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2015年高考理科数学(天津卷)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类)
第I卷
注意事项: 1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他 答案标号. 2、本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? ?2,3,5,6? ,集合 B ? ?1,3, 4,6,7? ,则集合 A ? ? UB ? (A) ?2,5? (B) ?3, 6? (C) ?2,5,6? (D) ?2,3,5,6,8?

?x ? 2 ? 0 ? (2)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
(A)3 (B)4 (C)18 (D)40 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 (A) ?10 (B)6(C)14(D)18

(4)设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)如图,在圆 O 中 , M, N 是 弦 AB 的 三 等 分 点 , 弦 CD, CE 分 别 经 过 点 M, N .若

CM ? 2, MD ? 4, CN ? 3 ,则线段 NE 的长为

(A)

8 3

(B)3

(C)

10 3

(D)

5 2

D E O A M C
(6) 已知双曲线

N

B

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 , 且双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 2 a b

?

?

的准线上,则双曲线的方程为 (A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 (C) ? ? ? 1 (B) ? ? 1 (D) ? ?1 28 21 21 28 3 4 4 3
上 的 函 数 f ? x? ? 2
x?m

( 7 ) 已 知 定 义 在 R

?1

( m

为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记

a ? f (log0.5 3), b ? f ?log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为
(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a (8)已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中 b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰

有 4 个零点,则 b 的取值范围是 (A) ? .

7? ?7 ? ? ? 7? ?7 ? , ?? ? (B) ? ??, ? (C) ? 0, ? (D) ? , 2 ? 4? ?4 ? ? ? 4? ?4 ?

第 II 卷
注意事项: 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题,共计 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) i 是虚数单位,若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数,则实数 a 的值为 (10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为 (11)曲线 y ? x (12)在 ? x ?
2

.

与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为
6

.

? ?

1 ? 2 ? 的展开式中, x 的系数为 4x ?

.

(13)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 ?ABC 的面积

为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? , 则 a 的值为

1 4

.

(14)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / / DC, AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? ,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和

??? ? ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? DC 上,且, BE ? ? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的最小值为 9?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin 2 ? x ? (I)求 f ( x ) 最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 [ -

.

? ?

??

?, x?R 6?

p p , ] 上的最大值和最小值. 3 4

16. (本小题满分 13 分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协 会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人 参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

AB = 1 , 17. (本小题满分 13 分)如图,在四棱柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中,侧棱 A 1 A ? 底面ABCD , AB ? AC ,

AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C和D1D 的中
点. (I)求证: MN ? 平面ABCD ; (II)求二面角 D1 -AC - B1 的正弦值; (III)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正 弦值为

1 ,求线段 A 1E 的长 3

18. (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足 an?2 ? qan (q 为实数,且q ? 1),n ? N* , a1 ? 1, a2 ? 2 ,且

a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n 的前 n 项和. , n ? N * ,求数列 {bn} a2 n?1

19. (本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 3 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) ,离心率为 ,点 M 在椭圆上且位 2 a b 3

于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = (I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程;

2

2

b4 4 3 截得的线段的长为 c, |FM|= . 4 3

(III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? n x ? xn , x ? R ,其中 n ? N * , n ? 2 . (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证:对于任意的正实数 x , 都有 f ( x) ? g ( x) ; (III)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 1- n

答案及解析
一、 选择题
1、 【答案】A 【解析】 试题分析: ? U B ? {2,5,8} ,所以 A ? ? U B ? {2,5} ,故选 A. 考点:集合运算. 2、 【答案】C

8 6 4

B
2

A
15 10 5 2 4 6 8 5 10 15

考点:线性规划. 3、答案】B 【解析】 试题分析:模拟法:输入 S ? 20, i ? 1 ;

i ? 2 ? 1, S ? 20 ? 2 ? 18,2 ? 5 不成立; i ? 2 ? 2 ? 4, S ? 18 ? 4 ? 14,4 ? 5 不成立 i ? 2 ? 4 ? 8, S ? 14 ? 8 ? 6,8 ? 5 成立
输出 6 ,故选 B. 考点:程序框图. 4、 【答案】A

考点:充分条件与必要条件. 5、答案】A 【解析】 试题分析:由相交弦定理可知, AM ? MB ? CM ? MD, CN ? NE ? AN ? NB ,又因为 M , N 是弦 AB 的三等分点, 所以 AM ? MB ? AN ? NB ? CN ? NE ? CM ? MD ,所以 NE ? 考点:相交弦定理. 6、 【答案】D

CM ? MD 2 ? 4 8 ? ? ,故选 A. CN 3 3

考点:1.双曲线的标准方程及几何性质;2.抛物线的标准方程及几何性质. 7、 【答案】C 【解析】 试题分析:因为函数 f ? x ? ? 2
x ?m

? 1为偶函数,所以 m ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 ? 1 ,所以
x
1

log2 1? ? a ? f (log0.5 3) ? f ? log2 ? ? 2 3 ? 1 ? 2log2 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2, 3? ?

b ? f ?log2 5? ? 2log2 5 ? 1 ? 4, c ? f ? 2m? ? f (0) ? 20 ? 1 ? 0
所以 c ? a ? b ,故选 C. 考点:1.函数奇偶性;2.指数式、对数式的运算. 8、 【答案】D 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

得 f (2 ? x ) ? ?

