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高考(文数)立体几何大题复习


19. (14 分) (2013?潮州二模)如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE,BD∩AC=G. (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD; (3)求三棱锥 E﹣ADC 的体积.

解答:解: (1)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平

面 ABE,∴AE⊥BC. (2 分) 又∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥AE, ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE(4 分) (2)连接 GF,∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥CE ∵BE=BC,∴F 为 EC 的中点; ∵矩形 ABCD 中,G 为两对角线的交点且是两线段的中点, ∴GF∥AE, (7 分) ∵GF?平面 BFD,AE?平面 BFD, ∴AE∥平面 BFD. (8 分) (3)∵三棱锥 E﹣ADC 的体积等于三棱锥 E﹣ABC 的体积 ∵VE﹣ABC= =

故棱锥 E﹣ADC 的体积为

18. (14 分) (2013?东莞二模) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, AB⊥BC, D 为 AC 的中点,AA1=AB=2. (1)求证:AB1∥平面 BC1D;
立体几何复习 第 1 页 共 20 页

(2)若 BC=3,求三棱锥 D﹣BC1C 的体积.

解答:解: (1)证明:连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于 O,连接 OD, ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 的中点, ∴OD 为△ AB1C 的中位线,∴OD∥B1A. OD?平 BC1D,AB1?平面 BC1D, ∴AB1∥平面 BC1D. (2)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1,∴侧棱 CC1∥AA1, 又∵AA1 底面 ABC,∴侧棱 CC1⊥面 ABC, 故 CC1 为三棱锥 C1﹣BCD 的高,A1A=CC1=2, ∴ ∴ . .

18. (14 分) (2013?佛山一模)如图,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为线段 AB 上一点, 且 , 点 C 为圆 O 上一点, 且 . 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD=BD.

(1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离.

立体几何复习

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解答:解: (1)∵AB 为圆 O 的直径,∴AC⊥CB, ∵Rt△ ABC 中,由 ,∴tan∠ABC= = ,∠ABC=30°,

∵AB=4,3AD=DB,∴DB=3, , 2 2 2 由余弦定理,得△ BCD 中,CD =DB +BC ﹣2DB?BCcos30°=3, 2 2 2 ∴CD +DB =12=BC ,可得 CD⊥AO.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,即 PD⊥平面 ABC, 又∵CD?平面 ABC,∴PD⊥CD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) ∵PD∩AO=D 得,∴CD⊥平面 PAB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)由(1)可知,PD=DB=3,且 Rt△ BCD 中, ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣(7 分) ∴ ﹣﹣(10 分) 又∵ , , , .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴△PBC 为等腰三角形, 可得 (12 分) 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d,由 VP﹣BDC=VD﹣PBC,得 ,解之得

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)18. (14 分) (2013?广

州二模)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°. (1)求证:平面 PBC 丄平面 PAC (2)已知 PA=1,AB=2,当三棱锥 P﹣ABC 的体积 最大时,求 BC 的长.

立体几何复习

第 3 页 共 20 页

(1)证明:∵∠PAB=∠PAC=90°,∴PA⊥AB,PA⊥AC, 解答:解: ∵AB∩AC=A,∴PA⊥平面 ABC, ∵BC? 平面 ABC,∴BC⊥PA ∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA,又 PA∩CA=A, ∴BC⊥平面 PAC,∵BC? 平面 PBC, ∴平面 PBC⊥平面 PAC. (2)由(1)知:PA⊥平面 ABC,BC⊥CA, 设 BC=x(0<x<2) ,AC= VP﹣ABC= ×S△ABC×PA= x = = = ,

≤ × 当且仅当 x=

= . 时,取“=”, .

故三棱锥 P﹣ABC 的体积最大为 ,此时 BC=

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,
P

?BCD ? 60? ,

M

AB ? 2 AD , PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)若 AB ? PD ? 2 ,求点 A 到平面 BMD 的距离. 【解析】(1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接
立体几何复习 第 4 页 共 20 页
A 图4 B D C

MO ,
∵ ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点. ∵ M 为 PC 的中点, ∴ MO / / AP . ∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD , ∴ PA / / 平面 BMD . (2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? 面 ABCD , ∴ PD ? AD . ∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , AB ? 2 AD , ∴ BD
2
A D O B N C M P

?

? AB 2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos 60?

? AB2 ? AD2 ? 2 AD2 ? AB2 ? AD2 .
∴ AB
2

? AD2 ? BD2 .

