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直线和圆测试题1


直线和圆测试题 一、填空题 1.若直线 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 ? =__________ 2.点 P(2,3)到直线 ax+(a-1)y+3=0 的距离 d 为最大时,d 与 a 的值依次为____ 3.圆 x 2 ? y 2 ? 4 截直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 所得的弦长是__________ ? 4.若直线 3x ? y ? 1 ? 0 到直线 x

? ay ? 0 的角为 ,则实数 a 的值等于_____ 6 2 2 5.若圆 x ? y ? 2kx ? 2 y ? 2 ? 0(k ? 0) 与两坐标轴无公共点,那么实数 k 的取值 范围是__________ 6. 若直线 y ? k ( x ? 2) 与曲线 y ? 1 ? x 2 有交点,则 k 的最大值为__________ 最小值为__________ 7.如图,设点 C(1,0),长为 2 的线段 AB 在 y 轴上滑动,则直线 AB、AC 所成的 最大夹角是__________
y A B O C x

8.如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则a的 值等于__________ 9.已知 x,y 满足约束条件 10. 直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 与圆
2x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ,则 z ? x ? y 的最大值是__________ x ? 0, y ? 0

x ? 1 ? 2 cos?

y ? 3 ? 2 sin?

(θ 为参数) 的位置关系是__________

11.直线 l 的倾角α 满足 4sinα =3cosα ,而且它在 x 轴上的截距为 3,则直线 l 的方程是__________. 12.若实数 x,y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3, 则 的最大值是
y x



13.点 P (a , 3) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 4,且在不等式 2 x ? y ? 3 表示的 平面区域内,则点 P 的坐标是_______________.
x y 14.已知直线 l: ? ? 1 , M 是 l 上一动点,过 M 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分 4 3
B 则在 A 、 连线上, B 别为 A 、 , 且满足 AP ? 2 PB 的点 P 的轨迹方程是______.
1

二、解答题 15.已知直线 l 满足下列两个条件: (1)过直线 y=-x+1 和 y=2x+4 的交点; (2)与直线 x-3y+2=0 垂直,求直线 l 的方程.

16.求经过点 A(2,?1) ,和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上的圆方程.

17.某承包户承包了两块鱼塘,一块准备放养鲫鱼,另一块准备放养鲤鱼,现知 放养这两种鱼苗时都需要鱼料 A、B、C,每千克鱼苗所需饲料量如下表: 鱼类 鱼料 A 鱼料 B 鱼料 C 鲫鱼 15g 5g 8g /kg 鲤鱼 8g 5g 18g /kg 如果这两种鱼长到成鱼时,鲫鱼和鲤鱼分别是当时放养鱼苗重量的 30 倍与 50 倍,目前这位承包户只有饲料 A、B、C 分别为 120g、50g、144g,问如何 放养这两种鱼苗,才能使得成鱼的重量最重.

-

2

18. 已知与曲线 C: 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l 交 x, y 的正半轴与 A、B 两 x 点,O 为原点, OA =a, OB ? b , (a ? 2, b ? 2) . (1)求线段 AB 中点的轨迹方程; (2)求 ab 的最小值.

19.已知直线 l :y=k(x+2 2 )与圆 O:x2+y2=4 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点, 三角形 ABO 的面积为 S. (1)试将 S 表示成 k 的函数,并求出它的定义域; (2)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值.

20.已知 a , b 都是正数,△ABC 在平面直角坐标系 xOy 内, 以两点 A (a ,0 ) 和 B (0,b )为顶点的正三角形,且它的第三个顶点 C 在第一象限内. (1)若△ABC 能含于正方形 D = { ( x , y ) | 0 ? x ? 1, 0? y ? 1}内, 试求变量 a , b 的约束条件,并在直角坐标系 aOb 内画出这个约束条件表 示的平面区域; (2)当(a, b )在(1)所得的约束条件内移动时,求△ABC 面积 S 的最大值, 并求此时(a , b)的值.

-

3

21.已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点), 求 m 的值。

22.如图 9-6,已知点 A、B 的坐标分别是(-3,0)(3,0) , ,点 C 为线段 AB 上 任一点,P、Q 分别以 AC 和 BC 为直径的两圆 O1,O2 的外公切线的切点,求线 段 PQ 的中点的轨迹方程。

23.如图 9-7,已知圆 C:x2+y2=4,A( 3 ,0)是圆内一点。Q 是圆上一动点,AQ 的 垂直平分线交 OQ 于 P,当点 Q 在圆 C 上运动一周时,点 P 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程; (2)过点 O 作倾斜角为θ 的直线与曲线 E 交于 B1、B2 两点,当θ 在范围(0,

? )内变化时,求△AB1B2 的面积 S(θ )的最大值。 2

-

4

24.已知双曲线 C1 和椭圆 C2:

( x ? 2) 2 ( y ? 1) 2 + =1 有公共的焦点,它们的离心 49 24

率分别是 e1 和 e2,且

1 1 + =2。 e1 e 2

(1)求双曲线 C1 的方程; (2)圆 D 经过双曲线 C1 的两焦点,且与 x 轴有两个交点,这两个交点间的 距离等于 8,求圆 D 的方程。

25.已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 和直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 (1)求证:不论 k 取什么值,直线和圆总相交; (2)求 k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

26.已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P, Q 两点,O 为原点, 且 OP ? OQ ,求实数 m 的取值.

