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概率知识点整理及其相关习题解析 二


概率知识点整理及其相关习题解析二

1.将 n 只球随机地放入 N(N≥n)个盒子中去, 试求每个盒 子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限) 。 解:将 n 只球放入 N 个盒子中去,每种放法是一基本事件。易知,这是古典概 率问题,因每一只球都可放入 N 个盒子中的任一盒子,故知共有 N×N×..×N 种不同的放法,而每个盒子中至多一只球共有 N(N-1).

.[N-(n-1)]种不同放法,因而 所求的概率为 p=N(N-1)..(N-n+1)/(N^n)=N!/(n!(N-n)!(N^n)). 知识点:古典概率。 古典概率【等可能概型】特点: *1 试验的样本空间只包含有限个元素; *2 试验中每个基本事件发生的可能性相同。 2.设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取 n 件,问其中恰有 k(k≤D)件次 品的概率? 解:在 N 件产品中抽取 n 件(这里指不放回抽样),所有可能的取法共有 C[n][N] 【上标 n 下标 N】种,每种取法为一基本事件,且由于对称性知每个基本事件发 生的可能性相同,又因在 D 件次品中取 k 件,所有可能的取法有 C[k][D]种,在 N-D 件正品中取 n-k 件所有可能取法有 C[n-k][N-D]种,由乘法原理知在 N 件中取 n 件,其中恰好有 k 件次品的取法共有 C[k][D]C[n-k][N-D] 种,于是所求概率 p=C[k][D]C[n-k][N-D]/C[n][N] 知识点:乘法原理,超几何概率。 3.在 1~2000 的整数中随机取一数,问取到的整数既不能被 6 整除,又不能被 8 整除的概率? 解:设 A 为事件“取到的数能被 6 整除”B 为事件“取到的数能被 8 整除” ,则 所求概率为: P(!A!B)=P(!(A∪B))=1-P(A∪B)【!A 为 A 非,A+B 为 A 与 B 的和事件】 =1-[P(A)+P(B)-P(AB)] 由于 333<2000/6<334,故得 P(A)=333/2000. 由于 2000/8=250,故得 P(AB)=83/2000. 于是所求的概率为 p=1-(333/2000+250/2000-83/2000)=3/4. 4.将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去, 这 15 名新生中有 3 名是优秀生。 问 1)每个班级各分配到一名优秀生的概率 2)3 名优秀生分配在同一班级的概率 解:15 名新生平均分配到三个班级的分法总数: C[5][15]C[5][10]C[5][5]=15!/(5!5!5!) 每种分配法为一基本事件,且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同。 1)将 3 名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共 3!种,对

于每一分法,其余 12 名新生平均分配到三个班级中分法共有 12!/(4!4!4!)种,因 此,每一班级各分配到一名优秀生的分法共有 3!12!/(4!4!4!)种,于是 p=3!12!/(4!4!4!)/(15!/(5!5!5!))=25/91. 2)将 3 名优秀生分配到同一班级的分法共有 3 种,对于每种分法,其余 12 名新 生的分法(一个班级 2 名, 另俩班级各 5 名)有 12!/(2!5!5!),因此 3 名优秀生分配到 同一班级的分法共有 3!12!/(2!5!5!),于是所求概率为 p=3!12!/(2!5!5!)/(15!/(5!5!5!))=6/91 5.(小概率事件)某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已知所有 12 次来访都在 周二周四进行的,问是否可推断接待时