∴ AD ? BD . ∵ PD ? BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 面 PBD , ∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ AD ? PB . (3)解:取 CD 的中点 N ,连接 MN ,则 MN / /PD 且 MN ? ∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 2 , ∴ MN ? 平面 ABCD , MN ? 1 . 在 Rt△ PCD 中, CD ? AB ? PD ? 2 , DM ? ∵ BC / / AD , AD ? PB , ∴ BC ? PB . 在 Rt△ PBC 中, BM ?

1 PD . 2

1 1 PC ? 2 2

PD 2 ? CD 2 ?

2,

1 PC ? 2

2.
第 5 页 共 20 页

立体几何复习

在△ BMD 中, BM ? DM , O 为 BD 的中点, ∴ MO ? BD . 在 Rt△ ABD 中, BD ? AB ? sin 60 ? 2 ?
?

3 ? 2

3.

在 Rt△ MOB 中, MO ?

BM 2 ? OB 2 ?

5 . 2
15 . 4

∴ S ΔABD ?

1 3 1 ? AD?BD ? ? BD?MO ? , S ΔMBD ? 2 2 2

设点 A 面 BMD 的距离为 h , ∵ VM ? ABD ? VA ? MBD , ∴ ?MN ? S ΔABD ?

1 3

1 ?h? S ΔMBD . 3



3 15 2 5 1 1 , 解得 h ? . ? ?h? ?1? 2 5 4 3 3
2 5 . 5

∴点 A 到平面 BMD 的距离为

17. (14 分) (2013?惠州二模)正方体 ABCD_A1B1C1D1,AA1=2, E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证:B1D1⊥AE; (Ⅱ) 求证:AC∥平面 B1DE; (Ⅲ)求三棱锥 A﹣BDE 的体积.

解答:证明:(1)连接 BD,则 BD∥B1D1,(1 分)
立体几何复习 第 6 页 共 20 页

∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. ∵CE⊥面 ABCD,∴CE⊥BD. 又 AC∩CE=C,∴BD⊥面 ACE.(4 分) ∵AE?面 ACE,∴BD⊥AE, ∴B1D1⊥AE.(5 分) (2)连接 AF、CF、EF. ∵E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴CE 平行且等于 B1F, ∴四边形 B1FCE 是平行四边形, ∴CF∥B1E,CF?平面 B1DE,B1E?平面 B1DE(7 分) ∴CF∥平面 B1DE ∵E,F 是 CC1、BB1 的中点,∴EF 平行且等于 BC 又 BC 平行且等于 AD,∴EF 平行且等于 AD. ∴四边形 ADEF 是平行四边形,∴AF∥ED, ∵AF?平面 B1DE,ED?平面 B1DE(7 分) ∴AF∥平面 B1DE ∵AF∩CF=F, ∴平面 ACF∥平面 B1DE.(9 分) 又∵AC?平面 ACF ∴AC∥平面 B1DE; 解:(Ⅲ)三棱锥 A﹣BDE 的体积,即为三棱锥 E﹣ABD 的体积 ∴V= ? ?AD?AB?EC= ? ?2?2?1=

18. (14 分) (2013?惠州模拟)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 的体积.

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第 7 页 共 20 页

解答: 解: (1)证明:连接 BD1,如图,在△ DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点,则

平面 ABC1D1. (2)

(3)∵CF⊥平面 BDD1B1,∴CF⊥平面 EFB1 且 ∵ ,

, ,

∴EF +B1F =B1E 即∠EFB1=90°, ∴ = =

2

2

2

18. (14 分) (2013?惠州一模)如图,直角梯形 ACDE 与等腰直 角△ ABC 所在平面互相垂直,F 为 BC 的中点, ∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2 (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求四面体 B﹣CDE 的体积.

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第 8 页 共 20 页

解答:解: (1)取 BD 的中点 P,连接 EP、FP,…(1 分) ∵△BCD 中,PF 为中位线, ∴PF∥DC 且 PF= DC, 又∵AE∥CD,DC=2AE2 ∴EA∥DC 且 EA= DC, 由此可得 PF∥EA,且 PF=EA…(3 分) ∴四边形 AFPE 是平行四边形,可得 AF∥EP…(5 分) ∵EP?面 BDE,AF?面 BDE,∴AF∥面 BDE…(7 分) (2)∵BA⊥AC,面 ABC⊥面 ACDE,面 ABC∩面 ACDE=AC ∴BA⊥面 ACDE,即 BA 就是四面体 B﹣CDE 的高,BA=2…(10 分) ∵DC=AC=2AE=2,AE∥CD ∴ 因此,△ CDE 的面积为 S△ CDE=3﹣1=2…(12 分) ∴四面体 B﹣CDE 的体积 .…(14 分)

