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江西省赣州市2016年高三摸底考试理科数学参考答案


赣州市 2016 年高三年级摸底考试理科数学参考答案
一、选择题 1~5.DACAD;

6~10.BDBBC;

11~12.CA.

(12)由 f ( x2 ? 2 x ? 3) ? g ( x) 知 g ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,若 g ( x) 的图像不关于 直线 x ? 1 对称,则必然存在 x1 , x2 ,满足 x1 ? x2 ? 2 ,但 g ( x1 ) ? g ( x2 ) .
2 2 而 f ( x1 ? 2x2 ? 3) ? g ( x2 ) , ? 2x1 ? 3) ? g ( x1 ) , f ( x2

? x ?0, 2 ? ? ? 知 g ( x ) ? ? sin x ,y ? sin x 的图像也关于直线 x ? 1 对称, 因为 g ( x ) ? sin x ? 0 有 5 2 2 2 个根,故必有一个根为 1 ,另外 4 个根的和为 4 .所以方程所有根之和为 5 .
2 2 且 f ( x1 ? 2x1 ? 3) ? f ( x2 ? 2x2 ? 3) ,这与 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 矛盾,由 g ( x) ? sin

二、填空题 (13) ?2 ; (14) ?

2 5 ; 5

(15)

1 ; 4

(16) 200 .

16.解: 由已知数列 ?an ? 的通项为 an ? 2n ? 1, 设连续 10 项为 ai ?1 , ai ?2 , ai ?3 ,L ai ?10 (i ? N? ) , 漏掉项为 ai ?k (1 ? k ? 10, k ? N? ) ,由 所以 3 ?

(ai ?1 ? ai ?10 ) ?10 ? ai ? k ? 185 ,得 9i ? k ? 33 , 2

34 43 ?i? ? 5 ,故 i ? 4 ,所以 k ? 3 ,所以遗漏的项为 a7 ? 15 ,故此连续10 项 9 9 的和为 200 .
三、解答题 (17)解: (Ⅰ)因为 cos B ? ? cos( A ? C) ? ? cos Acos C ? sin Asin C ………………1 分 又已知 cos B ? (cos A ? 2sin A) cos C ? 0 , 所以 sin A sin C ? 2sin A cos C ? 0 …………………………………………………………2 分 因为 sin A ? 0 ,所以 sin C ? 2 cos C ? 0 ……………………………………………………3 分 于是 tan C ? 2 …………………………………………………………………………………4 分 所以 cos C ?

5 ………………………………………………………………………………6 分 5

(Ⅱ)因为 CA ? CB ? 2CM …………………………………………………………………7 分 两边平方得 b ? 2b ? 3 ? 0 , 解得 b ? 1 ………………………………………………………8 分
2

uu r

uur

uuu r

在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 4 ,所以 c ? 2 …………………10 分
2 2 2

赣州市 2016 年高三摸底考试理科数学参考答案 1

由此可知 ?ABC 是直角三角形,故 sin B ?

5 …………………………………………11 分 5

?ABC 的面积 S ?

1 ab sin C ? 1 …………………………………………………………12 分 2

(18)解: (Ⅰ)1.乙品种树苗的平均高度大于甲品种树 甲 乙 苗的平均高度. 9 1 0 (或:乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度) . 9 5 3 1 0 2 4 6 2.乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散. 2 3 0 4 7 (或:甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中(稳定) .7 3 1 4 4 6 7 8 3.甲品种树苗的高度的中位数为 27mm ,乙品种树苗的高度的 中位数为 35.5mm . 4.甲品种树苗的高度基本上是对称的,而且大多集中在中间 (均值附近) .乙品种树苗的高度不对称,其分布不均匀. (注:以上四点答对任意两点均给分)……………………………………………………6 分 (Ⅱ) X ? 1, 2,3

P( X ? 1) ?

2 2 1 0 C1 C3 C2 6 C3 3 1 3C2 3C2 , , ? P ( X ? 2) ? ? P ( X ? 3) ? ? ………10 分 3 3 3 C5 10 C5 10 C5 10

X 的分布列为: X
P

1

2

3

3 10

6 10

1 10

EX ?

