ? Tn ) ? ( 1 ) n n S

=

1 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? n x ? 0 nS
2 1 1 ? ( x ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ? (T1 ? T ) ? (T2 ? T ) ? ? ? (Tn ? T ) ? ? 1 ? n n? S2 ?

?

?

ST ?

2

?

?

=

1 S2

1 1 ?1 ? 1 ( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ? ? 2 ? S 2 ? 1 ? n n ?n ? S

7


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