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18. (14 分) (2013?江门二模)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 已知底面 ABCD 是边长为 D1D=3. (1)点 P 在侧棱 C1C 上,若 CP=1,求证:A1P⊥平面 PBD; (2)求三棱锥 A1﹣BDC1 的体积 V. 的正方形,侧棱 D1D 垂直于底面 ABCD,且

解答:解: (1)依题意,CP=1,C1P=2,在 Rt△ BCP 中,PB= 同理可知,A1P=
2 2 2

=



=2

,A1B=

=

所以 A1P +PB =A1B ,则 A1P⊥PB, 同理可证,A1P⊥PD, 由于 PB∩PD=P,PB?平面 PBD,PD?平面 PBD, 所以,A1P⊥平面 PBD. (2)如图,易知三棱锥 A1﹣BDC1 的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥 的体积, 即 = ﹣4 ( AB×AD)×A1A =2

=AB×AD×A1A﹣4× =

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18. (15 分) (2013?江门一模) 如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上除 A、 B 外的一点, △ AED 在平面 ABC 的投影恰好是△ ABC.已知 CD=BE,AB=4, (1)证明:平面 ADE⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 C﹣ADE 体积最大时,求三棱锥 C﹣ADE 的高. .

解答:(1)证明:因为 AB 是直径,所以 BC⊥AC,因为△ ABC 是△ AED 的投影,所以 CD⊥ 平面 ABC,则 CD⊥BC, 因为 CD∩AC=C,所以 BC⊥平面 ACD, 因为 CD⊥平面 ABC,BE⊥平面 ABC,所以 CD∥BE,又因为 CD=BE,所以 BCDE 是 平行四边形, ∴BC∥DE,则 DE⊥平面 ACD,因为 DE?平面 ADE,所以平面 ADE⊥平面 ACD; (2)在直角三角形 AEB 中,EB=AB?tan∠EAB=4× =1, 由(1)知 = 等号当且仅当 此时, , 设三棱锥 C﹣ADE 的高为 h, 则 ∴ ∴ . . . , = = 时成立, , ,

所以,当三棱锥 C﹣ADE 体积最大时,三棱锥 C﹣ADE 的高为
立体几何复习 第 11 页 共 20 页

18. (14 分) (2013?茂名一模)如图,多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AB=CD=1, 的中点. (1)求证;AC⊥CE; (2)在线段 CE 上找一点 F,使得 BF∥平面 ACD,并给予证明; (3)求三棱锥 VG﹣BCE 的体积. 解答:(1)证明:∵DE⊥平面 ACD,∴DE⊥AC, 2 2 2 ,∴AD =AC +CD ,∴AC⊥CD. ∴CD∩DE=D,∴AC⊥平面 CDE. ∴AC⊥CE. (2)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点, 连接 FH,则 ,∴ , ,G 为 AD

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴BF∥AH, 由 BF?平面 ACD 内,AH?平面 ACD,∴BF∥平面 ACD; (3)由 ED⊥平面 ACD,∴平面 ABED⊥平面 ACD, 在平面 ACD 内作 CP⊥AD 垂足为 P, ∵平面 ABED∩平面 ACD=AD,∴CP⊥平面 ABED,CP 为三棱锥 VC﹣BGE 的高. 由 ∵ . ∴ ∵ ∴三棱锥 VG﹣BCE 的体积 . . , = , , ,

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18. (14 分) (2013?梅州二模) 如图, C、 D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB=2AD= F 是 AB 上一点,且

, AC=BC,

,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上,

已知 . (1)求证:AD⊥平面 BCE; (2)求证:AD∥平面 CEF; (3)求三棱锥 A﹣CFD 的体积.

解答:(1)证明:依题意:AD⊥BD ∵CE⊥平面 ABD∴CE⊥AD ∵BD∩CE=E,∴AD⊥平面 BCE. (2)证明:Rt△ BCE 中, , ∴BE=2(5 分)Rt△ ABD 中, ∴BD=3. (6 分) ∴ .



∴AD∥EF∵AD 在平面 CEF 外 ∴AD∥平面 CEF. (3)解:由(2)知 AD∥EF,AD⊥ED,且 ED=BD﹣BE=1 ∴F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离,为 1. ∴ ∵CE⊥平面 ABD ∴ . .

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18. (14 分) (2013?梅州一模)已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AB=2, PA=AD=1,E,F 分别是 AB、PD 的中点. (1)求证:AF⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 B﹣PEC 的体积; (3)求证:AF∥平面 PEC.

