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2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题3 必考点7 三角恒等变换及函数y=Asin(ωx+φ)的图象性质课件 文


专题复习·数学(文)

专题三

三角函数与解三角形

必考点七 三角恒等变换及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象性质

类 型

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点) 类型二 三角恒等变换与三角函数求值

——突破三角公式与三角函数性质

r />——突破公式及角度的变形

高考·预测

运筹帷幄之中

1 以图象为工具,求三角函数的最值、单调性、对称性、周期性. 2 通过三角函数的图象及性质考查函数图象的变换. 3 三角恒等变换与三角函数定义,诱导公式综合求三角函数值. 4 三角函数与平面向量结合,利用向量计算建立关系.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.同角公式和诱导公式. 2.两角和、差、二倍角的正弦、余弦、正切公式. 3.三角函数 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象与性质. 4.y=sin x 与 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的关系.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”.
1-cos 2α 1+cos 2α 2.降幂公式,sin2α= ,cos2α= . 2 2 t2-1 3.令 t=sin x+cos x,则 sin x· cos x= . 2
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2.

知识 回扣
必记知识 重要结论

α 4.用 sin α,cos α 表示 tan .(半角化单角) 2 1-cos α α sin α tan = = . 2 1+cos α sin α

5.对于 y=Asin(ωx+φ)+B 型 ymax+ymin ymax-ymin B= ,A= . 2 2

大题 规范

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点)

——突破三角公式与三角函数性质

[ 例 1]

(2014· 高考 天 津 卷 )( 本 小 题 满分 12 分 ) 已 知函 数 f(x) = cos

? π? 3 x· sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 3? 4 ?

(1)求 f(x)的最小正周期; ?1 ? 3 ? sin x+ cos x? - 由已知得 f(x)= cos x· 2 ?2 ? 3 1 3 2 3 2 3cos x+ = sin x· cos x- cos x+ 4 2 2 4 1 3 3 1 3 = sin 2x- (1+ cos 2x)+ = sin 2x- cos 2x 4 4 4 4 4 1 ? π? = sin?2x- ?. 2 ? 3? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π. 2

(2 分) (4 分) (6 分) (7 分)

大题 规范

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点)

——突破三角公式与三角函数性质

? π π? (2)求 f(x)在闭区间 x∈?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
? π π? ? π π? 因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数. 12? ? 4 ? 12 4?

(10 分)
? π? 1 ? π? 1 ?π? 1 f?- ?=- ,f?- ?=- ,f? ?= . 4 ? 12? 2 ?4? 4 ? 4? ? π π? 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4?

(11 分) (12 分)

大题 规范

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点)

——突破三角公式与三角函数性质

得分点及踩点说明 第 (1)问得分点及踩点说明 1 ? π? ①无化简过程,直接得到 f(x)= sin?2x- ?,扣 5 分.每一步用公式正确 2 ? 3? 就得分. ②化简结果错误,但中间某一步正确,给 2 分.

大题 规范

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点)

——突破三角公式与三角函数性质

第 (2)问得分点及踩点说明
? π? 1 ?π? 1 1 1 ①只求出 f?- ?=- ,f? ?= 得出最大值为 ,最小值为- ,得 1 分. 4 ?4? 4 4 4 ? 4?

②若单调性出错,只得 1 分. ③单调性正确,但计算错误,扣 2 分. π ④若求出 2x- 的范围,再求函数的最值,同样得分. 3

大题 规范

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点)

——突破三角公式与三角函数性质

(1)化简思路:对于“sin2x、cos2x”型要降幂,对于“sin xcos x”型逆用正 弦倍角公式, 对于“asin x+bcos x”, 运用辅助角公式化为一角一函数“y =Asin(ωx+φ)”. (2)求三角函数最值,要注意 x 的范围,且不可盲目认为 y=Asin(ωx+φ) ∈[ -A ,A ] . (3)运用整体思想:视 ωx+φ 为整体,研究 y=Asin(ωx+φ)性质.

