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广东省江门市2013届高三第一次模拟数学理试题(WORD解析版)


2013 年广东省江门市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 分) (4 (2013?江门一模)已知函数 定义域为 M,g(x)=lnx 定义域为 N,则 M∩N=

( ) A. {x|x≤1} B. {x

|0<x≤1} C. {x|0<x<1} D. {x|0≤x≤1} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先分别求出函数的定义域,再进行交集运算即可. 解答: 解:∵1﹣x≥0?x≤1,∴M=(﹣∞,1],N=(0,+∞) ,∴M∩N=(0,1], 故选 B 点评: 本题考查交集及其运算. 2. 分) (4 (2013?江门一模)在复平面内,O 是原点,向量 如果点 A 关于实轴的对称点为点 B,则向量 对应的复数是 2﹣i(其中,i 是虚数单位) , )

对应的复数是(

A. ﹣2﹣i B. ﹣2+i C. 2+i D. 1﹣2i 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 先求出点 A 的坐标,再求出点 A 关于实轴的对称点为点 B 的坐标,可得向量 对应的复数. 解答: 解:由题意可得点 A 的坐标为(2,﹣1) ,点 A 关于实轴的对称点为点 B(2,1) ,则向量 对应

的复数是 2+i, 故选 C. 点评: 本题主要考查复数的代数表示及其几何意义,属于基础题. 3. 分) (4 (2013?江门一模)采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将他们随机编号 为 1,2,…,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8.抽到的 50 人中,编号 落入区间[1,400]的人做问卷 A,编号落入区间[401,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人 中,做问卷 C 的人数为( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意可得抽到的号码构成以 8 为首项、以 20 为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为 an,由 751≤an≤1000 求得正整数 n 的个数,即为所求. 解答: 解:由 1000÷50=20,故由题意可得抽到的号码构成以 8 为首项、以 20 为公差的等差数列, 且此等差数列的通项公式为 an=8+(n﹣1)20=20n﹣12. 由 751≤20n﹣12≤1000 解得 38.2≤n≤50.6. 再由 n 为正整数可得 39≤n≤50,且 n∈Z,

故做问卷 C 的人数为 12, 故选 A. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,系统抽样的定义和方法,属于基础题. 4. 分) (4 (2013?江门一模)如图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为( )

A.72

B.36

C.24

D.12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 通过三视图,判断几何体的形状,利用三视图的数据,求解几何体的体积即可. 解答: 解:由题意可知,几何体是三棱锥,底面三角形的一边长为 6,底面三角形的高为:4, 棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点,棱锥的高为:3. 所以几何体的体积: =12.

故选 D. 点评: 本题考查三视图视图能力与几何体的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.

5. 分) (4 (2013?江门一模)在△ ABC 中,若 A. B. C.





,则 AC=( D.



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知可先求出 C,然后由正弦定理得, 解答: 解:∵ ∴C= 则由正弦定理可得, , , ,

,代入即可求解

∴AC=

=4

故选 D 点评: 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用,属于基础试题 6. 分) (4 (2013?江门一模)若 x>0、y>0,则 x+y>1 是 x +y >1 的( A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.非充分非必要条件
2 2



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 取特殊值得到反例,从而说明充分性不成立;利用不等式的性质加以证明,可得必要性成立.由此 即可得到本题的答案. 解答: 解:先看充分性 可取 x=y= ,使 x+y>1 成立,而 x +y >1 不能成立,故充分性不能成立; 若 x +y >1,因为 x>0、y>0,所以(x+y) =x +y +2xy>x +y >1 ∴x+y>1 成立,故必要性成立 综上所述,x+y>1 是 x +y >1 的必要非充分条件 故选:B 点评: 本题给出两个关于 x、y 的不等式,求它们之间的充分必要关系,着重考查了不等式的基本性质和 充分必要条件的证明等知识,属于基础题. 7. 分) (4 (2013?江门一模)已知 x、y 满足 x +y =4,则 z=3x﹣4y+5 的取值范围是( ) A.[﹣5,15] B.[﹣10,10] C.[﹣2,2] D.[0,3] 考点: 二次函数的性质;函数的值域;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 把 z=3x﹣4y+5 变为直线 3x﹣4y+5﹣z=0,本题要求直线和圆 x +y =4 有交点,根据圆心到直线的 距离小于或等于半径,求得 z 的范围. 解答: 解:z=3x﹣4y+5 即直线 3x﹣4y+5﹣z=0,由题意可得直线和圆 x2+y2=4 有交点, 故有 ≤2,化简可得﹣10≤z﹣5≤10,解得﹣5≤z≤15,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