-

5

1.

? 3 3 2.5,1 。3.2 4. ? 5. 1 ? k ? 2 6. k 有最大值 0,最小值 ? 7.90。8.2,- 2 3 3

8 10 相交但不过圆心 11.3x-4y-9=0 12. 3 13. (?3,3) 14.3x+2y=4 3 15.由 ? y ? ? x ? 1 ,得交点 ( –1, 2 ), ∵ k l = – 3, ∴ 所求直线 l 的方程为: 3x + y ? ? y ? 2x ? 4 + 1 = 0. 16. 由题意知:过 A(2,-1)且与直线:x+y=1 垂直的直线方程为:y=x-3,∵圆心在直 y ? ?2x x ?1 线 : y= - 2x 上 , ∴ 由 即 o1 (1,?2) , 且 半 径 ? y ? ?2 y ? x ?3

2 9.

r ? AO1 ? (2 ?1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2 ,∴所求圆的方程为: ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .

17 . 设 放 养 鲫 鱼 xkg, 鲤 鱼 ykg, 则 成 鱼 重 量 为 w ? 30x ? 50y( x, y ? 0) , 其 限 制 条 件 为 15x ? 8 y ? 120 ,不难找出使 30x+50y 最大值为 428kg.答:鲫 5 x ? 5 y ? 50 画出其表示的区域(如图) 8 x ? 18y ? 144 鱼放养 3.6kg,鲤鱼放养 6.4kg,此时成鱼的重量最重. 18. (1)设 AB 的中点为 P(x,y) ,圆 C 的方程化简为: ( x ?1) 2 ? ( y ?1) 2 1,?C(1,1), r ? 1 又直线 l 的方程为:
a ? b ? ab a ?b
2 2

x y ? ? 1, 即bx ? ay ? ab ? 0(a ? 2, b ? 2) ,? l与圆C相切 , a b

? d C ?l ?

? 1 ? a 2 ? b 2 ? (a ? b ? ab) 2 ? a 2 b 2 ? 2ab ? 2a 2 b ? 2ab2 ? 0 ? a ? 2, b ? 2

? ab ? 2 ? 2a ? 2b ? 0 ? (a ? 2)b ? 2a ? 2 ? b ?

2a ? 2 a?2

① , 又 ∵ P 是 AB 的 中 点 ,

?x ?
y?

a b 2x ?1 代入①得 y ? 即线段 AB 中点的轨迹方程为; , y ? ? a ? 2 x, b ? 2 y , ( x ? 1) , 2 2 2x ? 2

2a(a ?1) 2a 2 ? 2a 2(a ? 2) 2 ? 6(a ? 2) ? 4 2x ?1 4 ( ( x ? 1) . 2 ) ? ab ? ? ? ? 2(a ? 2) ? ?6 , 2x ? 2 a?2 a?2 a?2 a?2

a ? 2 ? 0 ? 2(a ? 2) ?

4 ? 4 2 ,?ab ? 6 ? 4 2 .∴ ab的最小值为6 ? 4 2 . a?2
2 2k k 2 ?1 ? AB ? 2 4 ? ( 2 2k k 2 ?1 )2 ? 4 1? k 2 1? k 2

19. (1)? l : kx ? y ? 2 2 k ? 0,? d O ?l ?

?S ?

4 2 k 2 (1 ? k 2 ) 1 AB ? d O ?l ? ,定义域: 0 ? d O ?l ? 2 ? ?1 ? k ? 1且k ? 0 . 2 1? k 2

(2)设 k 2 ?1 ? t (t ? 1), 则 k 2 (1 ? k 2 ) ? (t ?1)(2 ? t ) ? ? t 2 ? 3t ? 2
6

?S ? 4 2 ?

? t 2 ? 3t ? 2 3 2 1 3 1 ? 4 2 ? 1 ? ? 2 ? 4 2 ? 2( ? ) 2 ? t t t t 4 8



1 3 4 3 1 ?当 ? , 即t ? 时,k ? ? , S max ? 4 2 ? ? 2 ,∴S 的最大值为 2,取得最大值时 k= ? 3 . t 4 3 3 2 2 3

20.解: (1)由题意知:顶点 C 是分别以 A、B 为圆心,以|AB|为半径的两圆在第一象限的 2 2 2 2 2 2 2 2 交点,由圆 A: ( x – a) + y = a + b , 圆 B: x + ( y – b ) = a + b . 解得 x =
3a ? b ,∴C( a ? 3b , 3a ? b ) 2 2 2 △ABC 含于正方形 D 内,即三顶点 A,B,C 含于区域 D 内时,
a ? 3b , y = 2



?0 ? a ? 1, ?0 ? b ? 1, ? ? a ? 3b ?0 ? ? 1, 2 ? ? 3a ? b ?0 ? ? 1. 2 ?