间是又规定的? 解: 假设接待站的接待时间没规定,而各次来访在一周的人一天去接待站是等可 能的,那么 12 次接待来访者都是在周二周四的概率为 2^12/7^12=0.000 000 3. 人们在长期的实践中总结得到 “概率很小事件在一次试验中实际上几乎是不发生 的” 【实际推断原理】 ,现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了,因此有理 由怀疑假设的正确性, 从而推断接待站不是每天都接待来访者,即认为其接待时 间有规定。 6.在 11 张卡片上分别写上 probability 这 11 个字母,从中任意抽取 7 张求其排列 结果为 ability 的概率。 解:a.E:自 11 个字母中随机接连抽 7 个字母并,依次排列,将 11 个字母中两 个 b 看成可分辨的,两个 i 也看成可分辨的 N(S)=A[7][11],以 A 记事件“排列结果 为 ability”,则 N(A)=4(因 b 有两种取法,i 也有两种取法),因而 P(A)=N(A)/N(S)=4/A[7][11]=2.4×10^(-6). b.以 A1,B2,I3,L4,I5,T6,Y7 依次表示取得字母 a,b,i,l,i,t,y 各事件,则所求 概率为 P(A1B2I3L4I5T6Y7)=P(A1)P(B2|A1)P(I3|A1B2)P(L4|A1B2I3)P(I5|A1B2I3L4)P(T6|A1B2 I3L4I5)P(Y7|A1B2I3L4I5T6)=(1/11)(2/10)(2/9)(1/8)(1/7)(1/6)(1/5)=4/A[7][11] 注意:在解法 a 中仅当将两个 i 看成可区分,两个 b 看成可区分的,才属于古典 概型问题。 【乘法定理】设 P(A)>0,则有 P(AB)=P(B|A)P(A) 设 A,B,C 为事件,且 P(AB)>0,则有 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),在这里,注意到 由假设 P(AB)>0,可推得 P(A)≥P(AB)>0. 7.某种产品的商标为(MAXAM),其中有 2 个字母脱落,有人捡起随意放回,求放回 后仍为(MAXAM)的概率。 解:以 H1,H2,H3,H4,H5 依次表示事件“脱落 M,M” “脱落 A,A” “脱落 X,A” “脱落 X,M”以 G 表示事件“放回后仍为 MAXAM”,所需求的是 P(G),可知 H1,

H2,H3,H4,H5 两两不相容,且 H1,H2,H3,H4,H5 为 S 的一个划分。 P(H1)=C[2][2]/C[2][5]=1/10 , P(H2)=C[2][2]/C[2][5]=1/10,P(H3)=C[1][2]C[1][2]/C[2][5]=4/10,P(H4)=C[1][1]C[1][2]/ C[2][5]=2/10,P(H5)=C[1][1]C[1][2]/C[2][5]=2/10, 而 P(G|H1)=P(G|H2)=1 , P(G|H3)=P(G|H4)=P(G|H5)=1/2. 由全概率公式得: P(G)=∑(5,i=1)P(G|Hi)P(Hi)=(1/10)+(1/10)+(2/10)+(1/10)+(1/10)=3/5. 知识点:全概率。 设 S 为试验 E 的样本空间,B1,B2,...,Bn 为 E 的一组事件,若 (i)BiBj=φ ,i≠j,j=1,2,..,n (ii)B1∪B2∪..∪Bn=S, 称为 B1,B2,..Bn 为样本空间 S 的一个【划分】 。 设试验 E 的样本空间为 S,A 为 E 的事件,B1,B2,..Bn 为样本空间 S 的一个【划 分】,且 P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则 全概率公式: P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)(B2)+...+P(A|Bn)(Bn). 8.将 A,B,C 三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为 a,而输出为其他一 字 母 的 概 率 都 是 (1-a)/2, 今 将 字 母 串 AAAA,BBBB,CCCC 之 一 输 入 信 道 , 输 入 AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为 p1,p2,p3(p1+p2+p3=1),已知输出为 ABCA,问输入 的是 AAAA 的概率?(设信道传输各个字母的

工作是相互独立的)。 解:以 A1,B1,C1 分别表示事件“输入 AAAA”"输入 BBBB"" 输入 CCCC",以 D 表示事件"输出 ABCA",因事件 A1,B1,C1 两 两互不相容,且有 P(A1∪B1∪C1)=P(A1)+P(B1)+P(C1)=p1+p2+p3=1,因此全概率公 式和贝叶斯公式可使用,由贝叶斯公式有 P(A1|D)=P(A1D)/P(D) =P(D|A1)p1/[P(D|A1)p1+P(D|B1)p2+P(D|C1)p3] 输入为 AAAA(即事件 A)输出为 ABCA(即事件 D)时,有两个字母为原字母,另两字母 为其他字母,所以 P(D|A1)=a^2((1-a)/2)^2, 同理,P(D|B1)=P(D|C1)=a((1-a)/2)^3. 代代入上式并注意到 p1+p2+p3=1,得到 P(A1|D)=2ap1/[(3a-1)p1+1-a]. 知识点:全概率公式和贝叶斯公式,独立 独立: 设 A,B 是两事件,若满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 称事件 A,B 相互独立,简称 A,B 独立。