解答:(1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, 由底面 ABCD 是矩形,∴CD⊥DA,又 PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AF. ∵PA=AD=1,F 是 PD 的中点, ∴AF⊥PD, 又 PD∩DC=D,∴AF⊥平面 PDC. (2)解: ∵PA⊥平面 ABCD, VB﹣PEC=VP﹣BEC= = . = ,

(3)取 PC 得中点 M,连接 MF、ME. ∵ , ,E 是 AB 的中点,∴ ,

∴四边形 AEMF 是平行四边形, ∴AF∥EM. 又 AF?平面 PEC,EM?平面 PEC, ∴AF∥平面 PEC.

18. (13 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩 形,且 PA=AD=1,AB=2,∠PAB=120°,∠PBC=90°.
立体几何复习 第 14 页 共 20 页

(Ⅰ)求证:DA⊥平面 PAB; (Ⅱ)求三棱锥 D﹣PAC 的体积. 解答:解: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 为矩形,∴DA⊥AB,且 DA∥BC,…(1 分) ∵∠PBC=90°,得 BC⊥PB,∴DA⊥PB…(3 分) 又∵AB∩PB=B,AB、PB?平面 PAB ∴DA⊥平面 PAB,…(5 分) (Ⅱ)∵PA=1,AB=2,∠PAB=120°, ∴根据正弦定理,得△ PAB 的面积为 S△ PAB= ×1×2×sin120°= 由(1)DA⊥平面 PAB,且 AD∥BC.可得 BC⊥平面 PAB, ∴BC 是三棱锥 C﹣PAB 的高线,…(9 分) 因此,可得 VC﹣PAB= S△ PAB?BC= × ×1= ,…(10 分) ,…(7 分)

∵VD﹣PAC=VP﹣DAC=VP﹣ABC=VC﹣PAB…(12 分) ∴三棱锥 D﹣PAC 的体积 VD﹣PAC=VC﹣PAB= …(13 分)

18. (13 分) (2013?韶关二模)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB, ,点 E 为 AC 中点,将△ ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几 何体 D﹣ABC,如图 2 所示.
立体几何复习 第 15 页 共 20 页

(1)求证:DA⊥BC; (2)在 CD 上找一点 F,使 AD∥平面 EFB; (3)求点 A 到平面 BCD 的距离.

(1)在图 1 中,取 AB 得中点 M,连接 CM,则四边形 ADCM 为正方形,MB=2. 解答:解: ∴CM⊥AB,CM=2,∴CB= 又 AC= ∴
2 2



. ,
2

从而 AC +BC =AB , ∴AC⊥BC. ∵平面 ADC⊥平面 ABC,面 ADC∩面 ABC=AC,BC?面 ABC. ∴BC⊥平面 ADC 又 AD?面 ADC. ∴BC⊥DA. (2)取 CD 的中点 F,连接 EF,BF. 在△ ACD 中,∵E,F 分别为 AC,DC 的中点, ∴EF 为△ ACD 的中位线, ∴AD∥EFEF?平面 EFBAD?平面 EFB, ∴AD∥平面 EFB. (3)由(1)可得:BC⊥AD,又 AD⊥DC,DC∩BC=C, ∴AD⊥平面 BCD. ∴AD 就是点 A 到平面 BCD 的距离,即为 AD=2. 18(14 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VA ? 平面 ABC , V

?ABC ? 90? ,且 AC ? 2 BC ? 2VA ? 4 .
(1)求证:平面 VBA ? 平面 VBC ;
立体几何复习 第 16 页 共 20 页

B C

A

(2)求 VV ? ABC . 18.(1)?VA ? 平面 ABC ?VA ? BC 2分 3分 5分 7分 8分 10 分

? ?ABC ? 90? ? BC ? AC ? BC ? 平面 VBA
? 平面 VBA ? 平面 VBC
(2) ? ?ABC ? 90?, AC ? 2 BC ? 2VA ? 4 ?VA ? VB ? 2

? AB ? 2 3 , BC ? 2, VA ? 2

1 1 ?VV ? ABC ? ? AB ? BC ? VA 3 2 1 ? ? 2 3 ? 2? 2 6

12 分

13 分

?

4 3 3

14 分

19. (14 分) (2013?肇庆二模)已知四棱锥 P﹣ABCD(图 1)的三视图如图 2 所示,△ PBC 为 正三角形,PA 垂直底面 ABCD,俯视图是直角梯形. (1)求正视图的面积; (2)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积;
立体几何复习 第 17 页 共 20 页

(3)求证:AC⊥平面 PAB.