大题 规范

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点)

——突破三角公式与三角函数性质

自我挑战

1.已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)
?π ? ?2π ? 的图象过点? , 3?和点? ,-2?.(1)求 m,n 的值; ?12 ? ?3 ?

由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x.
?π ? ?2π ? ? ? ? 因为 y=f(x)的图象过点 , 3 和 ,-2?, ? 12 ? ?3 ?

? 3=msin π+ncosπ, ? 6 6 所以? 4π 4π ?-2=msin 3 +ncos 3 , ?
? ?m= 3, 解得? ? ?n=1.

1 3 ? 3 = m + n, ? 2 2 即? ?-2=- 3m-1n, 2 2 ?

大题 规范

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点)

——突破三角公式与三角函数性质

自我挑战

(2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象, 若 y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单 调递增区间. ? π? 由 (1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?. 6? ?
? π? 由题意知 g(x)=f(x+ φ)= 2sin?2x+2φ+ ?. 6? ?

设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知 x2 0+1=1,所以 x0= 0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2).
? π? ? 将其代入 y=g(x)得 sin 2φ+ ? =1, 6? ?

大题 规范

类型一 三角恒等变换与三角函数性质(重点)

——突破三角公式与三角函数性质

自我挑战

π 因为 0<φ<π,所以 φ= , 6
? π? ? 因此 g(x)=2sin 2x+ ?=2cos 2x. 2? ?

由 2kπ-π≤2x≤2kπ, k∈ Z 得 π kπ- ≤x≤kπ,k∈ Z, 2
? π ? 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为?kπ- , kπ?, k∈ Z. 2 ? ?

大题 规范

类型二 三角恒等变换与三角函数求值

——突破公式及角度的变形

[ 例 2]
2

(2014· 高考江西卷 )( 本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) = (a +
? ? ? ?

π? 2cos x)· cos(2x+θ)为奇函数,且 f 4? ?=0,其中 a∈R,θ∈(0,π). ? (1)求 a,θ 的值;

因为 f(x)= (a+2cos2x)cos(2x+ θ)是奇函数,而 y1=a+2cos2x 为偶函数, π 所以 y2=cos(2x+ θ)为奇函数,又 θ∈ (0,π)得 θ= , 2 所以 f(x)=- sin 2x· (a+2cos2x).
?π? 由 f? ?=0 得-(a+1)=0,即 a=-1. ? 4?

(3 分)

(6 分)

大题 规范

类型二 三角恒等变换与三角函数求值

——突破公式及角度的变形

?α? 2 ?π ? ? π? (2)若 f? ?=- ,α∈? ,π?,求 sin?α+ ?的值. 5 3? ?4? ?2 ? ?

1 由 (1)得 f(x)=- sin 4x, 2
?α? 1 2 4 因为 f? ?=- sin α=- ,即 sin α= , 2 5 5 ?4? ?π ? 3 又 α∈? ,π?,从而 cos α=- , 5 ?2 ? ? π? π π 4-3 3 所以有 sin?α+ ?= sin αcos + cos αsin = . 3? 3 3 10 ?

(9 分) (12 分)

大题 规范

类型二 三角恒等变换与三角函数求值

——突破公式及角度的变形

利用同角三角函数的关系式化简求值的三种常用方法 sin α (1)切弦互换法;利用 tan α= 进行转化. cos α (2)和积转化法:利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α 进行变形、转化. (3)常值代换法: 其中之一就是把 1 代换为 sin2α+ cos2α.同角三角函数关系 sin α sin α+ cos α=1 和 tan α= 联合使用,可以根据角 α 的一个三角函数 cos α
2 2

值求出另外两个三角函数值. 根据 tan α= 齐次式化为 tan α 的关系式.

sin α 可以把含有 sin α,cos α 的 cos α

大题 规范

类型二 三角恒等变换与三角函数求值

——突破公式及角度的变形

自我挑战

2.(2015· 海阳质检)已知向量 a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos
?3π ? α),α∈? ,2π?,且 a⊥b. ?2 ?

