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四川省成都外国语学校2013届高三2月月考【数学(理)】(含答案)


试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓 名、准考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题

卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷
一选择题(共 50 分)

? x ?1 ? 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? 0 ? , B ? x x ≥1 ,则集合 x x ≤ 0 等于( x ? ?

?

?

?

?



A. A ? B

B. A ? B
2013

C. ?U ? A ? B ?

D. ?U ? A ? B ?

?1? i ? 2.已知 i 是虚数单位,则 ? ? ?1? i ?
A. i B. ?i

的值是 C. 1 D. ?1





3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是 8 7∶ ,用分层抽样的方法从三个年级 ∶ 10 抽取学生到剧院观看演出,已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多 2 人,则高三观看演 出的人数为 ( A.14 ) B.16 C.20 D.25

4. 如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,可得该几何体 的体积是( ) A 2 B 4 C 5 D7

5.函数 y ? ln |

1 | 与y ? ? ? x 2 ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为( x



-1-

开始

6、已知如图所示的程序框图,当输入 n ? 99 时,输出 S 的值( A



输入 n

99 100

B

98 100

C

97 100

D

96 100

S ?0
i ?1
1 i ? i ? 1?

7、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 E , F 分别为棱 AA1 , CC1 的中点, 则在空间中与三条直线 A1 D1 , EF , CD 都相交的直线( A 不存在 B 有且只有两条 C 有且只有三条 ) D 有无数条
i ? i ?1


S ?S?

i ≥n?
是 输出 S 结束

8、某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在正方形 ABCD (边长为 3 个单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方 形的边按逆时针方向行走的单位, 如果掷出的点数为 i(i=1,2,?,6), 则棋子就按逆时针方向行走个单位,一直循环下去,则某人抛掷三次 骰子后棋子恰好又回到 A 处的所有不同走法( ) A 22 种 B 24 种 C 25 种 D 36 种 9. 设等差数列 ?an ?满足:

sin 2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 公差 d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 9 时, ? 1, sin(a4 ? a5 )
数列 ?an ?的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是( A. ? ) D.

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C.

? 7? 4? ? ? 6 , 3 ? ? ?

? 4? 3? ? ? 3 , 2 ? ? ?

10. 定义域为 R 的偶函数 f (x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零
2

点,则 a 的取值范围是 ( A. (0,



2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

第Ⅱ卷

-2-

二、填空题

2 11.二项式 ?1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? ? ? x?
2 2

5



12、已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F1 P F2 = 600 ,则

| PF1 | ? | PF2 |? _______________
13. 已知圆 O 的半为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值 为_________________

??? ??? ? ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14. 设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? abx ? y (a ? 0, b ? 0) 的最大值 ?x ? 0 , y ? 0 ?
为 8,则 a ? b 的最小值为________. 15、记 [ x] 为不超过实数 x 的最大整数,例如 [1.5] ? 1,[ ?0.3] ? ?1,[2] ? 2 ,设 a 为正整数,

xn ? [
数列 {xn } 满足 x1 ? a, xn ?1 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,则下列命题:

(1)当 a =5 时,数列 {xn } 的前三项分别为 5,3,2 (2)对数列 {xn } 都存在正整数 k,当 n ? k 时总有 xn ? xk (3)当 n ? 1 时, xn ?

a ?1

(4)对某个正整数 k,若 xk ?1 ? xk ,则

xn ? [ a ]
其中的真命题有___________ 三、解答题(共 75 分) 16 ( 12 分 ) 在 △ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 关 于 x 的 不 等 式

x 2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集
(1)求角 C 的最大值. (2)若 c ?

7 3 ,三角形的面积 S ? 3 ,求当角 C 最大时 a ? b 的值 2 2

17、(12 分)已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱中只放有 2 个 红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙 箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) .
-3-

18 、 ( 12 分 ) 如 图 , 在 多 面 体 ABCDEF 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , AB=2EF=2 , EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积;
D E F

C

H A B

19、 (12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2 S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1 , n ? N* ,且 a1 、a2 ? 5 、a3 成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

20、(13 分)设椭圆 E:

x2 y 2 =1( a, b ? 0 )过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, O 为坐 ? a 2 b2

标原点, (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心为原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA ? OB 由。

??? ?

