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广东省东莞市实验2009届高三第二次模拟试题文科数学


广东省东莞市 2009 届高三第二次模拟试题 文科数学
命题人:东莞实验中学 袁天顺 参考公式:柱体体积公式: V ? Sh ,S 为底面积,h 为柱体的高 锥体体积公式: V ? 1 Sh ,S 为底面积,h 为锥体的高 3 第一部分 选择题(共 50 分) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) ,请把选择的答案涂在答题卡上. 1.已知全集 U ? { ,2,3,

4,5,6} ,集合 A ? { ,2,5} , CU B ? {4,5,6} , 1 1 则集合 A ? B ? 2009.4.10

1 A. { , 2}
2. sin15 cos15 =
? ?

B. {5}

C. { ,2,3} 1

D. {3,4,6}

A.

1 4

B.

3 4

C.

1 2

D.

3 2

3.复数 z

? 1?

2 i

( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

4.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ?) 上单调递增的是 ? A. y ? x
3

B. y ? cos x

C. y ?

1 x2

D. y ? ln x

? x ? 1, ? 5.已知变量 x, y 满足 ? y ? 2, 则 x ? y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?
A.1 B.2 C.3
2

D.4

6.已知原命题: “若 m ? 0 ,则关于 x 的方程 x ? x ? m ? 0 有实根, ”下列结论中正确的是 A.原命题和逆否命题都是假命题 C.原命题和逆命题都是真命题 B.原命题和逆否命题都是真命题 D.原命题是假命题,逆命题是真命题

7.如图某河段的两岸可视为平行,在河段的一岸边选取两点 A、B,观察对岸的点 C,测得

?CAB ? 75? , ?CBA ? 45? ,且 AB ? 200 米.则 A、C 两点的距离为
A.

200 6 米 3

B. 100 6 米

C.

100 6 米 3

D. 200 2 米

8.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 A. 3? C.
7 3

B.

20 3

?

2
2

2
2

1

?

D.

?

俯视图 9.已知 ? , ? 、 ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,给出下列命题中正确命题是 正视图 左视图 A.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? B.若 l ? ? ,l // ? ,则 ? ? ? C.若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l // ? 10. 若函数 h( x) ? 2 x ? 取值范围是 A. [?2 , ? ?) 第二卷 D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

k k 则实数 k 的 ? 在 (1, ? ?) 上是增函数, x 3
C. (?? , ? 2] D. (?? , 2]
开始

B. [2 , ? ?)

非选择题(共 100 分)
k=1

二、填空题(每题 5 分,共 20 分,第 14、15 为选做题,只答一 题,两题都答则按 14 题评分) 11.一个田径队,有男运动员 20 人,女运动员 10 人,比赛后立 刻用分层抽样的方法,从全体队员中抽出一个容量为 6 人的 样本进行兴奋剂检查.则其中男运动员应抽 人. . . 12.已知角 ? 的终边过点(3a,-4a)( a ? 0) ,则 cos2? = 13.如果执行右侧的程序框图,那么输出的 S ? 选做题(2 题只能选做一题) : 14.(坐标系与参数方程)在直角坐标系中,圆 C 的参数方程为

S ?0
k ≤ 20?
? 是
S ? S ? 2k



输出 S

k ? k ?1

结束

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,则坐标原点到该圆的圆心的距离为_________. ? ? y ? 2 ? 2 sin ?
15.(几何证明选讲)如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 的 切线交 AB 的延长线于点 D , CD ? 2 7 , AB ? BC ? 3 . 则 BD 的长_____.
A O B D C

三、解答题(共 80 分,解答过程要有必要文字说明与推理过程,否则只给结论分) 16. (本小题满分 12 分) 盒中有 6 只灯泡,其中有 2 只是次品,4 只是正品.从中任取 2 只,试求下列事件的概率. (Ⅰ)取到的 2 只都是次品; (Ⅱ)取到的 2 只中恰有一只次品.