故选 A. 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,待定系数法求直线的解析 式,利用了数形结合及转化的思想,若直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌 握此性质是解本题的关键,属于基础题. 8. 分) (4 (2013?江门一模)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x﹣2x , 则 f(x)在区间[0,2013]内零点的个数为( ) A.2013 B.2014 C.3020 D.3024
2

考点: 根的存在性及根的个数判断;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可求得函数是一个周期函数,且周期为 2,故可以研究出一个周期上的函数图象,再研究所 给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数 2 解答: 解:f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,又 x∈[0,1]时,f(x)=x﹣2x ,要研究函数 y=f (x)在区间[0,2013]零点个数,可将问题转化为 y=f(x)与 x 轴在区间[0,2013]有几个交点,如 图

由图知,f(x)在区间[0,2013]内零点分别是: , , ,…,

.共有 2013 个零点.

故选 A. 点评: 本题考查函数的零点,求解本题,关键是研究出函数 f(x)性质,作出其图象,将函数 y=f(x) 在区间[0,2013]的零点个数的问题转化为交点个数问题是本题中的一个亮点,此一转化使得本题 的求解变得较容易. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 35 分. * 9. 分) (5 (2013?江门一模)已知数列{an}的首项 a1=1,若?n∈N ,an?an+1=﹣2,则 an= .

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由给出的递推式,取 n=n+1 得另一个式子,两式作比后可得:

(n∈N ) ,由此可得数列的

*

所有奇数项构成常数列,所有偶数项构成常数列,则数列的通项公式可求. 解答: 解:数列{an}中,由 an?an+1=﹣2①,得:an+1?an+2=﹣2②, ②÷①得: (n∈N ) ,
*

∴数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以 1 为公比的等比数列, 由 a1=1,且 an?an+1=2,得: .

∴数列{an}的通项公式为



故答案为



点评: 本题考查了数列的递推式,考查了由递推式求数列的通项公式,由数列的递推式求通项公式时,替 换 n 的取值,由已知递推式得另一递推式,然后两式联立是求解该类问题常用的方法,此题是中档 题. 10. 分) (5 (2013?江门一模)执行程序框图,如果输入 a=4,那么输出 n= 4 .

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 通过程序框图,按照框图中的要求将几次的循环结果写出,得到输出的结果. 解答: 解:如果输入的 a 是 4,那么: 经过第一次循环得到 p=14,q=4,n=2, 经过第二次循环得到 p=18,q=16,n=3, 经过第三次循环得到 p=22,q=64,n=4, 此时不满足 p>q,执行输出 n=4, 故答案为:4.

点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时,常采用写出几次的结果找规律. 11. 分) (5 (2013?江门一模)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内(含正方体表面)任取一 点 M,则 的概率 p= .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是几何概型问题,欲求点 M 满足

的概率,先以 A 为原点建立空间直角坐标系,

由数量积公式得出点 M 到平面 ABCD 的距离大于等于 ,点 M 的轨迹是正方体的 ,求出其体积, 再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可. 解答: 解:本题是几何概型问题,正方体的体积为 V=8, 以 A 为原点建立空间直角坐标系,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴. 那么 A(0,0,0) 1(0,0,2) ,C 设 M(x,y,z) ,那么 x,y,z∈[0,2] ∴ 则 =(x,y,z) , =(0,0,2) . ,

,即 2z≥1,z

即点 M 与平面 ABCD 的距离大于等于 ,点 M 的轨迹是正方体的 ,其体积为:V1=

则 故答案为: .

的概率 p 为: ,

点评: 本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、化归 与转化思想.属于基础题

12. 分) (5 (2013?江门一模) 在平面直角坐标系 Oxy 中, 若双曲线

的焦距为 8, m= 则

3 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过双曲线的方程,判断实轴所在轴,求出 c,利用焦距求出 m 的值即可. 解答: 解:因为在平面直角坐标系 Oxy 中,双曲线 的焦距为 8, 所以 m>0,焦点在 x 轴,所以 a =m,b =m +4,所以 c =m +m+4, 又双曲线
2 2 2 2 2 2