9 ………………………………………………………………………………………12 分 5
z D1 C1 B1

o (19)解: (Ⅰ)因为 AA 1 ? AB ? AD , ?A 1 AB ? ?A 1 AD ? 60 ,

所以 ?A1 AB 和 ?A1 AD 均为正三角形, 于是 A1B ? A1D ……………………………………………………1 分 设 AC 与 BD 的交点为 O ,则 AO ? BD ………………………2 分 1
x 又 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD ……………………………3 分 A D

A1

O B y

C

BD ? 平面 A1 AC ……………4 分 而 AO 1 I AC ? O ,所以

而 BD ? 平面 A 1BD ,故平面 A 1BD ⊥平面 A 1 AC ……………………………………5 分 (Ⅱ)由 A1B ? A1D 及 BD ? 2 A 1B ? A 1D …………………………………6 分 1D ? 2 知 A 又由 A 1D ? AD, A 1B ? AB, BD ? BD 得 ?A 1 BD ? ?ABD ,故 ?BAD ? 90 …………7 分
o

赣州市 2016 年高三摸底考试理科数学参考答案 2

于是 AO ? A1O ?

1 2 BD ? AA1 ,从而 AO ? BD ? AO ,结合 AO 1 1 2 2

得 AO ? 底面 ABCD ……………………………………………………………………8 分 1 如图,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0), B(0,1,0), D(0, ?1,0), A 1 (0,0,1) ,

uuu r uuu r uuu r BB1 ? AA1 ? (?1,0,1) , DB ? (0,2,0) …………………………………………………9 分
r ? r ? n ? BD ? 0 ? y ? 0 设平面 B1BD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 ? r 得? , ?x ? z ? 0 ? n ? BB ? 0 ? 1 ?
令 x ? 1 ,得 n ? (1,0,1) ……………………………………………………………………10 分

r

? 平面 A 1BD 的一个法向量为 CA ? (2,0,0) ,设平面 A 1BD 与平面 B 1BD 所成角为 ,

uu r

r uur n ? CA 2 则 cos ? ? r uur ? …………………………………………………………………11 分 2 n ? CA
故 ? ? 45 ……………………………………………………………………………………12 分
o

(20)解: (Ⅰ) ?PQF1 的周长为 4 a ……………………………………………………2 分 依题意知 4a ? 4 3b ,即 a ? 3b ………………………………………………………3 分

b 6 …………………………………………………………………………4 分 e ? 1 ? ( )2 ? a 3
(Ⅱ)设椭圆方程为 x ? 3 y ?
2 2

3 2 c ,直线的方程为 y ? x ? c ,代入椭圆方程得 2

3 4 x 2 ? 6cx ? c 2 ? 0 …………………………………………………………………………5 分 2 3 3 2 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? c , x1 x2 ? c ……………………………………6 分 2 8 3 2 2 2 设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 3 y0 ? c ①…………………………………………………………7 分 2
由 OM ? 2OP ? OQ 得 ?
2 2

uuur

uu u r uuu r

? x0 ? 2 x1 ? x2 ……………………………………………………8 分 ? y0 ? 2 y1 ? y2
2 2

代入①得 4( x1 ? 3 y1 ) ? x2 ? 3 y2 ? 4( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 因为 x1 ? 3 y1 ?
2 2

3 2 c ………………………………9 分 2

3 2 3 3 2 2 c , x2 ? 3 y2 ? c 2 ,所以 c 2 ? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 0 ②……………10 分 2 2 2
2

而 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1x2 ? 3( x1 ? c)( x2 ? c) ? 4x1x2 ? 3c( x1 ? x2 ) ? 3c ? 0 ………………11 分
赣州市 2016 年高三摸底考试理科数学参考答案 3

从而②式不成立. 故不存在点 M ,使 OM ? 2OP ? OQ 成立………………………………………………12 分 (21)解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (?1, ??)

uuur

uu u r uuu r

f ?( x) ? e x ?
x

1 ? 2 ………………………………………………………………………1 分 x ?1
1 1 ? 2 ,则 g ?( x) ? e x ? x ?1 ( x ? 1)2
x

记 g ( x) ? e ?