??? ?

?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在,说明理

21、(14 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x.
2

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性 (Ⅱ)当 a ? ?1 时, 过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x ) 的切线, 设切点为 P (m, n) , 求实数 m 的值; (Ⅲ)设定义在 D 上的函数 y ? g ( x) 在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x), 当 x ? x0 时, 若

g ( x ) ? h( x ) .当 a ? 8 时,试问函 ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? g ( x) 的“转点” x ? x0

数 y ? f ( x ) 是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由.

-4-

成都外国语学校高 2013 级高三 2 月月考(答案)
一、选择题(共 50 分)

? x ?1 ? 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? 0 ? , B ? x x ≥1 ,则集合 x x ≤ 0 等于( D x ? ?

?

?

?

?



A. A ? B

B. A ? B
2013

C. ?U ? A ? B ? 的值是 C. 1

D. ?U ? A ? B ? ( A D. ?1 )

?1? i ? 2.已知 i 是虚数单位,则 ? ? ?1? i ?
A. i B. ?i

3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是 8 7∶ ,用分层抽样的方法从三个年级 ∶ 10 抽取学生到剧院观看演出,已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多 2 人,则高三观看演 出的人数为 ( C A.14 ) B.16 C.20 D.25

4. 如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,可得该几何体 的体积是( A ) A 2 B 4 C 5 D7 5.函数 y ? ln |

1 | 与y ? ? ? x 2 ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为( C x



6.已知如图所示的程序框图,当输入 n ? 99 时,输出 S 的值( A) A

开始

99 100

98 B 100

97 C 100

96 D 100

输入 n

7、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 E , F 分别为棱 AA1 , CC1 的中 点, 则在空间中与三条直线 A1 D1 , EF , CD 都相交的直线(D ) A 不存在 B 有且只有两条 C 有且只有三条 D 有无数条 8.(理科) 某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在 正方形 ABCD(边长为 3 个单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰子来 确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点 数为 i(i=1,2,?,6),则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位,一直
i ? i ?1


S ?0
i ?1
1 i ? i ? 1?

S ?S?

i ≥n?
是 输出 S 结束 -5-

循环下去,则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到 A 处的所有不同走法( C ) A 22 种 B 24 种 C 25 种 D 36 种 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? (文科)设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在区域 D 内 随机取一个点,则此 ? y ? ?2 ? 点到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是 D A.
4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

9. 设等差数列 ?an ?满足:

sin 2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 公差 d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 9 时, ? 1, sin(a4 ? a5 )
数列 ?an ?的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是(B A. ? ) D.

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C.

? 7? 4? ? ? 6 , 3 ? ? ?

? 4? 3? ? ? 3 , 2 ? ? ?

10. 定义域为 R 的偶函数 f (x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零
2

点,则 a 的取值范围是 ( A. (0,

B)

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

二、填空题(共 25 分)

2 11.(理科) 二项式 ?1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? ? ? x?

5

-80

(文科)在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, B ? 则 b : c 的值为________________ 7

?
3

,且 sin A : sin C ? 3 :1 ,

12. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F1 P F2 = 600 ,则
2 2

| PF1 |? PF2 |? |

_______________4

13. 已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小 值为_________________ ?3 ? 2 2

??? ??? ? ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14.设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? abx ? y (a ? 0, b ? 0) 的最大值 ?x ? 0 , y ? 0 ?
-6-

为 8,则 a ? b 的最小值为________.4 15、(理科)记 [ x] 为不超过实数 x 的最大整数,例如 [1.5] ? 1,[ ?0.3] ? ?1,[2] ? 2 ,设 a 为

xn ? [
正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a, xn ?1 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,则下列命题:

(1)当 a =5 时,数列 {xn } 的前三项分别为 5,3,2 (2)对数列 {xn } 都存在正整数 k,当 n ? k 时总有 xn ? xk (3)当 n ? 1 时, xn ?

a ? 1 (4)对某个正整数 k,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ]

其中的真命题有___________1,3, (文科)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,则下列结论正确的是 _________245 (1) 四面体 ABCD 每组对棱互相垂直,四面体 ABCD 每个面得面积相等 (2) 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小于 180° (3) 连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分 (4) 从四面体 ABCD 每个顶点出发地三条棱的长可作为一个三角形的三边长 三、解答题(共 75 分) 16 ( 12 分 ) 在 △ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 关 于 x 的 不 等 式

x 2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集
(1)求角 C 的最大值. (2)若 c ?