的焦距为 8,
2

所以:m +m+4=16,即 m +m﹣12=0,解得 m=3 或 m=﹣4(舍) . 故答案为:3. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,判断双曲线的焦点所在的轴是解题的关键,法则容易出错. 13. 分) (5 (2013?江门一模)在平面直角坐标系 Oxy 中,直线 y=a(a>0)与抛物线 y=x 所围成的封闭 图形的面积为 ,则 a= 2 .
2

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 联立方程,先求出其交点坐标,再利用微积分基本定理定理即可得出. 解答: 解:由 可得可得 A( ,a)B( ,a)

S= 解得 a=2 故答案为:2

=(ax



=

=

=

点评: 此题考查了定积分的运算,考查了数形结合的思想,利用定积分表示封闭图形的面积是解本题的关 键. 14. 分) (5 (2013?江门一模) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ) (0≤θ<2π)中,曲线 ρsinθ=2 与 ρcosθ=﹣2 的交点的极坐标为 .

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 计算题. 分析: 将 ρ= 代入 ρcosθ=﹣2 消去 ρ,可得 tanθ=﹣1,通过讨论进一步缩小 θ 的范围,即可求出 θ 的值,再代入任意一个方程即可求出 ρ 的值. 解答: 解:ρsinθ=2 即 ρ= ∵0≤θ≤2π,∴θ= 将 θ= 代入 ρ= . ,得 ρ=2 . . ,将 ρ= 代入 ρcosθ=﹣2,得 tanθ=﹣1.

故曲线 ρsinθ=2 与 ρcosθ=﹣2 的交点的极坐标为 故答案为: .

点评: 本题考查极坐标系中的曲线与曲线的交点的极坐标,可直接代入计算出,亦可先化为普通方程求出 其交点坐标,然后再化为极坐标. 15. 分) (5 (2013?江门一模) (几何证明选讲选做题) 如图, O 内的两条弦 AB、 相交于 P, 圆 CD PA=PB=4, PD=4PC.若 O 到 AB 的距离为 4,则 O 到 CD 的距离为 .

考点: 圆內接多边形的性质与判定. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 取 AD 中点 M,连接 OD、OM、OP、OA,可得 OM⊥CD 且 OP⊥AB.Rt△ OPA 中运用勾股定理 算出 OA=4 ,根据相交弦定理和题中数据算出弦 CD=10,从而在 Rt△ OMD 中用勾股定理算出 OM= ,即得圆心 O 到 CD 的距离. 解答: 解:取 AD 中点 M,连接 OD、OM、OP、OA, 根据圆的性质,OM⊥CD,OM 即为 O 到 CD 的距离 ∵PA=PB=4,即 P 为 AB 中点, ∴OP⊥AB,可得 OP=4. Rt△ OPA 中,OA= ∵PA=PB=4,PD=4PC, ∴由 PA?PB=PC?PD,即 4 =4PC ,可得 PC=2 因此,PD=4PC=8,得 CD=10 ∴Rt△ OMD 中,DM= CD=5,OD=OA=4 可得 OM= 故答案为: =
2 2

=4

点评: 本题给出圆的相交弦,在已知交点分弦的比值情况下求弦到圆心的距离,着重考查了相交弦定理、 垂径定理等圆的常用性质的知识,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 83 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (13 分) (2013?江门一模)已知函数 (A>0,x∈R)的最小值为﹣2.

(1)求 f(0) ; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 ?(?>0)个单位长度,得到的曲线关于 y 轴对称,求 ?的最小值.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;函数的值;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的最值求出 A,从而求得函数的解析式,进而求得 f(0)的值. (2)函数 f(x)的图象变换后得到的图象对应的函数解析式为 此曲线关于 y 轴对称,可得 解答: 解: (1)因为函数 所以 A=2, .…(4 分) (2)函数 f(x)的图象向左平移 ? >0)个单位长度,可得 (? 分) 因为 (8 分) 解得 ,…(10 分) .…(12 分) 的图象关于 y 轴对称,所以 .… .…(6 ,由此求得 ?的最小值. (A>0,x∈R)的最小值为﹣2, …(2 分) , ,根据

因为 ?>0,所以 ?的最小值为

点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图象求解析式,函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规 律以及对称性,属于中档题. 17. (14 分) (2013?江门一模)春节期间,某商场决定从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,选出 3 种商 品进行促销活动. (1) )试求选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率; (2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元,规定购 买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为 m 元的奖金;若中两次奖,则共获得数额 为 3m 元的奖金; 若中 3 次奖, 则共获得数额为 6m 元的奖金. 假设顾客每次抽奖中获的概率都是 , 请问: 商场将奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利? 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;相互独立事件. 专题: 概率与统计. 分析: (1)求互斥事件的概率一般有两种方法,直接法和间接法,本小题用用间接法比较简便.事件“至 少有一种是家电”的对立事件是“商品中没有家电”,用公式 P(A)=1﹣P( ) ,即运用逆向思维计 算. (2)欲求 m 的值,需要先求奖金总额的期望值,要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总 额的期望值不大于商场的提价数额即可. 解答: 解: (1)设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A,从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,

