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第三章3.2第2课时一元二次不等式及其解法习题课


第三章

不等式

第2课时

一元二次不等式及

其解法习题课

第三章

不等式

学习导航 1.理解三个二次之间的关系. 学习 2.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.(重 目标 点) 3.掌握不等式恒成立问题的解法.(难点) 1.

利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题的 切入点,快速找到有效的解题途径. 学法 2.解决有关一元二次不等式恒成立的问题,一方 指导 面,要充分利用二次函数图象分析解决有关问题; 另一方面还应依具体情况,选择不同的字母作为自 变量,再利用图象分析解决问题.

第三章

不等式

一元二次不等式的解集

Δ=b2-4ac (a>0)
y=ax2+bx +c的图象

Δ>0

Δ=0

Δ<0

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第三章

不等式

一元二次方 有两个相异实 有两个相等实 程ax2+bx+ 根x1,x2(x1< b 根x1=x2= -2a c=0的根 x2) ax2+bx+c >0的解集 ax2+bx+ c≥0的解集

无实根

{x|x<x1或x _____________
> x2} ___________ {x|x≤x1或 x≥x2}

b {x|x≠- } 2a ____________

R

R

R

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第三章

不等式

ax2+bx+c <0的解集

{x|x1<x<x2}

?

? ______

ax2+bx+ {x|x1≤x≤x2} c≤0的解集

b? ? ?x|x=- ? ? 2a ?

?

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第三章

不等式

x- 2 1.不等式 > 0 的解集是 ( C ) x+ 3 A. (- 3, 2) C. (-∞,- 3)∪(2,+∞) B.(2,+∞ ) D.(-∞,- 2)∪ (3,+∞ )

x- 2 解析:由 > 0 得, (x- 2)(x+ 3)> 0, x+ 3 ∴ x<- 3 或 x> 2.

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第三章

不等式

2.不等式 (x- 1) x+ 2≥0 的解集是 ( C ) A. { x|x> 1} C. { x|x≥1 或 x=- 2}
解析:由 (x- 1) x+ 2≥0 得,
? ? ?x- 1≥ 0 ?x≥ 1 ? ,得? ,所以 x≥1 或 x=- 2. ?x+ 2≥ 0 ?x≥- 2 ? ?

B. { x|x≥ 1} D. { x|x≤-2 或 x= 1}

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第三章

不等式

3.已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值 范围是( C ) A.(-∞,-1] C.[-1,1] B.[1,+∞) D.(-∞,-1]

解析:∵x2≤1,∴-1≤x≤1.又∵P∪M=P,

∴a∈P,∴-1≤a≤1.

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第三章

不等式

9 4.若关于 x 的一元二次方程 x - (t+ 2)x+ =0 有两个不相等 4 (-∞,-5)∪(1,+∞) . 的实数根,则实数 t 的取值范围是 ______________________
2

解析:若方程有两个不相等的实数根, 9 则Δ= [- (t+ 2)]2- 4× > 0,即 (t+ 2)2> 9, 4 ∴ t+ 2<- 3 或 t+ 2> 3, 即 t<-5 或 t> 1.

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第三章

不等式

解简单的分式不等式
x- 1 (1)(2012· 高考重庆卷)不等式 ≤0 的解集为 ( A ) 2x+ 1 1 ? A. ?- , 1? ? 2 1? ? C. ?-∞,- ? ∪[1,+∞) 2 x 1 ? B.?- , 1? ? 2

1? ? D.?-∞,- ?∪ [1,+∞ ) 2 ? ? 1 ? ? x?x≥ 或 x<0? x+ 1 ? ? 2 (2)不等式 ≤3 的解集是 _____________________ .

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第三章

不等式

[解析]

? ?( x- 1)( 2x+ 1)≤ 0 x- 1 (1) ≤ 0?? 2x+ 1 ? ?2x+ 1≠ 0

1 ?- <x≤ 1. 2 x+ 1 1- 2x 2x- 1 (2)原不等式等价于 - 3≤ 0? ≤ 0? ≥ 0? x(2x x x x 1 - 1)≥ 0,且 x≠ 0,解得 x≥ 或 x<0. 2

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第三章

不等式

方法归纳 (1)解分式不等式时,要注意先移项,使右边化为零,要注意含 等号的分式不等式的分母不为零. ax+ b (2) > 0? (ax+ b)(cx+ d)> 0. cx+ d
? ?( ax+ b)( cx+ d)≥ 0, ax+ b (3) ≥ 0?? 如本例题(2)解法. cx+ d ?cx+ d≠ 0, ?

(4)在解分式不等式时, 易错点为不分类讨论分母的符号直接去 x+ 1 分母,如本例题 (2)中易错解为 ≤ 3? x+ 1≤ 3x. x
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第三章

不等式

2x- 1 {x|x<-3或x>4} . 1.不等式 > 1 的解集是 __________________ x+ 3 2x- 1 解析:原不等式等价于 - 1> 0, x+ 3
x- 4 即 > 0? (x- 4)(x+ 3)> 0? x<- 3 或 x> 4. x+ 3

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第三章

不等式

一元二次方程根的分布问题 若关于 x的一元二次方程 x2 - (m + 1)x- m = 0 有两个

不相等的实根,求m的取值范围.
(链接教材P80习题3.2 A组T3)
[解] 若方程 x2- (m+ 1)x-m= 0 有两个不相等的实根, 则Δ= [- (m+ 1)]2+ 4m=m2+ 6m+ 1> 0. ∵m 2+ 6m+ 1=0 的两个根为- 3- 2 2和- 3+ 2 2, ∴ m + 6m + 1> 0 的解集为 {m |m <- 3- 2 2 或 m >- 3+ 2 2} , ∴m 的取值范围是{m |m<- 3- 2 2或 m>- 3+ 2 2} .
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2

第三章

不等式

方法归纳 在求解一元二次方程的根的分布问题时 , 先作出符合根的分 布的函数图象,由图象直观得出满足根的分布应具备的条件 , 再利用不等式知识求解.