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x?0 ? ?x ,

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , 0? x ? 2, ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2
? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 0? x?2 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?
y ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ? b ,所以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点等价于方程 f ( x) ? f (2 ? x) ? b ? 0 有 4 个不同的解,即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x) ? f (2 ? x) 的图象的 4 个公共点,由图象
可知

7 ? b? 2. 4
8 6 4 2

15

10

5 2 4 6 8

5

10

15

考点:1.求函数解析式;2.函数与方程;3.数形结合.

二、

填空题

9、 【答案】 ? 2 【解析】 试题分析: ?1 ? 2i ?? a ? i ? ? a ? 2 ? ?1 ? 2a ? i 是纯度数,所以 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 . 考点:1.复数相关定义;2.复数运算. 10、 【答案】 ? 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为 1 ,高为 2 的圆柱,两端是底面半径为 1 ,高为 1 的圆 锥,所以该几何体的体积 V ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ?
2

8 3

1 2 8 ?1 ? ? ?1 ? ? . 3 3

考点:1.三视图;2.旋转体体积.

11、 【答案】 【解析】

1 6

试题分析:两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1) ,所以它们所围成的封闭图形的面积

1 ? 1 ?1 S ? ? ? x ? x ? dx ? ? x 2 ? x 3 ? ? . 0 3 ?0 6 ?2
1 2

1

考点:定积分几何意义.

12、 【答案】

15 16

考点:二项式定理及二项展开式的通项. 13、 【答案】 8 【解析】
2 试题分析:因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos A ?

15 , 4

又 S?ABC ?

?b ? c ? 2 1 15 得 b ? 6, c ? 4 ,由余弦定理得 bc sin A ? bc ? 3 15,? bc ? 24 ,解方程组 ? 2 8 ?bc ? 24

? 1? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 62 ? 42 ? 2 ? 6 ? 4 ? ? ? ? ? 64 ,所以 a ? 8 . ? 4?
考点:1.同角三角函数关系;2.三角形面积公式;3.余弦定理. 14、 【答案】 【解析】 试题分析:因为 DF ?

29 18 ????

? ??? ? ???? ???? 1 ???? ???? 1 ? 9? ???? 1 ? 9? ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? DC , DC ? AB , CF ? DF ? DC ? DC ? DC ? DC ? AB , 9? 2 9? 9? 18? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? 9? ??? ? 1 ? 9? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? AB ? AB ? BC , AE ? AB ? BE ? AB ? ? BC , AF ? AB ? BC ? CF ? AB ? BC ? 18? 18?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ? 9? ??? ? ??? ? ? 1 ? 9? ??? ?2 ??? ?2 ? ? ??? ? 1 ? 9? ? ??? AE ? AF ? AB ? ? BC ? ? AB ? BC ? ? AB ? ? BC ? ? 1 ? ? ? AB ? BC 18? ? ? 18? ? 18? ?

?

?

D F

C E

A

B

?

1 ? 9? 19 ? 9? 2 1 17 2 1 17 29 ?4?? ? ? 2 ? 1 ? cos120? ? ? ?? ?2 ? ?? ? 18? 18? 9? 2 18 9? 2 18 18

当且仅当

? ??? ? 2 1 2 ??? 29 ? ? 即 ? ? 时 AE ? AF 的最小值为 . 9? 2 3 18
积;3.基本不等式.

考点:1.向量的几何运算;2.向量的数量

X P

1

2

3

4

三、

解答题

1 14

3 7

3 7

1 14

15、 【答案】(I) ? ; (II) f ( x ) max ?

1 3 , f ( x ) min ? ? . 2 4

考点:1.两角和与差的正余弦公式;2.二倍角的正余弦公式;3.三角函数的图象与性质.

16、 (I)

6 ; 35 5 2

(II) 随机变量 X 的分布列为

E?X ? ?
【解析】

试题分析:(I)由古典概型计算公式直接计算即可; (II)先写出随机变量 X 的所有可能值,求出其相应的概率,即 可求概率分布列及期望. 试题解析:(I)由已知,有
2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 P( A) ? ? 4 C8 35

所以事件 A 发生的概率为

6 . 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4

P?X ? k? ?
所以随机变量 X 的分布列为

k 4?k C5 C3 (k ? 1,2,3,4) C84

X P

1

2

3

4

3 3 1 1 14 7 7 14 1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 所以随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? 14 7 7 14 2
考点:1.古典概型;2.互斥事件;3.离散型随机变量的分布列与数学期望.

