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2011年 “卓越联盟”自主招生数学试卷


2011 年 “卓越联盟”自主招生数学试卷
一、填空题: 1.向量 a, b 均为非零向量, (a ? 2b ) ? a,(b ? 2a) ? b ,则向量 a, b 的夹角为 A.

? 6

B.

? 3

C.

2.已知 sin 2(? ? ? ) ? n si

n 2? ,则 A.

tan(? ? ? ? ? ) ? tan(? ? ? ? ? )

2? 3

D.

5? 6

n n n ?1 C. D. n ?1 n ?1 n ?1 E 为棱 AA1 的中点, F 为棱 A1B1 上的点,且 FB1 ? 3 A1F ,则异面直 3.在正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, 线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为
B. A.

n ?1 n ?1

15 3

B.

15 5

C.

5 3

D.

5 5

z2 ? 2z ? 2 | 的最大值是 z ?1 ? i A. 2 ? 1 B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 5.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上, ?ABC 的三个顶点都在抛物线上,且 ?ABC 的重心为 抛物线的焦点,若 BC 边所在的直线方程是 4 x ? y ? 20 ? 0 ,则抛物线的方程是
4. i 为虚数单位,设复数 z 满足 | z |? 1 ,则 | A. y 2 ? 16 x 的距离是 A. 3 7.若关于 x 的方程 B. 2 C. B. y 2 ? 8x C. y 2 ? ?16 x D. y 2 ? ?8x 6.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长和侧棱长均等于 2,且 E 为 CC1 的中点,则点 C1 到平面 AB1E

3 2

D.

2 2

| x| ? kx 2 有四个不同的实数解,则实数 k 的取值范围是 x?4 1 1 A. (0,1) B. ( ,1) C. ( , ?? ) D. (1, ??) 4 4 8.如图, ?ABC 内接于圆 O ,过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l , l 交 AB 于 E , 交圆 O 在 A 点处的切线于 P ,若 PE ? 3, ED ? 2, EF ? 3 ,则 PA 的长为
A. 5 C. 7 B. 6 D. 2 2

9.数列 {an } 共有 11 项, a1 ? 0, a11 ? 4 ,且 | ak ?1 ? ak |? 1, k ? 1, 2, 件的不同数列的个数为 A.100 B.120 C.140

,10 满足这种条
D.160

2? 的旋转, ? 表示坐标平面关于 y 轴的镜面反射 ,用 ?? 7 2 3 4 k 表示变换的复合,先做 ? ,再做 ? ,用 ? 表示连续做 k 次的 ? 变换,则 ??? ?? ?? 是
10.设 ? 是坐标平面按顺时针方向做角度为 A. ? B. ? C. ? ? 二、解答题: 11.设数列 {an } 满足 a1 ? a, a2 ? b, 2an?2 ? an?1 ? an .
4 5
2

D. ??

2

(Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an .证明:若 a ? b ,则 {bn } 成等比数列; (Ⅱ)若 lim( a1 ? a2 ?
n ??

? an ) ? 4 ,求实数 a , b 的值.

12.在 ?ABC 中, AB ? 2 AC, AD 是 ? A 的角平分线,且 AD ? kAC . (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)若 S?ABC ? 1,问 k 为何值时, BC 最短?

13.已知椭圆的两个焦点为 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,且椭圆与直线 y ? x ? 3 相切. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F 1 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 与椭圆分别交于 P, Q 及 M , N ,求四边形 PMQN 面积的最大值 与最小值.

14.一袋中有 a 个白球和 b 个黑球,从袋中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则 该球不放回,另补一个白球放到袋中,在重复 n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为 X n . (Ⅰ)求 E ( X1 ) (Ⅱ)设 P( X n ? a ? k ) ? pk ,求 P( xn?1 ? a ? k ), k ? 0,1, (Ⅲ)证明: E ( X n ?1 ) ? (1 ?

,b .

1 ) E ( X n ) ? 1. a?b

15.(Ⅰ)设 f ( x) ? x ln x ,求 f '( x) ;

1 b | ln x ? C | dx 取得最小值; b ? a ?a (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为 ma,b ,证明: ma,b ? ln 2 .
(Ⅱ)设 0 ? a ? b ,求常数 C ,使得


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