当 x ? 0 时, e ? 1 ,

1 ? 1,此时 g ?( x) ? 0 ………………………………………2 分 ( x ? 1) 2 1 ? 1,此时 g ?( x ? 0 ………………………………………3 分 ( x ? 1) 2

当 x ? 0 时, e ? 1 ,
x

所以 f ?( x ) 在 (?1, 0) 上递减,在 (0, ??) 上递增,…………………………………………4 分 故 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,从而 f ( x ) 在 (?1, ??) 上递增………………………………………5 分 (Ⅱ) f ?( x) ? e ?
x

1 ? a ,由(Ⅰ)知 f ?( x ) 在 (0, ??) 上递增, x ?1

所以当 a ? 2 时, f ?( x) ? f ?(0) ? 2 ? a ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ?0, ??? 上递增……………6 分 故 f ( x) ? f (0) ? 1 ? cos x 恒成立…………………………………………………………7 分
x 当 a ? 2 时,记 ? ( x) ? f ( x) ? cos x ,则 ? ?( x) ? e ?

1 ? a ? sin x x ?1

记 h( x ) ? e ?
x

1 1 ? a ? sin x ,则 h?( x) ? e x ? ? cos x x ?1 ( x ? 1) 2

当 x ? 1 时, h?( x ) ? e ?

1 ? 1 …………………………………………………………………8 分 4

显然 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,从而 ? ?( x ) 在 ?0, ??? 上递增………………………………9 分 又 ? ?(0) ? 2 ? a ? 0 ,则存在 x0 ? (0, ??) ,使得 ? ?( x0 ) ? 0 ……………………………10 分 所以 ? ( x) 在 (0, x0 ) 上递减,所以当 x ? (0, x0 ) 时, ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 , 即 f ( x) ? cos x ,不符合题意………………………………………………………………11 分 综上,实数 a 的取值范围是 a ? 2 …………………………………………………………12 分 (22)解(Ⅰ)在 ?ABC 中,由 BD ?

1 1 BC , CE ? CA 知: ?ABD ? ?BCE ……2 分 3 3

赣州市 2016 年高三摸底考试理科数学参考答案 4

从而有 ?ADB ? ?BEC ,于是 ?ADC ? ?BEC ? 180 …………………………………3 分
o

所以 P 、 D 、 C 、 E 四点共圆………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)如图,连接 DE ,在 ?CDE 中,由 CD ? 2CE, ?DCE ? 60o 及余弦定理

DE 2 ? CD2 ? CE 2 ? 2CD ? CE cos ?DCE 得

A

DE ? 3CE ………………………………………………………7 分
2 2 2 2 因为 DE ? CE ? 4CE ? CD ,所以 DE ? CE ……………8 分

P B D

E C

由 P 、 D 、 C 、 E 四点共圆知 ?DPC ? ?DEC ……………9 分 故 AP ? CP …………………………………………………………………………………10 分 (23)解: (Ⅰ) C2 的极坐标方程为 ? ? 设 Q( ? ?,? ), P( ? ,? ) ,则 ? ? ?

? 2 sin(? ? ) , 4

? 2 sin(? ? ) …………………………………2 分 4

由 OQ ? OP ? 4 得 ? ? ? ? ? 4 ,从而 2 ? sin(? ?

? ) ? 4 ………………………………4 分 4

故 C3 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 …………………………………………………………5 分 (Ⅱ)设 M (a cos ? ,sin ? ) …………………………………………………………………6 分 则 M 到直线 C3 的距离

d?

a cos ? ? sin ? ? 4 2

?

a 2 ? 1sin(? ? ? ) ? 4 2

?

4 ? a2 ? 1 …………………………9 分 2

4 ? a2 ? 1 所以 ? 2 ,解得 a ? 3 ………………………………………………………10 分 2
(24)解: (Ⅰ)由 2 2 ?

1 1 1 1 2 得 ab ? ,当 a ? b ? 时取等号………2 分 ? ?2 2 2 a b ab

故 a ? b ? 2ab ? 1 ,当 a ? b ?
2 2

2 时取等号……………………………………………4 分 2 2 取得最小值 …………………………5 分 2

所以 a ? b 的最小值是 1 ,当且仅当 a ? b ?
2 2

2 3 (Ⅱ)由 (a ? b) ? 4(ab) 得 ( ? ) ? 4ab ……………………………………………7 分
2

1 a

1 b

即( ? ) ?
2

1 a

1 b

4 1 ? 4ab ,从而 ab ? ? 2 ………………………………………………9 分 ab ab
赣州市 2016 年高三摸底考试理科数学参考答案 5

又 ab ?

1 ? 2 ,当 ab ? 1 时取等号………………………………………………………10 分 ab

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