(1)过 A 作 AE∥CD,根据三视图可知,E 是 BC 的中点, (1 分) 解答:解: 且 BE=CE=1,AE=CD=1(2 分) 又∵△PBC 为正三角形,∴BC=PB=PC=2,且 PE⊥BC ∴PE =PC ﹣CE =3(3 分) ∵PA⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD,∴PA⊥AE(4 分) 2 2 2 可得 PA =PE ﹣AE =2,即 (5 分) 因此,正视图的面积为 (6 分) , (7 分)
2 2 2

(2)由(1)可知,四棱锥 P﹣ABCD 的高为 PA, 底面积为 ∴四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 (8 分)

(10 分)

(3)∵PA⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴PA⊥AC(11 分) 2 2 2 2 2 2 ∵在 Rt△ ABE 中,AB =AE +BE =2,在 Rt△ ADC 中,AC =AD +CD =2(12 分) 2 2 2 ∴BC =4=AA +AC ,可得△ BAC 是直角三角形 (13 分) ∴AC⊥AB. 由此结合 AB∩PA=A,可得 AC⊥平面 PAB(14 分)

18. (13 分) (2013?肇庆一模)如图,PA 垂直于⊙O 所在平面 ABC, AB 为⊙O 的直径,PA=AB=2, ,C 是弧 AB 的中点.
立体几何复习 第 18 页 共 20 页

(1)证明:BC⊥平面 PAC; (2)证明:CF⊥BP; (3)求四棱锥 C﹣AOFP 的体积. 解答:解:(1)∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC⊥PA.(1 分) ∵∠ACB 是直径所对的圆周角, ∴∠ACB=90° ,即 BC⊥AC.(2 分) 又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC.(3 分) (2)∵PA⊥平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC⊥PA.(4 分) ∵C 是半圆弧 AB 的中点,∴△ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又∵O 是 AB 的中点,∴OC⊥AB.(5 分) ∵PA∩AB=A,PA、AB?平面 PAB, ∴OC⊥平面 PAB, 结合 PB?平面 PAB,可得 BP⊥OC.(6 分) 设 BP 的中点为 E,连结 AE, 则 OF 是△AEB 的中位线,可得 OF∥AE, ∵PA=AB,E 为 BP 中点,∴AE⊥BP,可得 BP⊥OF.(7 分) ∵OC∩OF=O,OC、OF?平面 CFO,∴BP⊥平面 CFO. 又∵CF?平面 CFO,∴CF⊥BP.(8 分) (3)由(2)知 OC⊥平面 PAB, ∴CO 是三棱锥 C﹣BFO 的高,且 CO=1.(9 分) 又∵ (10 分) ∴ 又 (11 分) ABC 的 (12 分) ∴四棱锥 C﹣AOFP 的体积 (13 分) ,









P







18. (本题满分 14 分)如图:C 、 D 是 以 AB 为 直 径 的 圆 上 两 点 ,

AB ? 2 AD ? 2 3 ,AC ? BC , F 是
立体几何复习 第 19 页 共 20 页

AB 上一点,且 AF ?

1 AB , 将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上, 3

已知 CE ? 2 . (1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD // 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A ? CFD 的体积.

18 解:(1)证明:依题意: AD ? BD …………………………2 分 ∴ CE ? AD ……………2 分 ? CE ? 平面 ABD

? BD ? CE ? E ∴ AD ? 平面 BCE . ……………………………5 分 (2)证明: Rt?BCE 中, CE ? 2 , BC ? 6 ∴ BE ? 2 ………………………………6 分 Rt?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3 ∴ BD ? 3 . ……………………………………………………………………7 分 BF BE 2 ∴ . …………………………………………………………8 分 ? ? BA BD 3
∴ AD // EF ? AD 在平面 CEF 外 ∴ AD // 平面 CEF . …………………………………………………………10 分

(3)解:由题设知 AF ?

1 2 3 ? AB ? , AD ? 3 , ?BAD ? ……………11 分 3 3 3 1 1 2 3 ? 3 ? 3 ? sin ? ∴ S? FAD ? AF ? AD ? sin ?BAD ? ? ………12 分 2 2 3 3 2

? CE ? 平面 ABD 1 1 3 6 ∴ V A?CFD ? VC ? AFD ? ? S ?FAD ? CE ? ? . ……………14 分 ? 2? 3 3 2 6

立体几何复习

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