定理一设 A,B 是两事件,且 P(A)>0.若 A,B 相互独立,则 P(B|A)=P(B).反之亦然。 定理二若事件 A,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立; A 与/B,/A 与 B,/A 与/B。 定义设 A,B,C 是三事件,若等式 P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件 A,B,C 相互独立。 9. 设随机试验的样本空间为 S={e}.X=X(e)是定义在样本空间 S 上的实值单值函数, 称 X=X{e}为随机变量。 严格地说, “对于任意实数 x,集合{e|X(e)≤x}(即:使得 X(e)≤x 的所有样本点 e 所 组成的集合)有确定的概率”. (0-1)分布 设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值,它的分布律是 P{X=k}=p^k(1-p)^(1-k),k=0,1(0<p<1). X|0 1 pk|1-p p 二项分布(贝努力试验)X~B(n,p) 试 验 E 只 有 两 个 可 能 结 果 : A 及 /A, 称 为 E 为 贝 努 力 (Bernoulli) 试 验 . 设 P(A)=p(0<p<1),此时 P(/A)=1-p. 在 n 次 试 验 中 A 发 生 k 次 的 概 率 为 C(k,n)p^k(1-p)^(n-k), 记 q=1-p, 即 有 P(X=k)=C(k,n)p^kq^(n-k),k=0,1,2...,n 随机变量 X 服从参数 n,p 的二项分布。 泊松分布 X~π (λ )(P(λ )) P{X=k}=λ ^k e^(-λ )/k!,k=0,1,2,..., 泊松定理设λ >0 是一常数,n 是任意正整数,设 npn=λ ,则对于任一固定的非 负整数 k,有 n k n-k k lim Ck Pn(1-Pn) =λe-λ/k! n→∞ 定理的条件 nPn=λ (常数)意味着当 n 很大时,Pn 必定很小。 分布函数 设 X 使一随机变量,x 是任意实数,函数 F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞ 对任意实数 x1,x2(x1<x2),有 P{x1<X≤x2}=P(X≤x2}-P{X≤x1}=F(x1)-F(x2). 基本性质: 1°F(x)是一不减函数 对于任意实数 x1,x2(x1<x2),有 F(x2)-F(x1)P{x1<X≤x2}≥0 2°0≤F(x)≤1,且 F(-∞)=0,F(∞)=1

3°F(x+0)=F(x),即 F(x)是右连续。 概率密度 若对于随机变量 X 的分布函数 F(x),存在非负函数 f(x),使对于任意实数 x 有 F(x)=∫(x,-∞)f(t)dt. f(x)称为 X 的概率密度函数,简称概率密度。 性质: 1°f(x)≥0; 2°∫(∞,-∞)f(x)dx=1; 3°对任意实数 x1,x2(x1≤x2); P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)=∫(x2,x1)f(x)dx; 4°若 f(x)在点 x 处连续,则有 F'(x)=f(x)。 连续性随机变量中,可不必区分区间的开闭,即 P{X=a}=0.

若 A 是不可能事件,则有 P(A)=0; 反之若 P(A)=0,并不一定意味 A 是不可能事件。 1°均匀分布 X~U(a,b) 概率密度函数为: |1/(b-a),a<x<b f(x)=|0, 其他 分布函数为: |0, x<a, F(x)=|(x-a)/(b-a),a≤x<b, |1, x≥b. 2°指数分布 X~E(λ ) |λe-xλ,x>0 f(x)=|0, 其他。 (λ >0 常数) 分布函数: |1-e-xλ,x>0 F(x)=|0, 其他 指数函数具有无记忆性。 3°正态(高斯)分布 X~N(μ ,σ ) 概率密度为: 1 -(x-μ)2/2σ2 f(x)=─── e ,-∞<x<∞ √2π σ 其中μ ,σ (σ >0)为常数。 性质: 1°曲线关于 x=μ 对称,表明对于任意 h>0 有 P{μ -h<X≤μ }=P{μ <X≤μ +h}