(1)求 tan α 的值; ∵a⊥b,∴a· b=0,
∴ (3sin α,cos α)· (2sin α,5sin α-4cos α)=0 即 6sin2α+ 5sin αcos α-4cos2α=0 ∴6tan2α+5tan α-4=0
?3 ? ? 又∵α∈ π,2π?,tan α<0 ?2 ?

1 4 ∴tan α= 或 tan α=- 2 3 4 ∴tan α=- . 3

大题 规范

类型二 三角恒等变换与三角函数求值

——突破公式及角度的变形

自我挑战

?α π? (2)求 cos? + ?的值. ?2 3? 4 3 由 (1)可得 sin α=- , cos α= 5 5
? 2 ? 2 2 3 ? 1? 4 3 4 3-3 cos?α+ π?=cos αcos π- sin αsin π= ×?- ?+ × = 3 ? 3 3 5 ? 2? 5 2 10 ? ?3 ? ? ∵ α∈ π,2π?, ?2 ? ?α π? ∴ cos? + ?=- ?2 3?

α π ?13 4 ? ∴ + ∈? π, π? 2 3 ?12 3 ?
? 2 ? ? 1+ cos α+ π? 3 ? ?

?α π? ∴ cos? + ?<0 ?2 3?

2

=-

4 3-3 1+ 2 5+ 15 10 =- . 2 10

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

三角恒等变换的基本思路与技巧 ①“化异为同”, “切化弦”, “1”的代换是三角恒等变换的常用技巧. 如 1= cos2θ+ sin2θ=tan 45° 等. “化异为同 ”是指 “化异名为同名 ”, “化异次为同次 ”, “化异角为 同角”. ②角的变换是三角变换的核心,如 β=(α+ β)- α,2α= (α+ β)+(α- β), α+ β ? β? ?α ? ? = α- ?-? - β?等. 2 2? ?2 ? ? ③降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; ④弦、切互化:一般是切化弦.

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

一、三角恒等变换与求值 [ 例 1]
? π? ? π? (2014· 高考新课标卷Ⅰ ) 设 α ∈?0, ? , β∈ ?0, ? ,且 tan α= 2? 2? ? ?

1+sin β ,则( cos β π A.3α-β= 2 π C.3α+β= 2

)

π B.2α-β= 2 π D.2α+β= 2

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

(基本法)首先“切化弦”,转化为弦函数,再逆用“差角公式”求角度间 的关系. 1+ sin β sin α 1+ sin β 由 tan α= 得 = ,即 sin αcos β= cos α+cos αsin β, cos β cos α cos β
?π ? ? ∴ sin(α- β)=cos α= sin - α?. ?2 ? ? π π? π ? π? ∴ α- β∈?- , ?, - α∈?0, ?, 2? ? 2 2? 2 ? ? π? ? π? ? ? ? ∵α∈ 0, , β∈ 0, ?, 2? 2? ? ? ?π ? ∴由 sin(α- β)= sin? - α?, ?2 ?

π 得 α- β= - α, 2

π ∴2α- β= . 2

B

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

(速解法)以答案检验法,即将答案代入验证已知条件是否成立,结合公式 α 1- cos α tan = . 2 sin α A、C 中有“3α”,不符合倍角公式形式, π π B 中,2α-β= , 把 β=2α- 代入 2 2
? π? ? 1+sin 2α- ? 1+sinβ 2? 1-cos 2α ? = = =tan α,题设成立. cos β ? π? sin 2α cos?2α- ? 2? ?

B

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

1+sin β [把 化为切函数,根据正切值相等,寻求角度关系.] cos β ?π ? 1- cos? + β? 1+ sin β ?π β? ?π β? ?2 ? = =tan? + ? ∴ tan α=tan? + ? cos β ?π ? ?4 2 ? ? 4 2? ? ? sin + β ?2 ?
? π? ? π? β ? π? α∈?0, ?, β∈?0, ?,∴ ∈?0, ?, 2? 2? 2 ? 4? ? ?

