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【创新设计】2014届高考数学 2-1-2空间中直线与直线之间的位置关系配套训练 新人教A版必修2


【创新设计】2014 届高考数学 2-1-2 空间中直线与直线之间的位置 关系配套训练 新人教 A 版必修 2

双基达标 ?

限时20分钟? ).

1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( A.异面 C.不相交 B.相交 D.不平行

解析 和两条异面直线都相交的两条直线可能相交,也可能异面

,但一定不平行. 答案 D 2.若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 ( A.全等 C.仅有一个角相等 B.相似 D.全等或相似 ).

解析 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以选 D. 答案 D 3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( A.2 对 B.3 对 C.6 对 D.12 对 ).

解析 如图所示,在长方体 AC1 中,与对角线 AC1 成异面直线位置关系的是:A1D1、BC、BB1、

DD1、A1B1、DC,所以组成 6 对异面直线.

答案 C 4.下列命题不正确的是________. ①如果两条直线都和第三条直线垂直, 那么这两条直线平行; ②如果两条直线都和第三条直 线所成的角相等,那么这两条直线平行;③两条异面直线所成的角为锐角或直角; ④直线 a 与 b 异面,b 与 c 也异面,则直线 a 与 c 必异面. 解析 命题①②中的两条直线可以相交,也可以异面,还可以平行,对于命题④,异面直线 不具有传递性. 答案 ①②④ 5.若正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则 B1D 与 CC1 所成角的正切值为________. 解析 如图 B1D 与 CC1 所成的角为∠BB1D.
1

∵△DBB1 为直角三角形. ∴tan∠BB1D= 答案 2

BD = 2. BB1

6.如图,在长方体木块 ABCD-A1B1C1D1 中 ,P 是面 A1C1 上的一点,过点 P 如何画一条直线和 棱 AB 平行?过点 P 如何画一条直线和 BD 平行?

解 如图,过点 P 在面 A1C1 内作直线 l∥A1B1,

由于 A1B1∥AB, ∴l∥AB,l 即为所画直线. 连接 B1D1,若 P∈B1D1, ∵BB1 綉 DD1, ∴BD∥B1D1,B1D1 即为所画直线. 若 P?B1D1,过点 P 作直线 l1∥B1D1, ∵B1D1∥BD,∴l1∥BD. ∴l1 为平面 A1C1 内过点 P 且与 BD 平行的直线. 综合提高 ? 限时25分钟?

7.已知异面直线 a 与 b 满足 a? α ,b? β ,且 α ∩β =c,则 c 与 a,b 的位置关系一定是 ( ).

A.c 与 a,b 都相交 B.c 至少与 a,b 中的一条相交 C.c 至多与 a,b 中的一条相交 D.c 至少与 a,b 中的一条平行
2

解析 ∵a? α ,c? α , ∴a 与 c 相交或平行. 同理,b 与 c 相交或平行. 若 c∥a,c∥b,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾. ∴a,b 不能都与 c 平行,即直线 a,b 中至少有一条与 c 相交. 答案 B 8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:

①AB⊥EF;②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线;④MN∥CD. 以上结论中正确的为( A.①② ). D.①③

B.③④ C.②③

解析 根据正方体平面展开图还原出原来的正方体,如图所示,由图可知 AB⊥

EF,AB∥CM,EF 与 MN 是异面直线,MN⊥CD,只有①③正确.
答案 D 9.(2012·菏泽高一检测)如图,若 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表 示直线 GH,MN 是异面直线的图形有________.

解析 ①中 HG∥MN,③中 GM∥HN 且 GM≠HN,故 HG、NM 必相交,②④正确. 答案 ②④ 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点,则异面直线

EF 与 GH 所成的角等于________.

3

解析 由于 EF∥A1B,GH∥BC1, 所以 A1B 与 BC1 所成的角即为 EF 与 GH 所成的角,由于△A1BC1 为正三角形,所以 A1B 与 BC1 所成的角为 60°,即 EF 与 GH 所成的角为 60°. 答案 60° 11.如图,△ABC 和△A′B′C′的对应顶点的连线 AA′,BB′,CC′交于同

一点 O,且

AO BO CO 2 = = = . OA′ OB′ OC′ 3

(1)求证:A′B′∥AB,A′C′∥AC,

B′C′∥BC;
(2)求

S△ABC 的值. S△A′B′C′

(1)证明 ∵AA′∩BB′=O, 且

AO BO 2 = = , A′O B′O 3

∴AB∥A′B′, 同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′. (2)解 ∵A′B′∥AB,A′C′∥AC 且 AB 和 A′B′、AC 和 A′C′方向相反, ∴∠BAC=∠B′A′C′.

同理∠ABC=∠A′B′C′,∠ACB=∠A′C′B′, ∴△ABC∽△A′B′C′ 且 ∴

AB AO 2 = = , A′B′ OA′ 3 S△ABC

?2?2 4 =? ? = . S△A′B′C′ ?3? 9

12.(创新拓展)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别为 CC1、AD 的中点 ,求异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值.
4

解 取 D1C1 的中点 M,连接 OM,OF,因为 OF 綉 MD1, 所以四边形 OFD1M 是平行四边形,

所以 OM 綉 FD1, 所以∠MOE 是异面直线 OE 和 FD1 所成的角或其补角. 连接 OC、ME.

OM=FD1= DF2+DD2 1


?a?2+a2= 5a, ?2? 2 ? ?

2 ME= MC2 1+C1E



?a?2+?a?2= 2a. ?2? ?2? 2 ? ? ? ?
3 ? 2 ?2 ?a?2 ? a? +?2? = 2 a. ? ? 2 ? ?

OE= OC2+CE2=

5 2 2 2 2 所以 OE +ME =OM = a , 4 所以△OME 是直角三角形, 且∠OEM=90°,

所以 cos∠MOE= =

OE OM

3 a 2 5 a 2



15 , 5

即异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值是

15 . 5

5


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