选出 3 种商品,一共有

种不同的选法…(1 分) , 种…(2 分)

选出的 3 种商品中,没有家电的选法有

所以,选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为

…(4 分)

(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ξ,其所有可能的取值为 0,m,3m,6m. (单 元:元)…(5 分) ξ=0 表示顾客在三次抽奖都没有获奖,所以 同理, …(7 分) …(8 分) 分) 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 …(12 分) (列式(2 分) ,计算 1 分) 由 ,解得 m≤75…(13 分) …(9 …(6 分)

所以故 m 最高定为 75 元,才能使促销方案对商场有利…(14 分) . 点评: 本题考查古典概型、离散型随机变量的期望,以及运用互斥事件求概率的方法,同时考查期望的求 法.属于中档题. 18. (14 分) (2013?江门一模)如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2, , 过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E.F、G 分别是 CE、AD 的中点.现将△ ADE 沿 AE 折起,使二面角 D﹣AE ﹣C 的平面角为 135°. (1)求证:平面 DCE⊥平面 ABCE; (2)求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)先证线线垂直,由线线垂直?线面垂直?面面垂直. (2)作平面的垂线,得直线在平面内的射影,再在三角形中求解即可; 或利用向量的数量积公式,求直线向量与平面法向量夹角的余弦即为线面角的正弦. 解答: 解: (1)证明:∵DE⊥AE,CE⊥AE,DE∩CE=E,DE,CE?平面 CDE,∴AE⊥平面 CDE,

∵AE?平面 ABCE,∴平面 DCE⊥平面 ABCE. (2) (方法一)以 E 为原点,EA、EC 分别为 x,y 轴,建立空间直角坐标系 ∵DE⊥AE,CE⊥AE,∴∠DEC 是二面角 D﹣AE﹣C 的平面角,即∠DEC=135°, ∵AB=1,BC=2, ,∴A(2,0,0) ,B(2,1,0) ,C(0,1,0) ,E(0,0,0) ,D(0, ﹣1,1) . ∵F、G 分别是 CE、AD 的中点,∴F ∴ = , ,G ,

=(﹣2,0,0)(11 分) ,

由(1)知

是平面 DCE 的法向量, , ,

设直线 FG 与面 DCE 所成角 则

故求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 .

(方法二)作 GH∥AE,与 DE 相交于 H,连接 FH, 由(1)知 AE⊥平面 CDE,所以 GH⊥平面 CDE,∠GFH 是直线 FG 与平面 DCE 所成角. ∵G 是 AD 的中点,∴GH 是△ ADE 的中位线,GH=1, ,

∵DE⊥AE,CE⊥AE,∴∠DEC 是二面角 D﹣AE﹣C 的平面角,即∠DEC=135°, 2 2 2 在△ EFH 中,由余弦定理得,FH =EF +EH ﹣ 2×EF×EH×cos∠FEH ∵GH⊥平面 CDE,所以 GH⊥FH,在 Rt△ GFH 中, ∴直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 . ,∴ ,

点评: 本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角.求直线与平面所成的角有两种思路:一是,通过 作角﹣﹣证角﹣﹣求角;二是,利用向量数量积公式求解,直线向量与平面法向量夹角的余弦即为 直线与平面所成角的正弦.

19. (14 分) (2013?江门一模)已知椭圆 C 的中心在原点 O,离心率 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆的上顶点为 A,在椭圆 C 上是否存在点 P,使得向量 的方程;若不存在,简要说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 探究型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设椭圆 C 的方程为 根据 a =b +c ,联立方程组解出即可; (2)假设椭圆 C 上是存在点 P(x0,y0) ,使得向量 解答: 解: (1)设椭圆 C 的方程为 , 与
2 2 2

,右焦点为





共线?若存在,求直线 AP

,由离心率焦点坐标可得及

,再

共线,由向量共线及点 P 在椭圆

上得方程组,解出可得点 P 坐标,进而可求得直线 AP 方程;

∵椭圆 C 的离心率 ∵a =b +c ,∴ 故椭圆 C 的方程为
2 2 2

,右焦点为 , .