π β ?π π? π β ∴ + ∈? , ?,∴α= + , 4 2 ?4 2? 4 2 π π ∴2α= + β,∴2α- β= .故选 B. 2 2 B

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

?1?若 sin α=sin β,则 α=β+2kπ 或 α=π-β+2kπ,k∈Z ?2?角的变换常考虑:求角之和,求角之差,求角的 2 倍,等来寻求角的关 π 系:如 α+β=π,则 sin α=sin β,cos α=-cos β?互补?,α+β= ?互余?, 2 则 sin α=cos β 等.

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”
自我挑战

? π? 4 ? π? 50 1.设 α 为锐角,若 cos?α+ ?= ,则 sin?2α+ ?的值为__________ . 6? 5 12? ? ?
? π? 4 ? π? 3 ? ? ? ∵α 为锐角,cos α+ = ,∴ sin α+ ?= , 6? 5 6? 5 ? ? ? π? ? π? ? π? 24 ? ? ? ? ? sin 2α+ =2sin α+ · cos α+ ? = , 3 6 6? 25 ? ? ? ? ? ? π? π? 7 2? cos?2α+ ?=2cos ?α+ ?-1= , 3? 6? 25 ? ?

17 2

π? ? π?? 17 2 ? π? ? π π? 2? ? ? ? ? ? ??= ? ? ? ? sin 2 α + - cos 2 α + ∴ sin 2α+ = sin 2α+ - = . 3 3 12 3 4 2 50 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

二、三角函数的性质运用 [ 例 2]
? π? π ? ? (2014· 高考辽宁卷)将函数 y=3sin 2x+ 的图象向右平移 个单位 3? 2 ?

长度,所得图象对应的函数( A.在区间?
? π 7π? , ?上单调递减 ? 12 12?

)
? π 7π? B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12? ? π π? D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3?

? π π? C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3?

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

(基本法) 利用平移变换得到解析式后,再利用 y= sin x 的单调性逐一判 断.
? π? π y=3sin?2x+ ?的图象向右平移 个单位长度得到 3? 2 ? ? ? π? π? ? 2 ? y=3sin?2?x-2?+3?=3sin?2x- π?. 3 ? ? ? ? ? ?

π 2 π π 7 令 2kπ - ≤2x - π≤2kπ + 得 kπ + ≤x≤kπ + π , k ∈ Z,则 y = 2 3 2 12 12
? 2 ? ? π 7 ? 3sin?2x- π?的增区间为?kπ+ , kπ+ π?,k∈ Z. 3 ? 12 12 ? ? ?

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

令 k=0,得其中一个增区间为?

? π 7π? , ?,B 正确. ? 12 12?

? 2 ? ? π π? ? π π? 根据 y=3sin?2x- π?在?- , ?上的简图 (图略 ),可知在?- , ? 上不具 3 ? ? 6 3? ? ? 6 3?

有单调性,C、 D 错.

B

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

? π? (速解法) 直接求 y=3sin?2x+ ?的增减区间,向右平移半个周期,可得 3? ?

答案. π π π 令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z 2 3 2 5 π ? 5 π ? 得- π+kπ≤x≤ +kπ,即增区间为?- π+kπ, +kπ?,k∈Z, 12 12 12 ? 12 ? π ? 5 π π π ? 向右平移 个单位后,增区间为?- π+ +kπ, + +kπ?, 2 2 2 12 ? 12 ?
? π 7π? k=0 时,即为? , ?. ?12 12?

B

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

? π? π ? ? [作出 y=3sin 2x+ 的图象并向右平移 个单位,从图象上看答案.] 3? 2 ?

?π 7 ? ? 增区间为 , π ?. ?12 12 ?