2°当 x=μ 取最大值 f(μ )=1/√2π σ . x 离μ 越远,f(x)的值越小。表明对于同样长度的区间,当区间离μ 越远,X 落在这 个区间上的概率越小。 在 x=μ ±σ 处曲线有拐点,曲线以 Ox 轴为渐近线。 引理若 X~N(μ ,σ ),则 Z=(X-μ )/σ ~N(0,1) 设随机变量 X~N(μ ,σ ), X 的线性函数 Y=aX+b(a≠0)服从正态分布 N(aμ +b,(aσ )2). 定理设随机变量 X 具有概率密度 fx(x),-∞<x<∞,又设函数 g(x)处处可导且恒有 g'(x)>0(或恒有 g'(x)<0),则 Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度 为: |fx*h(y)+|h'(y)|,α<y<β fy(y)=|0, 其他 其中α =min{g(-∞),g(∞)},β =max{g(-∞)g(∞)},h(y)是 g(x)的反函数。 ①连续型随机变量 X 的函数 Y=g(X)不一定是连续型的随机变量。 9.将一颗骰子抛掷两次,以 X 表示两次中得到的小得点数,试求 X 的分布律。 解:以 Y1 , Y2 分别记第一次、第二次投掷时骰子出现的点数,样本空间为 S{(y1,y2)|y1=1,2,..,6;y2=1,2,..,6},共有 6×6=36 个样本点。 X=min{Y1,Y2}所有取得值为 1,2,3,4,5,6 这 6 个数,当且仅当以下三种情况之一发 生是事件{X=k}(k=1,2,3,4,5,6)发生; (i)Y1=k 且 Y2=k+1,K+2,..,6(共有 6-k 个点) (ii)Y2=k 且 Y1=K+1,K+2,..,6(共有 6-k 个点) (iii)Y1=k 且 Y2=k(仅有一点) 因此事件“ X=k ”共包含 (6-k)+(6-k)+1=13-2k 个样本点,于是 X 的分布律为: P{X=k}=(13-2k)/36,k=1,2,3,4,5,6, X| 1 2 3 4 5 6 Pk|11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 10.在区间[0,a]上任意投掷一质点,以 X 表示这个质点的坐标,设这一质点在[0,a] 中任意小区间内的概率与这小区间的长度成正比,试求 X 的分布函数。 解 X 的分布函数为 F(x)=P{X≤x}. 当 x<0 时,F(x)=P{X≤x}=P{φ }=0. 当 0≤x≤a 时,按题意 P{0≤X≤x}=kx,k 是某一常数,为确定 k,取 x=a,得 P{0≤X ≤ a}=ka ,因我们只是在区间 [0,a] 上投掷质点 , 所以 {0 ≤ X ≤a} 为必然事件,即有 1=P{0≤X≤a}=ka,k=1/a,因此 当 0≤x<a 时,F(x)=P{X≤x}=x/a, 当 x≥a 时,按题意 P{X≤x}为必然事件,即有 F(x)=P{X≤x}=1,故知 |0, x<0, F(x)=|x/a,0≤x<a, |1, x≥a.

11.设 X~N(0,1) 1)求 Y=e^x 的概率密度 2)

求 Y=2X2+1 的概率密度 3)求 Y=|X|的概率密度 解: 1) 因 Y=e^x, 故 Y 不取负值, 从而, 若 y<0,则 fy(y)=0;若 y>0,注意到 X~N(0,1), 故 Y 的分布函数为 Fy(y)=P{Y≤y}=P{0<Y≤y}=P{0<e^x≤y}=P{-∞<X≤lny}=Φ (lny).从而,y>0 时, d d |1 1 -?(lny)2 1 fy(y)=─Fy(y)=─Φ (x)|── =──e ?─ dy dx |x=lny √2π y


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