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2015-2016北京市朝阳区高三上学期期末考试数学文科试题


北京市朝阳区 2016 届高三上学期期末联考

数学(文)试题
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的

一项. 1.已知集合 A ? {?1,0,1}, B ? {x ?1 ? x ? 1} ,则 A I B = A. {0,1} B. {?1, 0} C. {0} D. {?1, 0,1}

2. 下列函数中,既是奇函数又存在零点的是 A . f ( x) ?

x

B. f ( x ) ?

1 x

C. f ( x) ? e x

D. f ( x ) ? sin x

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

开始 m =1, i=1

m=m (2-i)+1 m=m (2-i)+1 (2-i)+1 i= i +1

m=0? 是 输出 i



结束 第 3 题图 4.在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计,统 计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~120km/h,试 估计 2000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有
1

A. 30 辆 C. 170 辆

B. 300 辆 D. 1700 辆 0.035 0.030 0.020 0.010 0.005

频率 组距

80

90

4 100 110 120 130 车速(km/h)

第 4 题图 5. 已知 m,n 表示两条不同的直线, ?,? 表示两个不同的平面,且 m ? ?,n ? ? ,则下列说法正 确的是 A.若 ? / / ? ,则 m / / n C.若 m / / ? ,则 ? / / ? B.若 m ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,则 m ? n

6.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且与 y 轴交于点 A ,若 ?OAF ( O 为坐标原 点)的面积为 4,则抛物线方程为 A. y 2 ? ?4 x B.
y2 ? 4x

C. y 2 ? ?8x

D. y 2 ? 8 x

7. 已知 A, B 为圆 C : ( x ? m) 2 ? ( y ? n) 2 ? 9 ( m, n ? R ) 上两个不同的点( C 为圆心) ,且满足

| CA ? CB |? 13 ,则 AB ?
A.

23

B.

23 2

C. 2

D. 4

8. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,如果存在正实数 m ,使得对任意 x ? D ,当 x ? m ? D 时,都有

f ( x ? m) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 D 上的“ m 型增函数”.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且
当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? a ? a ( a ? R ) ,若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”,则实数 a 的取值范围 是 A. a ? 0 B. a ? 20 C. a ? 10 D. a ? 5

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.计算: i(1 ? i) ? ( i 为虚数单位).
2

10. 双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的渐近线方程为 3

.

11. 在 ?ABC 中,若 BC ? 1 , AC ? 2 , cos C ? 12.已知正数 x , y 满足约束条件 ?

1 ,则 AB ? 4

, sin A ?

.

?2 x ? y ? 0 1 ,则 z ? ( ) 2 x ? y 的最小值为 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
,侧面积为 .

.

13.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是

3 4 正视图 3

侧视图

俯视图 第 13 题图 14. 在 ?ABC 中, AB ? AC , D 为线段 AC 的中点,若 BD 的长为定值 l ,则 ?ABC 面积的最大 值为 (用 l 表示).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列, 数列 {bn } 是各项均为正数的等比数列, 且 a1 ? b1 ? 3 ,a2 ? b2 ? 14 ,

a3 ? a4 ? a5 ? b3 .
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn , n ? N ,求数列 {cn } 的前 n 项和.
*

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 3sin x cos x ? a 的图象过点 ( ,1) . (Ⅰ)求实数 a 的值及函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值. 17. (本小题满分 13 分) 某中学从高一年级、 高二年级、 高三年级各选 1 名男同学和 1 名女同学, 组成社区服务小组. 现 从这个社区服务小组的 6 名同学中随机选取 2 名同学,到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位
3

? 6

? 2

同学被选到的可能性相同) . (Ⅰ)求选出的 2 人都是女同学的概率; (Ⅱ)设 “选出的 2 人来自不同年级且是 1 名男同学和 1 名女同学”为事件 N,求事件 N 发生的 概率. 18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形.点 E 是棱 PC 的中点,平面 ABE 与 棱 PD 交于点 F . (Ⅰ)求证: AB ∥ EF ; (Ⅱ)若 PA ? AD ,且平面 PAD ? 平 面 ABCD ,试证明 AF ? 平面 PCD ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,线段 PB 上是否存在点

P F D A E C B

M ,使得 EM ? 平面 PCD ?(直接给出结论,不
需要说明理由) 19. (本小题满分 13 分)

k ? 2x , k ? R . x (Ⅰ)当 k ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 k ? e 时,试判断函数 f ( x) 是否存在零点,并说明理由; (Ⅲ)求函数 f ( x) 的单调区间.
已知函数 f ( x) ? (2k ? 1)ln x ? 20. (本小题满分 14 分) 已知圆 O : x ? y ? 1的切线 l 与椭圆 C : x ? 3 y ? 4 相交于 A , B 两点.
2 2 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)求证: OA ? OB ; (Ⅲ)求 ?OAB 面积的最大值.

