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2.4 高一数学函数的零点


2.4
1.函数零点的概念

函数与方程

【例 1-1】函数 f(x)=x2-1 的零点是( A.(± 1,0) B.(1,0)

) C.0 D.± 1 )

【例 1-2】若 abc≠0,且 b2=ac,则函数 f(x)=ax2+bx+c 的零点的个数是( A.0 B.1 C.2 D.

1 或 2

2.函数的零点与对应方程的关系

【例 2-1】若函数 f(x)=x2+ax+b 的零点是 2 和-4,求 a,b 的值.

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象联系密切, 下 面以 a>0 为例列表说明. Δ>0 二次函数 f(x)=ax2+ bx+c(a>0) 的图象 图象与 x 轴交点 方程 f(x) =0 的根 函数 y= f(x)的零点 Δ=0 Δ<0

4.判断零点所在的区间 零点存在性定理

【例 4-1】求函数 f( x)=x2-5x+6 在区间[1,4]上的零点个数.

5. 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 对二分法的理解 (1)二分法就是不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找 到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的 某个数值近似地表示真正的 零点. (2)二分法的理论基础是根的存在性定理. 【例 5-1】求函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个为正数的零点(误差不超过 0.1)

思考:下列函数中,不能用二分法求零点 的是(

)

【例 5-2】用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次计算 f(0)<0,f(0.5) >0,可得其中一个零点 x0 ? __________,第二次应计算__________.以上横线上应填的内 容为( ) B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.125)

A.(0,0.5),f(0.25)

【例 5-3】用二分法求函数 f(x)=3x-x-4 的一个零点,其参考数据如下: f(1.600 0)≈0.200 f(1.562 5)≈0.003 f(1.587 5)≈0.133
[来源:Zxxk.Com]

f(1.575 0)≈0.067 f(1.550 0)≈-0.060

f(1.556 25)≈-0.029

据此数据,可得 f(x)=3x-x-4 的一个零点的近似值(精确度 0.01)为__________.

基础巩固一 1.函数 f(x)=x -2x +2x 的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D. 3
2 3 2

(

).

2.若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为 2,那么函数 g(x)=bx -ax 的零点是 ( 1 A.0,- 2
2

).

1 B.0, 2

C.0,2

1 D.2,- 2 ( ).

3.函数 y=x -bx+1 有一个零点,则 b 的值为 A.2 C.±2
2

B.-2 D.不存在

4.若函数 f(x)=x +ax+b 的零点是 2 和-4,则 a=________,b=________. 基础巩固二 1.下列函数中能用二分法求零点的是 ( ).

2.二次函数 f(x)=ax +bx+c(x∈R,a≠0)的部分对应值如下表:

2

x y

-3 6

-2

-1 -4

0 -6
2

1 -6

2 -4

3

4 6 ).

m

n

不求 a、b、c 的值,可以判断方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根所在区间是( A.(-3,-1)和(2,4) C.(-1,1)和(1,2) B.(-3,-1)和(-1,1) D.(-∞,-3)和(4,+∞)

3.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)f(4)<0,给定精确度 ε = 0.01 ,取区间 (2,4) 的中点 x1 = ________.(填区间) 4.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表: 2+4 = 3 ,计算得 f(2)·f(x1)<0 ,则此时零点 x0 ∈ 2

x f(x)

-2 136

-1 -21

0 6

1 19

2 13

3 -1

4 -8

5 -2

6 4

7 29

8 98

则下列判断正确的是________. ①函数 f(x)在区间(-1,0)内至少有一个零点; ②函数 f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点; ③函数 f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点; ④函数 f(x)在区间(-1,7)内有三个零点. 5. f(x)=x +x -2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据 如下表:
3 2

f(1)=-2 f(1.25)=-0.984 f(1.437 5)=0.162
3 2

f(1.5)=0.625 f(1.375)=-0.260 f(1.406 25)=-0.054
( ).

那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为 A.1.2 C.1.4 B.1.3 D.1.5


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