17、 【答案】(I)见解析; (II) 【解析】

3 10 ; (III) 10

7 ?2.

试题分析:以 A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法向量,两个向量的乘 积等于 0 即可;(II)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可;(III)

? 的值,即可求出 A1E 的长. 设A 1E ? ? A 1B1 ,代入线面角公式计算可解出
试题解析:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, ?2,0) ,

????

???? ?

? 1 ? 又因为 M , N 分别为 B1C 和 D1D 的中点, 得 M ? 1, ,1? , N (1, ?2,1) . A1 (0,0,2), B1 (0,1,2), C1 (2,0,2), D1 (1, ?2,2) , ? 2 ?

(I)证明:依题意,可得 n ? (0,0,1) 为平

?

面 ABCD 的一个法向量,

???? ? ? 5 ? MN ? ? 0, ? ,0 ? , 2 ? ?
由此可得, MN ? n ? 0 ,又因为直线 以 MN // 平面 ABCD (II) AD1 ? (1, ?2,2), AC ? (2,0,0) ,设

???? ? ?

MN ? 平面 ABCD ,所

???? ?

??? ?

?? n1 ? ( x, y, z) 为平面

ACD1 的法向量,则
?? ???? ? ?? ? ? x ? 2 y ? 2z ? 0 ?n1 ? AD1 ? 0 z ? 1 ,即 ,不妨设 ,可得 n ?? ??? ? ? ? 1 ? (0,1,1) , 2 x ? 0 n ? AC ? 0 ? ? ? 1

?? ? ???? ?? ? ???? ? ?n2 ? AB1 ? 0 设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 的一个法向量,则 ? ?? ,又 AB1 ? (0,1,2) ,得 ? ??? ? ? ?n2 ? AC ? 0

?? ? ? y ? 2z ? 0 ,不妨设 z ? 1 ,可得 n2 ? (0, ?2,1) ? ?2 x ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 10 3 10 因此有 cos n1 , n2 ? ?? ?? ,于是 sin n1 , n2 ? , ? ?? 10 10 n1 ? n2
所以二面角 D1 ? AC ? B1 的正弦值为

3 10 . 10

(III)依题意,可设 A 1E ? ? A 1B1 ,其中 ? ? [0,1] ,则 E (0, ?,2) ,从而 NE ? (?1, ? ? 2,1) ,又 n ? (0,0,1) 为平面

????

???? ?

??? ?

?

ABCD 的一个法向量,由已知得 ??? ? ? ??? ? ? NE ? n 1 1 cos NE , n ? ??? ? ,整理得 ? 2 ? 4? ? 3 ? 0 , ? ? ? NE ? n ( ?1)2 ? (? ? 2)2 ? 12 3
又因为 ? ? [0,1] ,解得 ? ?

7 ? 2,

所以线段 A 1E 的长为 7 ? 2 . 考点:1.直线和平面平行和垂直的判定与性质;2.二面角、直线与平面所成的角;3.空间向量的应用.

?1 ? n2 2 , n为奇数, n?2 ? 18、 【答案】(I) an ? ? n ; (II) S n ? 4 ? n ?1 . 2 ? 2 2 , n为偶数. ?

【解析】 试题分析:(I)由 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 得 a4 ? a2 ? a5 ? a3 先求出 q ,分 n 为奇数与偶数讨 论即可;(II)求出数列 ?bn ? 的通项公式,用错位相减法求和即可. 试题解析:(I) 由已知,有 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 ,即 a4 ? a2 ? a5 ? a3 , 所以 a2 (q ? 1) ? a3 (q ? 1) ,又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1q ,得 q ? 2 , 当 n ? 2k ? 1(n ? N *) 时, an ? a2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 当 n ? 2k (n ? N *) 时, an ? a2k ? 2k ? 2 2 ,
?1 ? n2 2 , n为奇数, ? 所以 {an } 的通项公式为 an ? ? n ? 2 2 , n为偶数. ?

(

) (
(

) (

) (

)

) (

) (
n ?1 2

) (

)



n

考点:1.等差中项定义;2.等比数列及前 n 项和公式.3.错位相减法.

19、 【答案】(I) 【解析】

? 2 3? ? 2 2 3? x2 y2 3 , ? ? 1 ;(III) ? ??, ? ; (II) ??? ?. 3 ? ? 3 3 ? 3 2 3 ?

试题分析:(I) 由椭圆知识先求出 a, b, c 的关系,设直线直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,求出圆心到直线的距离,

x2 y2 由勾股定理可求斜率 k 的值; (II)由(I)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,直线与椭圆方程联立,求出点 M 的坐标, 3c 2c
由 FM ?