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 3,1) ,向量 b ? (sin ? ? m, cos? ) . (Ⅰ)若 a // b ,且 ? ? [0,2? ) ,将 m 表示为 ? 的函数,并求 m 最小值及相应的 ? 值.

cos( ? ? ) ? sin(? ? 2? ) 2 (Ⅱ)若 a ? b ,且 m ? 0 , 求 的值. cos( ? ? ) ?
18.(本小题满分 14 分) P 如图,已知 PA ? ⊙O 所在的平面, AB 是⊙O 的直径, AB ? 2 , C 是⊙O 上一点,且 AC ? BC , PC 与⊙O 所在的平面成 45? 角, E 是 PC 中点.F 为 PB 中点. (Ⅰ) 求证: EF // 面ABC ; (Ⅱ) 求证: EF ? 面PAC ; (Ⅲ)求三棱锥 B-PAC 的体积. C 19. (本题满分为 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? 2ax ? b , a ? 0 ) ( .
3 2

?

F E

A

O

B

(Ⅰ)求出 f(x)的极值点,并指出其是极大值点还是极小值点; (Ⅱ)若 f(x)在区间 ? ?2,1? 上最大值是 5,最小值是-11,求 f ( x) 的解析式.

20.(本小题满分 14 分) 设 数 列 ? an ? 的 前 项 和 为 S n , 且 S n ? 2 ?

1 , ?bn ? 为 等 差 数 列 , 且 a1 ? b1 , 2n?1

a2 (b2 ? b1 ) ? a1 .
(Ⅰ)求数列 ? an ? 和 ?bn ? 通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

21.如图, ?ABC中, BC ? 2 3 , AB ? AC ? 4, AC ? CB ? 2 ,双曲线 M 是以 B、C 为焦点且 过 A 点. (Ⅰ)建立适当的坐标系,求双曲线 M 的方程; (Ⅱ)设过点 E(1,0)的直线 l 分别与双曲线 M 的左、右支交于 F、G 两点,直线 l 的斜率为 k,求 k 的取值范围.;

A

B

C

(Ⅲ)对于(II)中的直线 l,是否存在 k ?

0 使|OF|=|OG|

若有求出 k 的值,若没有说明理由. 为原点) (O

东莞市 2009 届高三文科数学模拟试题(二)
参考答案 一、选择题:AADDB 二、填空题:11.4 三、解答题: 16 解:将 6 只灯泡分别标号为 1,2,3,4,5,6;从 6 只灯泡中取出 2 只的基本事件:1-2、 1-3、1-4、1-5、1-6、2-3、2-4、2-5、2-6、3-4、3-5、3-6、4-5、4-6、5-6 共有 15 种??4 分 ⑴从 6 只灯泡中取出 2 只都是次品的事件只有 1 个, 因此取到 2 只次品的概率为 分 ⑵不妨设标号为 1、2 的为次品,故取到的 2 只产品中正品,次品各一只的事件有 1-3、 1-4、1-5、1-6、2-3、2-4、2-5、2-6 共有 8 种,??9 分 有 15 种, 因此取到 2 只产品中恰有一只次品的概率为 P ? 而总的基本事件共 BACBA 12. ?

7 25

13.420

14.2

15.4

1 .?7 15

8 .??12 分 15

17.解:解(1)∵a∥b,∴ 3 cos? ? 1? (sin ? ? m) = 0, ∴ m ? sin ? ? 3 cos? ? 2 sin(? ?

?2

?
3

),

????4

11 ? 又∵ ? ∈R,∴ sin(? ? ) ? ?1 时,mmin = –2. 又 ? ? [0,2? ) ,所以 ? ? ? ??6
3

6

(2)∵ a ? b ,且 m ? 0 ,∴ 3 sin ? ? cos? ? 0

? tan? ? ?

3 ?8 3

cos( ? ? ) ? sin(? ? 2? ) sin ? ? (? sin 2? ) 2 ? ? cos? cos(? ? ? )

?

??? 10

? tan ? ?

1 2 tan ? ? 2 1 ? tan2 ?

?? 12 P

F E

18(Ⅰ)证明:在三角形 PBC 中, E 是 PC 中点. F 为 PB 中点 所以 EF//BC, BC ? 面ABC, EF ? 面ABC, 所以? EF //面ABC ??4 分 (Ⅱ) ?

? PA ? 面ABC ? BC ? PA ??(1) ? BC ? 面ABC

又 AB 是⊙O 的直径,所以 BC ? AC ??(2)??7 分 由(1) (2)得 BC ? 面PAC 因 EF//BC ??? 8 分

BC ? 面PAC ,所以 EF ? 面PAC ??9 分

(Ⅲ)因 PA ? ⊙O 所在的平面,AC 是 PC 在面 ABC 内的射影,? ?PCA 即为 PC 与面 ABC 所 成角 ,? ?PCA ? 45
0

,PA=AC

??? 11 分

在 Rt?ABC 中, E 是 PC 中点, ?BAC ?