7 3 ,三角形的面积 S ? 3 ,求当角 C 最大时 a ? b 的值 2 2

17、(理科)(12 分)已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱中只 放有 2 个红球、 个白球与 1 个黑球(球除颜色外, 1 无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值;

-7-

(Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) .

C 1 ? C 1 xy 1 x ? ? 2 3 x y ? ? ( ) ? (I)由题意知 P ? , 1 C62C4 . 60 60 2 20
当且仅当 x ? y 时等号成立,所以,当 P 取得最大值时 x ? y ? 3 . (II)当 x ? 2 时,即甲箱中有 2 个红球与 4 个白球,所以 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3
2 1 1 1 1 2 1 C 4 C1 1 C2C4C2 ? C4 C2 7 则 P (? ? 0) ? 2 1 ? , P (? ? 1) ? ? , 1 C6 C4 5 C62C4 15
2 1 1 1 1 1 C2 C2 ? C2C4C2 C2 3 1 , p (? ? 2) ? ? , P(? ? 3) ? 2 1 ? 2 1 C6 C4 30 10 C6 C4

所以红球个数 ? 的分布列为

于是 E? ?

7 . 6

(文科)(12 分)某市举行了“高速公路免费政策”满意度测评,共有 1 万人参加了这次测评 (满分 100 分,得 分全为整数).为了解本次测评分数情况,从中随机抽取了部分人的测评分数 进行统计,整理 见下表: 组別 分组 频数 频率

1 2 3 4 5
合计 (1) 求出表中 a,b,r 的值;

[50,60) [60,70〉 [70,80) [80,90) [90,100]

60 120 180 130
a b

0.12 0. 24 0. 36
c

0.02 1.00

(2) 若分数在 60 分以上(含 60 分)的人对“高速公路免费政策”表示满意,现从全市参加 了这 次满意度测评的人中随机抽取一人,求此人满意的概率; (3) 请你估计全市的平均分数.

-8-

18、 (12 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2, EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点, D (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积
A

E

F

C

H B

(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG, GH,由于H 为BC的中点,故 1 AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, FH / / 平面EDB ? GH / /

19、 (12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2 S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1 , n ? N* ,且 a1 、a2 ? 5 、a3
-9-

成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

?2a1 ? a2 ? 3 ? 解:Ⅰ)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3
(Ⅱ) 由 2 S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1 可 得 2 S n ?1 ? an ? 2n ? 1 ( n ? 2 ), 两 式 相 减 , 可 得

2an ? an ?1 ? an ? 2n , 即 an ?1 ? 3an ? 2n , 即 an ?1 ? 2n ?1 ? 3 ? an ? 2n ? , 所 以 数 列

?a

n

? 2n ? ( n ? 2 ) 是 一 个 以 a2 ? 4 为 首 项 ,3 为 公 比 的 等 比 数 列 . 由 2a1 ? a2 ? 3 可

得, a2 ? 5 ,所以 an ? 2n ? 9 ? 3n ? 2 ,即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ),当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式 子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n . (Ⅲ) 因 为 3n ? 3n ?1 ? 2 ? 3n ?1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n , 所 以 3n ? 2n ? 3n?1 , 所 以

1 1 ? n ?1 , 于 是 an 3

?1? 1? ? ? n 1 1 1 1 1 ? 3 ? ? 3 ?1 ? ? 1 ? ? ? 3 . ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ? 1 a1 a2 an 3 3 2 ? ?3? ? 2 ? ? 1? 3
20、(13 分)设椭圆 E:

n

x2 y 2 =1( a, b ? 0 )过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, O 为坐 ? a 2 b2

标原点, (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心为原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB

?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在,说明理由。

解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

?4 2 ?1 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? a2 ? 8 ?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

- 10 -

? y ? kx ? m ??? ??? ? ? ? 得 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8

x 2 ? 2(kx ? m) 2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 ,
则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m 2 ? 4 ? 0
2 2 2 2 2 2

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

,

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?
要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

k 2 (2m 2 ? 8) 4k 2 m 2 m 2 ? 8k 2 ? ? m2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ?