,∴



(2)假设椭圆 C 上是存在点 P(x0,y0) ,使得向量 ∵ (1) 又∵点 P(x0,y0)在椭圆 上,∴ , ,∴



共线,

,即



(2) ,

由(1)(2)组成方程组解得 、

,或



∴P(0,﹣1) ,或



当点 P 的坐标为(0,﹣1)时,直线 AP 的方程为 y=0, 当点 P 的坐标为 时,直线 AP 的方程为 ,

故椭圆上存在满足条件的点 P,直线 AP 的方程为 y=0 或 . 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及向量共线问题,考查学生分析问题解决问 题的能力. 20. (14 分) (2013?江门一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,?n≥2,3Sn﹣4、2an、2﹣Sn﹣1 总成 等差数列. (1)求 Sn; * k 2k (2)对任意 k∈N ,将数列{an}的项落入区间(3 ,3 )内的个数记为 bk,求 bk. 考点: 数列的求和;数列的函数特性;等差关系的确定. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由已知可得 4an=(3Sn﹣4)+(2﹣Sn﹣1) ,结合 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2) ,可 Sn 与 Sn﹣1 的递推关 系,构造等比数列{Sn﹣1}可求 (2)由(1)及 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2) ,可求 an,然后由 ,代入通项可得,k+2﹣log32

<n<2k+2﹣log32,从而可求 n 的取值,进而可求 bk, 解答: 解: (1)?n≥2,3Sn﹣4、2an、2﹣Sn﹣1 总成等差数列, 所以,2×2an=(3Sn﹣4)+(2﹣Sn﹣1)…(1 分) 因为 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2) ,所以 4(Sn﹣Sn﹣1)=(3Sn﹣4)+(2﹣Sn﹣1) , 即 Sn=3Sn﹣1﹣2…(3 分) 又因为 a1=2,Sn﹣1﹣1≠0, ,S1﹣1=1,

所以数列{Sn﹣1}是首项等于 1,公比 q=3 的等比数列…(6 分) ,即 (2)由(1)得?n≥2, n=1 时,2×3
* n﹣2

…(7 分) …(8 分)
*

=2×1=2=a1,所以,任意 n∈N , ,即 3 <2×3
k n﹣2 2k

…(9 分)

任意 k∈N ,由

<3 …(11 分) ,

(k<log32+(n﹣2)<2k,k+2﹣log32<n<2k+2﹣log32…(12 分) 因为 0<log32<1,所以“若学生直接列举,省略括号内这一段解释亦可”) n 可取 k+2、k+3、…、2k+1…(13 分) ,

所以 bk=k…(14 分) 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式, 解题时不要漏掉了对 n=1 时的项 的检验

21. (14 分) (2013?江门一模)已知

(x>0,a 是常数) ,若

对曲线 y=f(x)上任意一点 P(x0,y0)处的切线 y=g(x) ,f(x)≥g(x)恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出先求然后求出 f'(x) ,再根据切点坐标,求出 f'(x0)的值即为切线的斜率,利用点斜式可求 出切线方程; 再将 (x) (x) f ≥g 恒成立, 转化为 记 , ,利用导数研究其单调性和最值,然

后分类讨论建立关于 a 不等式,解之即可求出 a 的取值范围. 解答: 解:依题意, 处的切线为 即 直接计算得 直接计算得 f(x)≥g(x)等价于 记 ,则 ,所以 …(1 分)y0=f(x0) ,曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0) …(2 分) , …(3 分) …(5 分) , …(7 分)

…(8 分) 若 a +a≤0,则由 h′(x)=0,得 x=x0…(9 分) , 且当 0<x<x0 时,h′(x)<0,当 x>x0 时,h′(x)>0…(10 分) , 所以 h(x)在 x=x0 处取得极小值,从而也是最小值,即 h(x)≥h(x0)=0,从而 f(x)≥g(x) 恒成立…(11 分) . 若 a +a>0,取
2 2

,则



且当 x1≠x0 时 h′(x)>0,h(x)单调递增…(12 分) , 2 所以当 0<x<x0 时,h(x)<h(x0)=0,与 f(x)≥g(x)恒成立矛盾,所以 a +a≤0…(13 分) , 从而 a 的取值范围为﹣1≤a≤0…(14 分) 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的单调性和最值,同时 考查了转化的思想,属于中档题.


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