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第三章

不等式

2.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根,其中一根在区间 ( - 1, 0) 内,另一根在 区间(1,2)内,求m的取值范围;

(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
解:(1)由条件,抛物线f(x)=x2+2mx+ 2m + 1 与 x 轴的交点分别在区间 ( - 1 , 0) 和(1,2)内,如图(1)所示,
(1)
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第三章

不等式

? ? ?f(- 1)= 2> 0 ?m∈ R, 得? ?? 1 f( 1)= 4m+ 2< 0 m<- , 2 ? ?f( 2)= 6m+ 5> 0 ? 5 ?m>-6.
f( 0)= 2m+ 1< 0 5 1 即- <m<- . 6 2 5 1 故 m 的取值范围是(- ,- ). 6 2
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1 m<- , 2

第三章

不等式

(2) 抛物线与 x 轴交点均落在区间 (0, 1)内,如图(2)所示, 1 m>- , 2 f( 0)> 0

? ? ?f( 1)> 0 ?m>-1, 列不等式组? ?? 2 Δ≥ 0 ? ?0<-m< 1 ?m≥ 1+ 2或m≤ 1- ?- 1<m< 0.
1 即- <m≤ 1- 2. 2 1 故 m 的取值范围是(- , 1- 2]. 2

2,

(2)
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第三章

不等式

典题衍变

含参数的一元二次不等式恒成立问题

已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果对一切x∈R,f(x) >0恒成立,求实数a的取值范围. [解] 由题意可知,只有当二次函数f(x)=x2+2(a-2)x+4的 图象与直角坐标系中的x轴无交点时,才满足题意, 则其相应方程x2+2(a-2)x+4=0应满足Δ<0, 即4(a-2)2-16<0,解得0<a<4. 故a的取值范围是(0,4).
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第三章

不等式

1.是否存在实数a,使得对任意x∈[-3,1],f(x)<0恒成立, 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 解:若对任意x∈[-3,1],f(x)<0恒成立,则满足题意的函 数f(x)=x2+2(a-2)x+4的图象如图所示.

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第三章

不等式

由图象可知,此时 a 应该满足

?Δ> 0, ?a( a- 4)> 0, ? ? ?f(- 3)< 0,即?25- 6a< 0, ? ? ?f( 1)< 0, ?1+ 2a< 0,

? ?a>25, 解得? 6 1 ? a <- ? 2,

a< 0或 a> 4, 这样的实数 a 是不存在的,

所以不存在实数 a 满足对任意 x∈ [- 3, 1], f(x)<0 恒成立.
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第三章

不等式

2.对任意a∈[-3,1],y<0恒成立,试求x的取值范围.
解:原函数可化为 g(a)= 2xa+ x - 4x+ 4,是关于 a 的一次函 数.
? ?g( 1)< 0, 要使对任意 a∈ [- 3, 1], y< 0 恒成立, 只需满足? ?g(- 3)< 0, ?
2 ? x ? - 2x+ 4< 0, 即? 2 ?x - 10x+ 4< 0. ? 2

因为 x2- 2x+ 4<0 的解集是空集, 所以不存在实数 x, 使函数 y= x2+ 2(a- 2)x+ 4, 对任意 a∈[- 3, 1], y< 0 恒成立.
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第三章

不等式

已知a>0,且a≠1,解关于x的不等式loga(4+3x-
x2)-loga(2x-1)>loga2.
[解] 原不等式可化为 loga (4+ 3x- x2 )> loga[2(2x- 1)].

?2x- 1> 0, ? 2 4 + 3 x - x > 0, 当 a>1 时,有? ? ?4+ 3x- x2> 2( 2x- 1),

? ? 1 解得? 所以 < x< 2. - 1< x< 4, 2 ? ?- 3< x< 2,
1 x> , 2
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第三章

不等式

2x- 1> 0, ? ? 2 当 0< a<1 时,有?4+ 3x- x > 0, ? ?4+ 3x- x2< 2( 2x- 1),

? ? 解得? 所以 2< x< 4. - 1< x< 4, ? ?x<- 3或 x> 2,
1 x> , 2 1 综上,当 a>1 时,原不等式解集为{ x| < x< 2}. 2 当 0< a<1 时,原不等式解集为{ x|2< x< 4}.
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第三章

不等式

[感悟提高]

求解含指数式、对数式的不等式时,首先要将

其转化为代数不等式,然后再分类讨论求解. (1)形如logaf(x)>logag(x)(a>0且a≠1)的不等式:

当a>1时,不等式化为f(x)>g(x)>0;
当0<a<1时,不等式化为0<f(x)<g(x). (2)形如af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的不等式: 当a>1时,不等式化为f(x)>g(x); 当0<a<1时,不等式化为f(x)<g(x).

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第三章

不等式

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第三章

不等式

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