??? ?

2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ? ? 0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以 3m 2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,所以 k ?
2

? m2 ? 2 3m 2 ? 8 , ? 0 又 8k 2 ? m 2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 8 ?3m ? 8

所以 m 2 ?

2 6 2 6 8 ,即 m ? 或m ? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条 3 3 3

切线,所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

, r2 ?

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 , ? ,r ? 2 3m ? 8 3 3 1? 8

所求的圆为 x 2 ? y 2 ?

2 6 2 6 8 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? , 3 3 3

而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 与椭圆 ? ?1 的 两 个 交 点 为 8 4 3

(

??? ??? ? ? 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB , 3 3 3 3
8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交 3

综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? 点 A,B,且 OA ? OB .

??? ?

??? ?

- 11 -

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

4km 2 2m 2 ? 8 8(8k 2 ? m 2 ? 4) ) ? 4? ? 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ( ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 ) 2
2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 ? y2 ?
2

2

8(8k 2 ? m 2 ? 4) ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 ) 2
2 2 2

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? ? [1 ? 4 ], 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ], 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4k 2 ?

1 1 1 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? , 2 1 k 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

2 4 32 32 1 时取”=”. 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? ? [1 ? ] ? 12 ,所以 1 2 3 3 3 4k 2 ? 2 ? 4 k 4 6 . 3
2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ), 3 3 3 3

② 当 k ? 0 时, | AB |?

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

所以此时 | AB |?

4 6 , 3

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3 2 21、(14 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x.
综上, |AB |的取值范围为 (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性 (Ⅱ)当 a ? ?1 时, 过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x ) 的切线, 设切点为 P (m, n) , 求实数 m 的值; (Ⅲ)(文科)a=4 时, y ? f ( x ) 的图像与直线 y=m 有三个交点,求 m 的范围 (理科)设定义在 D 上的函数 y ? g ( x) 在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x), 当 x ? x0

- 12 -

时,若

g ( x ) ? h( x ) .当 ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? g ( x) 的“转点” a ? 8 时,试 x ? x0

问函数 y ? f ( x ) 是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由. (I) (I) f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a (2 x ? a)( x ? 1) ? x x a 2 a 2

(1) a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 减, (1, ??) 为增,(2)0<a<2 时, (0, ) 增, ( ,1) 减, (1, ??) 为 增 (3) a ? 2 时, (0,1) 增, (1, ) 减, ( , ??) 增,(4) a ? 2 时, (0, ??) 为增

a 2

a 2

1 (II) f ? ( x) ? 2 x ? ( x ? 0) , x
所以切线的斜率 k ? 2m ? 1 ?

1 m 2 ? m ? ln m ,整理得 m 2 ? ln m ? 1 ? 0 , ? m m
2

显然 m ? 1 是这个方程的解,又因为 y ? x ? ln x ? 1 在 (0,??) 上是增函数, 所以方程 x 2 ? ln x ? 1 ? 0 有唯一实数解,故 m ? 1 . (III)(文科) (4ln2-8,-5) (理科)当 a ? 8 时,函数 y ? f (x) 在其图象上一点 P? x 0 , f ? x 0 ?? 处的切线方程为

h? x ? ? ( 2 x 0 ?

8 2 ? 10)( x ? x0 ) ? x0 ? 10 xo ? 8 ln x0 , k
' ' '

设 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ,则 F ( x 0 ) ? 0 , F ( x) ? f ( x) ? h ( x)

? (2 x ?

? 8 8 2 4? ? 10) ? (2 x0 ? ? 10) ? ( x ? x0 ).? x ? ? ? x x0 x x0 ? ? ?
? ? 4 x0 ? ? 4 ? 上单调递减,所以当 x ? ? x0 , ? ? x0 ? ? ? ? 时 F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 , ? ?

若 0 ? x 0 ? 2 , F (x) 在 ? x 0 , ? 此时

F ( x) ? 0; x ? x0

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