4 3 可求出 c ,从而可求椭圆方程.(III)设出直线 FP : y ? t ( x ? 1) ,与椭圆方程联立,求得 3

t?

6 ? 2 x2 ? 2 ,求出 x 的范围,即可求直线 OP 的斜率的取值范围. 3( x ? 1)2
c2 1 ? ,又由 a 2 ? b2 ? c2 ,可得 a 2 ? 3c 2 , b2 ? 2c 2 , 2 a 3

试题解析:(I) 由已知有

设直线 FM 的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,由已知有

? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?
(II)由(I)得椭圆方程为

2

2

2

x2 y2 ? ? 1 ,直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,两个方程联立,消去 y ,整理得 3c 2 2c 2

? 2 3 ? 5 c ? ,由 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ,解得 x ? ? c 或 x ? c ,因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 ? c, 3 3 ? ?

?2 3 ? x2 y2 4 3 ? ?1 ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 FM ? (c ? c) ? ? c ? 0? ? 3 2 3 3 ? ? y (III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ? ,即 y ? t ( x ? 1) ( x ? ?1) ,与椭圆方程联立 x ?1
2

2

? y ? t ( x ? 1) 6 ? 2 x2 ? 2 2 2 2 2 y ,消去 ,整理得 ,又由已知,得 2 x ? 3 t ( x ? 1) ? 6 t ? ? 2 ,解得 ?x y 2 3( x ? 1) ? ? 1 ? 2 ?3
? 3 ? x ? ? 1 或 ?1 ? x ? 0 , 2
设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

y 2 2 2 ,即 y ? mx( x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 m ? 2 ? . x x 3

①当 x ? ? ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ②当 x ? ? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

? 3 ? 2

? ?

? 2 2 3? 2 2 , ? ,得 m ? ? ? 2 3 3 ? x 3 ? ? 2 3? 2 2 ? ,得 m ? ? ??, ? ? 2 3 ? x 3 ?

综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ?

2 3? ? 2 2 3? , ??? ? 3 ? ? 3 3 ?

考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式.

20、 【答案】 (I) 当 n 为奇数时, f ( x ) 在 ( ??, ?1) ,(1, ??) 上单调递减, 在 ( ?1,1) 内单调递增; 当 n 为偶数时, f ( x ) 在 ( ??, ?1) 上单调递增, f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减. (II)见解析; (III)见解析.

n 试题解析:(I)由 f ( x) ? nx ? x ,可得,其中 n ? N * 且 n ? 2 ,

下面分两种情况讨论:

(1)当 n 为奇数时: 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 , 当 x 变化时, f ?( x ), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

( ??, ?1)

( ?1,1)

(1, ??)

?
?

?
?

?
?

所以, f ( x ) 在 ( ??, ?1) , (1, ??) 上单调递减,在 ( ?1,1) 内单调递增. (2)当 n 为偶数时, 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递减. 所以, f ( x ) 在 ( ??, ?1) 上单调递增, f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减. (II)证明:设点 P 的坐标为 ( x0 ,0) ,则 x0 ? n
1 n ?1

, f ?( x0 ) ? n ? n2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线方程为

y ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,即 g( x) ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,即 F ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,则
F ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0)
由于 f ?( x) ? ?nxn?1 ? n 在 ?0, ??? 上单调递减,故 F ?( x) 在 ?0, ??? 上单调递减,又因为 F ?( x0 ) ? 0 ,所以当

x ? (0, x0 ) 时, F ?( x0 ) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时, F ?( x0 ) ? 0 ,所以 F ( x ) 在 (0, x0 ) 内单调递增,在 ( x0 , ??) 内单
调递减,所以对任意的正实数 x 都有 F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,即对任意的正实数 x ,都有 f ( x ) ? g ( x ) .
2 (III)证明:不妨设 x1 ? x2 ,由(II)知 g ( x ) ? n ? n

?

? ? x ? x ? ,设方程 g ( x) ? a 的根为 x ? ,可得
0 2

x2 ? ?

a ? x0 . ,当 n ? 2 时, g ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递减,又由(II)知 g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? a ? g ( x2? ), 可得 n ? n2

x2 ? x 2 ? .
类似的,设曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程为 y ? h( x ) ,可得 h( x ) ? nx ,当 x ? (0, ??) ,

f ( x) ? h( x) ? ? x n ? 0 ,即对任意 x ? (0, ??) , f ( x ) ? h( x ).
设 方 程 h( x ) ? a 的 根 为 x1? , 可 得 x1? ?

a , 因 为 h( x ) ? nx 在 ? ??, ??? 上 单 调 递 增 , 且 n

考点:1.导数的运算;2.导数的几何意义;3.利用导数研究函数性质、证明不等式.



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