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3.1.3导数的几何意义4


导数的几何意义

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①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x y=f(x)的定义域为 ∈D,f(x)从 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为: 平均变化率为:

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) = ?x x2 ? x1
y f(x2)

Y=f(x)

②割线的斜率 割线的斜率

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) k= = x2 ? x1 ?x

B

f(x2)-f(x1)=△y △ f(x1) O A x2-x1=△x △x x1 x2

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我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 瞬时速度 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 处的瞬时变化率是: ③从函数 在

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求函数y=f(x)在点 0处 在点x ④由导数的意义可知,求函数 由导数的意义可知 求函数 在点 的导数的基本方法是: 的导数的基本方法是
(1)求 数 增 ?y = f (x0 +?x) ? f (x0 ); 函 的 量

?y f (x 0 +?x) ? f (x0 ) (2)求 均 化 平 变 率 = ; ?x ?x ?y (3)取 限 得 数 ′(x0 ) = lim 极 , 导 f . ?x→0 ? x
注意:这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 注意 这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负. 自变量的增量?x的形式是多样的 但不论?x选择 的形式是多样的,但不论 自变量的增量 的形式是多样的 但不论 选择 哪种形式, 也必须选择与之相对应的形式. 哪种形式 ?y也必须选择与之相对应的形式 也必须选择与之相对应的形式

导数的几何意义: 导数的几何意义:
y y=f(x) Q

▲如图:PQ叫做曲线的割线 如图: 叫做曲线的割线 那么, 那么,它们的 横坐标相差( 横坐标相差( ?x ) 纵坐标相差( 纵坐标相差( ?y ) ?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x O 斜率

Δy P
β

Δx

M x

点沿曲线靠近P时 割线PQ杂么变化 杂么变化? ▲当Q点沿曲线靠近 时,割线 杂么变化?△x呢? 点沿曲线靠近 呢 △y呢? 呢

导数的几何意义: 导数的几何意义:
y y=f(x) Q 割 线 T 切线

P

α

o

x 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即 当点Q沿着曲线无限接近点 我们发现 当点 沿着曲线无限接近点 即 割线PQ如果有一个极限位置 Δx→0时,割线 如果有一个极限位置 则我 → 时 割线 如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点 处的切线 称为曲线在点P处的切线. 们把直线 称为曲线在点 处的切线

设切线的倾斜角为α 那 设切线的倾斜角为α,那 么当?x→0时,割线 的斜 割线PQ的斜 么当 时 割线 称为曲线在点P处的 率,称为曲线在点 处的切 称为曲线在点 处的切 线的斜率. 线的斜率
'

y

α

y=f(x) 割 Q 线 T 切 线 x

P o

f (x0 +?x) ? f (x0 ) ?y = lim 即: k切线 = f (x0 ) = lim ?x→0 ?x ?x→0 ?x
这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 这个概念 ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质——函数在 函数在x=x0处的导数 处的导数. ②切线斜率的本质 函数在

求曲线y=f(x)=x2+1在点 在点P(1,2)处的切线方程 处的切线方程. 例1:求曲线 求曲线 在点 处的切线方程 f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 解 : k = lim y ?x→0 Q ?x (1 + ?x)2 + 1 ? (1 + 1) = lim 2 ?x→0 y = x +1 ?x 2?x + (?x)2 = lim = 2. ?x→0 ?x P 因此,切线方程为 切线方程为y-2=2(x-1), 因此 切线方程为 ?x 即y=2x. 1 ? ※求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤: 的基本步骤 求出P点的坐标 点的坐标; ①求出 点的坐标 ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; 出切线的斜率 利用点斜式求切线方程. ③利用点斜式求切线方程
-1 O 1

?y

M

x

1 3 8 练习:如图已知曲线 y = 3 x 上一点P (2, 3 ) ,求: 如图已知曲线 求

(1)点P处的切线的斜率 点 处的切线的斜率 处的切线的斜率;

(2)点P处的切线方程 点 处的切线方程 处的切线方程.

1 1 3 3 ( x + ?x ) ? x 1 3 ?y 3 ′ = lim (1 = lim 3 解: ) y = x ,∴ y y ?x → 0 ? x ?x → 0 1 3 ?x y= x 3 4 2 2 3 1 3 x ?x + 3 x ( ?x ) + ( ?x ) = lim 3 ?x → 0 3 ?x 2 1 1 = lim [3 x 2 + 3 x?x + ( ?x ) 2 ] = x 2 . 3 ?x → 0 2

3

P

∴ y′ | x=2 = 2 = 4.

x

-2 -1

处的切线的斜率等于4. 即点P处的切线的斜率等于 处的切线的斜率等于

O -1 -2

1

2

(2)在点 处的切线方程是 在点P处的切线方程是 在点 处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 即

函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到 当 在 处求导数的过程可以看到,当 由函数 是一个确定的数.那么 那么,当 变化时 便是x 变化时,便是 时,f’(x0) 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是 的一个函数,我们叫它为 我们叫它为f(x)的导函数 即: 的导函数.即 的一个函数 我们叫它为 的导函数 ?y f (x +?x) ? f (x) f ′(x) = y′ = lim = lim ?x→0 ?x ?x→0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 也简称导数

函 y = f (x)在 x0处 导 f ′(x0 ) 数 点 的 数 等 函 f (x)的 ( ) f ′(x)在 x0处 于 数 导函数 点 的 函 值 数 .

函数导函数
如何求函数y=f(x)的导数 的导数? ▲ 如何求函数 的导数
(1)求 数 增 ?y = f (x +?x) ? f (x); 函 的 量
(2)求 数 增 与 变 的 量 比 : 函 的 量 自 量 增 的 值 ?y f (x +?x) ? f (x) = ; ?x ?x

?y (3)求 极限,得 导函数y′ = f ′(x) = lim . ?x→0 ? x

函数导函数
例4.已知 y =
?y = ?x

x,求 y ′.
△x x + ?x + x

解:?y = x + ?x ? x =
1 x + ?x + x

?y 1 1 ∴ y′ = lim = lim = . ?x →0 ?x ?x →0 x + ?x + x 2 x

课堂小结: 课堂小结:
1、弄清“函数f(x)在点 0处的导数”、“导函 、弄清“函数 在点x 处的导数” 在点 导数” 之间的区别与联系。 数”、“导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 )函数在一点处的导数, 变量与自变量的改变量之比的极限, 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 常数,不是变数。 而言的, (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 而言的 )函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f(x)的导函数 就是函数f(x)的导函数 f ′(x) 。 在点x (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ′( x0 ) 就是导函数 f ′(x) )函数f(x)在点 处的函数值, 在x=x0处的函数值,即 f ′( x0 ) = f ′( x) |x= x 。这也是 求函数在点x 处的导数的方法之一。 求函数在点 0处的导数的方法之一。
0

课堂小结: 课堂小结:
2.求切线方程的步骤: 求切线方程的步骤: 求切线方程的步骤 (1)求出函数在点 0处的变化率 f ′( x 0 ) ,得到曲线 )求出函数在点x 在点(x 在点 0,f(x0))的切线的斜率。 的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即 点斜式写出切线方程, )根据直线方程的点斜式写出切线方程

y ? f (x0 ) = f ′(x0 )(x ? x0 ).

课后作业: 课后作业:
? P37 习题2.1的第1,2题. 习题2.1的第1,2 2.1的第1,2题 ? 填写练习册


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