4

参考答案
一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D

二、填空题: (满分 30 分) 题号 答案 9 10 11 12
15 8

13

14

1? i

y ? ? 3x

2,

1 16

12 , 27

2 2 l 3

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,且 q ? 0 . 依题意有,

? ?a1 ? d ? b1q ? 14, ? 2 ? ?3(a1 ? 3d ) ? b1q .
由 a1 ? b1 ? 3 ,又 q ? 0 , 解得 ?

? q ? 3, ? d ? 2.

? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2( n ?1) ? 2 n ?1, 即an ? 2 n ?1 , n ? N .

bn ? b1qn?1 ? 3? 3n?1 ? 3n , n ? N? .
(Ⅱ)因为 cn ? an ? bn ? 2n ? 1 ? 3 ,
n

………………………………………7 分

所以前 n 项和 Sn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn )

? (3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1) ? (31 ? 32 ? ? ? 3n )

?

n(3 ? 2n ? 1) 3(1 ? 3n ) ? 2 1? 3

? n( n ? 2 ) ?

3 n (3 ? 2

1) .

所以前 n 项和 S n ? n(n ? 2) ? 16. (本小题满分 13 分)

3 n (3 ? 1), n ? N* .………………………………13 分 2

5

解: (Ⅰ)由 f ( x) ? cos 2 x ? 3sin xcos x ? a

1 ? cos 2 x 3 sin 2 x ? ?a 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? a . 6 2 ? 因为函数 f ( x) 的图象过点 ( ,1) , 6 ? ? ? 1 1 所以 f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? ? a ? 1.解得 a ? ? . 6 6 6 2 2 函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . …………………………………………………………7 分 ?
(Ⅱ)因为 0 ? x ?

? ? ? ?? ,所以 ? 2 x ? ? . 2 ? ? ? ? ? 则 ? ? sin(2 x ? ) ?? . ? ? 1 ? ?? ? ? 所以当 2 x ? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为 ? . ……………13 分 2 ? ? ? 2

17.(本小题满分 13 分) 解:从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为 A,B,C,女同学分别记为 X,Y,Z. 从 6 名同学中随机选出 2 人参加活动的所有基本事件为: {A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z}, {C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 个. (Ⅰ)设“选出的 2 人都是女同学”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件有{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 3 个, 所以,事件 M 发生的概率 P ( M ) ? (Ⅱ)事件 N 包含的基本事件有 {A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 个, 所以,事件 N 发生的概率 P ( N ) ? ……………4 分

3 1 ? .……………………………………8 分 15 5

6 2 ? . ……………………………………13 分 15 5

18. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 是正方形, 所以 AB ∥ CD . 又因为 AB ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AB ∥平面 PCD . 又 因 为 A, B, E, F四 点 共 面 , 且 平 面

P F D
6

ABEF ? 平面 PCD ? EF ,
所以 AB ∥ EF .……………………5 分 (Ⅱ)在正方形 ABCD 中, CD ? AD .

E C B

A

又因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 所以 CD ? 平面 PAD . 又 AF ? 平面 PAD 所以 CD ? AF . 由(Ⅰ)可知 AB ∥ EF , 又因为 AB ∥ CD ,所以 CD ∥ EF .由点 E 是棱 PC 中点,所以点 F 是棱 PD 中点. 在△ PAD 中,因为 PA ? AD ,所以 AF ? PD . 又因为 PD ? CD ? D ,所以 AF ? 平面 PCD .…………………………………11 分 (Ⅲ)不存在. 19. (本小题满分 13 分) 解:函数 f ( x) 的定义域: x ? (0,??) . …………………………………………………………14 分

2k ? 1 k 2 x 2 ? (2k ? 1) x ? k ( x ? k )(2 x ? 1) f ?( x) ? ? 2 ?2? ? . x x x2 x2
(Ⅰ)当 k ? 1 时, f ( x) ? ln x ?

1 ? 2x . x ( x ? 1)( 2 x ? 1) f ?( x) ? . x2

有 f (1) ? ln1 ? 1 ? 2 ? 3 ,即切点(1,3) ,

k ? f ?(1) ?

(1 ? 1)( 2 ? 1) ? 2. 12

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线方程是 y ? 3 ? 2( x ? 1) , 即 y ? 2 x ? 1 .………………………………………………………………………4 分

(Ⅱ)若 k ? e , f ( x) ? (2e ? 1)ln x ?

e ? 2x . x

f ?( x) ?

( x ? e)(2 x ? 1) . x2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?e (舍) , x2 ?

1 . 2

7

x
f ?( x)

1 (0, ) 2
- ↘

1 2
0

1 ( ,?? ) 2
+ ↗

f ( x)

极小值

1 1 e 1 则 f ( x)min ? f ( ) ? (2e ? 1)ln ? ? 2 ? ? 2(1 ? ln 2)e ? ln 2 ? 1 ? 0 . 2 2 1 2 2 所以函数 f ( x) 不存在零点. ………………………………………………………8 分
(Ⅲ) f ?( x ) ?