B

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

将三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)之后. π (1)令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z),可求得对称轴方程. 2 (2)令 ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标. (3)将 ωx+φ 看作整体,可求得 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意 ω 的符 号. (4)讨论意识:当 A 为参数时,求最值应分情况讨论 A>0,A<0.

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”
自我挑战

2. (2014· 高考新课标卷Ⅱ)函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值
1 为________ .
利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式. ∵f(x)= sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ) = sin[(x+φ)+ φ]-2sin φcos(x+ φ) = sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+ φ) = sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ = sin[(x+φ)- φ]= sin x, ∴f(x)的最大值为 1.

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

三、三角函数图象作法及变换 [ 例 3] (2014· 高考安徽卷)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ )

个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( π A. 8 3π C. 8 π B. 4 5π D. 4

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

(基本法) 先将函数 f(x)= sin 2x+ cos 2x 化为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式, 再根据图象平移规律及三角函数诱导公式求解.
? π? ? f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin 2x+ ?,将其图象向右平移 φ 个单位得到 g(x) 4? ? ? π? ? π ? = 2sin?2?x-φ?+ ?= 2sin ?2x+ -2φ?的图象. 4? 4 ? ? ? ? π ? ? ∵g(x)= 2sin 2x+ -2φ?的图象关于 y 轴对称,即函数 g(x)为偶函数, 4 ? ?

π π kπ π ∴ -2φ=kπ+ ,k∈Z,即 φ=- - ,k∈Z, 4 2 2 8 3π 因此当 k=-1 时,φ 有最小正值 . 8 C

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

(速解法) 求函数 f(x)在 y 轴左侧的离 y 轴最近的对称轴.
? π? π π ? ? f(x)= 2sin 2x+ ,令 2x+ =kπ+ , 4? 4 2 ?

k π 3 ∴对称轴为 x= π+ , y 轴左侧离 y 轴最近的对称轴为 x=- π,故 f(x) 2 8 8 3 向右平移 π 个单位成为偶函数.故选 C. 8

C

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

[ 化为 f (x)=Asin(ωx+φ),利用检验法求 φ.] ? ? π ?? ? π? f(x)= 2sin?2x+ ?, 向右平移 φ 个单位, 得到 g(x)= 2sin?2?x+8-φ??= 2 4? ? ? ?? ?
? π ? π ? π π? ? ? ? sin 2x+ -2φ 对于 A,φ= ,g(x)= 2sin 2x+ - ?= 2sin 2x 为奇函 4 8 4 4? ? ? ?

π ? π? 数, ? B, φ= ,g(x)= 2sin 2x- ?,非奇非偶函数, 4 4? ? 3 ? π 3 ? ?π ? ? ? ? C,φ= π,g(x)= 2sin 2x+ - π =- 2sin -2x?=- 2cos 2x 为偶函 8 4 4 ? ? ?2 ?
?π ? 3 数,或者当 x=0 时,g(x)最值为± 2,此时 sin? -2φ?=± 1,检验 φ= π 8 ?4 ?

适合. C

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

?1?y=sin x 与 y=Asin?ωx+φ?的平移关系,要分清哪个是被平移的函数, 哪个是所得函数. φ ?2?由 y=Asin ωx 得到 y=Asin?ωx+φ?时,需要平移的单位数是| |,而不 ω 是|φ|,即左右平移的单位个数是相对“x”而言,而不是“ωx”.如果 x 的 系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.如本 例.

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”
自我挑战

3.(2016· 山西省高三质检)已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象与 π x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,把函数 f(x)的图象沿 x 轴 2 π 向左平移 个单位,得到函数 g(x)的图象.关于函数 g(x),下列说法正确的 6 是( ) π B.其图象关于直线 x=- 对称 4
?π 2π? D.当 x∈? , ?时,函数 g(x)的值域是[ -2,1] ?6 3 ?

?π π? A.在? , ?上是增函数 ? 4 2?