?
4

, AC ? BC ? 2

??12 分

VB ? PAC ? VP ? ABC ?

1 2 S ?ABC PA ? ?14 分 3 3

19.解(Ⅰ) ? f ( x) ? ax ? 2ax ? b,? f ( x) ? 3ax ? 4ax ? ax(3x ? 4)
3 2 ' 2

令 f ( x) =0,得 x1 ? 0, x 2 ?
'

4 3
4 (0, ) 3
+ 增

???2

i a<0 时 x

(??,0)


0 0 极小

4 3
0 极大

4 ( ,?? ) 3


f ?(x)
f(x)

函数的极值点是 0, ii、a>0 时

4 4 ,0 是极小值点, 是极大值点??5 分 3 3 4 是极小值点??6 分 3
'

同理可以验证 0 是极大值点,

(Ⅱ) f(x)在区间 ? ?2,1? 上最大值是 5,最小值是-11, f ( x) =0, x1 ? 0, x2 ? 若 a >0, x

4 ? ? ?2,1? 3

? ?2, 0 ?
+

0 0

? 0,1?
-

f ' ( x)

f ( x)



极大

↘ ???8 分

因此 f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得 b=5,

? f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2)
? f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,? a ? 1 ? f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 5;
若 a<0,同理可得 f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得 b=-11, ??11 分

? f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (?2) ? f (1)
? f (?2) ? f ( x)
max

? 5,? a ? ?1

? f ( x) ? ? x3 ? 2 x 2 ? 11

??14 分

20. (1)当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 1.…………1 分 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ?

1 2
n ?1

) ? (2 ?

1 2
n?2

)?

1 2 n?1

,此式对 n ? 1也成立.

? an ?

1 2
n ?1

(n ? N * ) .…………4 分 ,从而 b1 ? a1 ? 1 , b2 ? b1 ?

a1 ?2. a2

又因为 ?bn ? 为等差数列,?公差 d ? 2 , ? bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .…………6 分 (2)由(1)可知 c n ?

2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ,…………7 分 1 2 n ?1
2 n ?1

所以 Tn ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ①?2 得



①…………8 分

2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n .
分 ①-②得:

②…………9

? Tn ? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n …………11 分

? 1? 2

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 2 n ?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n .…………13 分

? Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2 n .…………14 分
21.解: (I)以 BC 边的中点为原点,BC 边所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,?1 分 则 B(? 3 ,0), C ( 3 ,0), 设A( x0 , y 0 ), y A

故 AB ? (? 3 ? x0 ,? y 0 ), AC ? ( 3 ? x0 ,? y 0 ), CB ? (?2 3 ,0)
2 2 ? AB ? AC ? 4 ? x0 ? 3 ? y 0 ? 4 ? ? ,得 ? 由? ?? 2 3 ( 3 ? x0 ) ? 2 ? AC ? CB ? 2 ? ?

x B O C

? 2 16 ? x0 ? 3 ? ????3 分 ?? ?y2 ? 5 ? 0 3 ?
设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 又c ? 3 a2 b2
? 2 ?a ? 2 ?? 2 ?b ? 1 ?

5 ? 16 ? 2 ? 2 ?1 ? ? 3a , 3b ?a 2 ? b 2 ? 3 ?


? 双曲线M的方程为

x2 ? y2 ? 1 ????5 2

(II)当 l ? x 轴时,l 与双曲线无交点.当 l 不垂直 x 轴时,可设 l 的方程: y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 ,消去 y,得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2(k ? 2) ? 0 ?????7 分 2 ? ? y ?1 ?2

? l 与双曲线的左、右两支分别交于 F ( x1 , y1 ), G( x2 , y 2 ),
?1 ? 2k 2 ? 0 ? 则? 2k 2 ? 2 ?0 ? x1 x 2 ? 2k 2 ? 1 ? ?? 2 2 ?k? ?????????10 分 2 2

(Ⅲ)若|OF|=|OG|,三角形 OFG 中,设 M 是 FG 的中点,则有:OM ? FG ??12 分 由(II)易得 x1 ? x 2 ?

4k 2 2k 2 k , 2 ) ,中点 M( 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

则应有: K OM K FG ? ?1,即k ?

1 , ? ?1,显然不成立, 2k

所以不存在这样的k值 使|OF|=|OG|.??14 分


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