( x ? k )( 2 x ? 1) . x2 当 ? k ? 0 ,即 k ? 0 时,

x
f ?( x)
f ( x)
当 0 ? ?k ?

1 (0, ) 2
- ↘

1 2
0

1 ( ,?? ) 2
+ ↗

极小值

1 1 ,即 ? ? k ? 0 时, 2 2
(0,?k )
+ ↗
?k

x
f ?( x)
f ( x)
当?k ?

1 (?k , ) 2
- ↘

1 2
0

1 ( ,?? ) 2
+ ↗

0

极大值

极小值

1 1 ,即 k ? ? 时, 2 2 1 (0, ) 2
+ ↗

x
f ?( x)

1 ( ,?? ) 2
+ ↗

f ( x)

当?k ?

1 1 ,即 k ? ? 时, 2 2

8

x


1 (0, ) 2
+ ↗

1 2
0

1 ( ,? k ) 2
- ↘

?k

(?k ,??)
+ ↗ 上,当 时 ,

k?0
f ( x)
增区间

f ?( x)
f ( x)

0

极大值

极小值

的单调 是

1 1 ( ,?? ) ;减区间是 (0, ) . 2 2 1 1 1 当 ? ? k ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (0,?k ) , ( ,?? ) ;减区间是 (?k , ) . 2 2 2 1 当 k ? ? 时, f ( x) 的单调增区间是 (0,??) ; 2 1 1 当 k ? ? 时, f ( x) 的单调增区间是 (0, ) , (?k ,??) ; 2 2 1 减区间是 ( ,?k ) . ……………………………13 分 2
20. (本小题满分 14 分)
2 2 解: (Ⅰ)由题意可知 a ? 4 , b ?

4 8 2 2 2 ,所以 c ? a ? b ? . 3 3
…………………………3 分

所以 e ?

c 6 6 .所以椭圆 C 的离心率为 . ? a 3 3

(Ⅱ)若切线 l 的斜率不存在,则 l : x ? ?1 . 在

x2 3 y 2 ? ? 1 中令 x ? 1 得 y ? ?1 . 4 4

不妨设 A(1,1), B(1, ?1) ,则 OA ? OB ? 1 ?1 ? 0 .所以 OA ? OB . 同理,当 l : x ? ?1 时,也有 OA ? OB . 若切线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? m ,依题意

??? ? ??? ?

m k ?1
2

? 1 ,即 k 2 ? 1 ? m2 .

由?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 4 ? 0 .显然 ? ? 0 . 2 2 ?x ? 3y ? 4

3m2 ? 4 6km 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? . 3k ? 1 3k 2 ? 1
所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 .
9

所以 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2

??? ? ??? ?

? (k 2 ? 1)

3m2 ? 4 6km ? km 2 ? m2 2 3k ? 1 3k ? 1

?

(k 2 ? 1)(3m2 ? 4) ? 6k 2 m2 ? (3k 2 ? 1)m2 3k 2 ? 1 4m 2 ? 4k 2 ? 4 4(k 2 ? 1) ? 4k 2 ? 4 ? ?0. 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

?

所以 OA ? OB . 综上所述,总有 OA ? OB 成立. ………………………………………………9 分 (Ⅲ)因为直线 AB 与圆 O 相切,则圆 O 半径即为 ?OAB 的高. 当 l 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 AB ? 2 .则 S?OAB ? 1 . 当 l 的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,

AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? k 2 ? (

6km 2 3m2 ? 4 ) ? 4 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

?

2 1? k 2 ? 9k 2 m2 ? (3m2 ? 4)(3k 2 ? 1) 3k 2 ? 1

2 1? k 2 2 1? k 2 2 2 ? ? 12k ? 3m ? 4 ? ? 12k 2 ? 3(k 2 ? 1) ? 4 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ?
2

2 1? k 2 ? 9k 2 ? 1 . 2 3k ? 1

4(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) 4(9k 4 ? 10k 2 ? 1) 4k 2 所以 AB ? ? ? 4(1 ? 4 ) (3k 2 ? 1)2 9k 4 ? 6k 2 ? 1 9k ? 6k 2 ? 1
? 4 ? 16 ? k2 16 4 16 ? 4? ? 4? ? 4 2 1 9k ? 6k ? 1 3 3 9k 2 ? 2 ? 6 k

(当且仅当 k ? ?

3 时,等号成立) . 3

所以 AB max ?

4 3 2 3 .此时, (S?OAB ) max ? . 3 3 3 2 3 时, ?OAB 面积的最大值为 .…………14 分 3 3

综上所述,当且仅当 k ? ?

10


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