C.函数 g(x)是奇函数

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”
自我挑战

? π? T π 2π ? ? f(x)= 3sin ωx+ cos ωx=2sin ωx+ ,由题设知 = ,∴ T=π,ω= = 6? 2 2 T ? ? π? π 2,∴f(x)=2sin?2x+ ?.把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到 6? 6 ? ? ? π? π? ? π? ? ? ? ? g(x)=2sin 2 x+6 +6 =2sin?2x+ ?=2cos 2x 的图象,g(x)是偶函数且在 2? ? ? ? ? ? ?π π? π ? , ?上是减函数, 其图象不关于直线 x=- 对称, 所以 A, B, C 错误. 当 4 ? 4 2? ?π 2π? ?π 4π? π x∈? , ?时,2x∈? , ?,则 g(x)min= 2cos π=-2,g(x)max= 2cos =1, 3 ?6 3 ? ?3 3 ?

即函数 g(x)的值域是[-2,1],故选 D. D.

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

四、由三角函数图象求解析式 [ 例 4]
? π ? ? (2016· 辽宁省五校高三联考)函数 f(x)=sin(ωx+φ) 其中|φ|< ,ω>0? 2 ? ?

的图象如图所示,为了得到 y=sin ωx 的图象,只需把 y=f(x)的图象上所 有点( ) π B.向右平移 个单位长度 12 π D.向左平移 个单位长度 12 π A.向右平移 个单位长度 6 π C.向左平移 个单位长度 6

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

(基本法) 利用图象上的信息求周期到求 ω,利用特殊点求 φ,确定 f(x) 解析式再平移. T 7π π 2π 由图象知: = - ,∴T=π.又 π= ,∴ω=2. 4 12 3 ω
?π? π 2π π ? ? 由 f =0 得:2× +φ=kπ(k∈ Z),即 φ= kπ- (k∈ Z).∵ |φ|< ,∴φ 3 3 2 ? 3? ? ? π?? π ? π? = ,即 f(x)= sin?2x+ ?= sin?2?x+6??,故选 A. 3 3? ? ? ?? ?

A

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

(速解法) 利用周期和零点求出在原点右侧的零点,观察平移 T ?7 π? π =2? π- ?= 2 3? 2 ? 12 ∴f(x)在原点左侧的第一个零点为 π π π π x= - =- ,故向右平移 ,图象过原点. 3 2 6 6

A

解题绝招 系列讲座

三角函数“万变不离其宗”

(1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待 定系数法, 由图中的最高点、 最低点或特殊点求 A; 由函数的周期确定 ω; 由图象上的关键点确定 φ. (2)求函数的周期时,注意以下规律:相邻的最高点与最低点的横坐标之 差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对 1 值为 个周期. 4

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三角函数“万变不离其宗”
自我挑战

? π? 4. (2015· 山西省高三四校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|< ?的 2? ? ? π? 部分图象如图所示,则 y=f?x+ ?取得最小值时 x 的集合为( 6? ?

)

π A.{x|x=kπ- ,k∈Z} 6 π C.{x|x=2kπ- ,k∈Z} 6

π B.{x|x=kπ- ,k∈Z} 3 π D.{x|x=2kπ- ,k∈Z} 3

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三角函数“万变不离其宗”
自我挑战

?7π π? 2π ? ? 根据所给图象,周期 T=4× - =π,故 π= ,∴ω=2,因此 f(x)= ω ?12 3? ?7π ? 7π sin(2x+ φ),另外图象经过? ,0?,代入有 2× +φ= kπ(k∈ Z),再由 |φ| 12 ?12 ?

π π ? π? ? π? ? < ,得 φ=- ,所以 f(x)= sin 2x- ?∴f?x+ ?= 2 6 6? ? 6? ?
? ? π? π? π π π π sin?2?x+6?- 6?= sin(2x+ ), 当 2x+ =- +2kπ(k∈ Z), 即 x=- +kπ( k 6 6 2 3 ? ? ? ? ? π? ? ∈ Z)时, y=f x+ ?取得最小值. 6? ?

B


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