这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形, ∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外. (2)∵△ABC 是边长为 a 2 ? b 2 的正三角形,∴ S =

3 2 2 ( a + b ) 4

在(1)的条件下, 当 S 取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大, 由六边形中 P、Q、R 相应的 OP、OQ、OR 的计算.OP = OR = 1 + ( 2 –
2 2 2 2 2

3 )2 = 8 – 4 3 ,

OQ = 2( 3 – 1) = 8 – 4 3 . ∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 – 3 ), 或 ( 3 – 1,

3 – 1), 或( 2 – 3 , 1 )时, Smax =2 3 – 3.
2 2

21.解 (1)由 D +E -4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5。 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 OM⊥ON 得 x1x2+ y1y2=0。将直线方程 x+2y-4=0 与曲线 C:

8 4m ? 16 ①,x1x2= 5 5 1 1 1 5 ② , 又 由 x+2y-4=0 得 y= (4-x), ∴ x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1) · (4-x2)= 2 2 2 4 8 x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、②代入得 m= . 5
x +y -2x-4y+m=0 联立并消去 y 得 5x -8x+4m-16=0,由韦达定理得 x1+x2=
2 2 2

22.解

作 MC⊥AB 交 PQ 于点 M,则 MC 是两圆的公切线,∴|MC|=|MQ|,|MC|=|MP|,即 M 为

-

7

PQ 的中点。设 M(x,y),则点 C,O1,O2 的坐标分别是(x,0),(

?3? x 3? x ,0)( ,0) 。连 2 2
2 2 2

O1M , O2M , 由 平 几 知 识 得 : ∠ O1MO2=90 ° ∴ 有 |O1M| +|O2M| =|O1O2| , 即 : (x-

?3? x 2 2 3? x 2 2 ?3? x 3? x 2 2 2 ) +y +(x) +y =( ) ,化简得 x +4y =9。又∵点 C(x,0)在线段 2 2 2 2
BC 是圆的直径,∴-3<x<3。故所求的轨迹方程为 x +4y =9(-3<x<3)。
2 2

AB 上,且 AC,

23.解 (1) 在 AQ 的垂直平分线上, ∵P 又在半径 OQ 上, ∴|PQ|=|PA|, 且|OP|+|PA|=|OQ|=2,

3 3 2 y2 故 P 点的轨迹是以 O、A 为焦点,长轴长为 2,中心在( ,0)的椭圆:(x)+ =1 1 2 2 4
(2)设 OB1=x,则 AB1=2-x,在△OAB1 中,由余弦定理得|AB1| =|OB1| +|OA| -2|OB1|·|OA|cos θ , 即 (2-x) =x +3-2
2 2 2 2 2

3 x · cos θ , 解 得 x=

1 4 ? 2 3 cos?

, 同 理 可 得

1 4 ? 2 3 cos?
=

?| OB2 | ,S(θ )=S △AB1B2 =S △ AOB1 +S △ AOB2

1 1 |OA|·|OB1|sinθ + |OA|·|OB2|sin(π -θ ) 2 2
1 1 sin ? sin ? 3 sin ? |OA|( + )= = 2 2 4 ? 2 3 cos? 4 ? 2 3 cos? 3 sin ? ? 1 3 sin ? ?

=

1 3 sin ?



1 2

当且仅当

3 sin θ =

1 3 sin ?

, 即 θ =arcsin

3 3 时 取 等 号 , ∴ 当 θ =arcsin 时, 3 3

Smax(θ )=

1 。 2
5 。 7

24.解 (1)椭圆 C2 的两个焦点坐标为 F1(-7,1),F2(3,1),离心率 e2=



5 1 1 2 2 2 2 2 + =2 可知双曲线 C1 的离心率 e1= ,∴c =25,a =9,b =c – a =16, 3 e1 e 2

( x ? 2) 2 ( y ? 1) 2 故双曲线 C1 的的方程为 =1。 (2)∵圆 D 经过双曲线的两个焦点,∴圆心 9 16
D 在直线 x= -2 上。 设圆 D 的方程为(x+2) +(y-b) =5 +(b-1) ,整理得: +y +4x-2by+2b-22=0, x
8
2 2 2 2 2 2

令 y=0, x +4x+2b-22=0。 得 设圆 D 与 x 轴的两个交点为(x1,0),(x2,0), x1+x2= -4,x1x2=2b-22。 则
2 依题意|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 =8,即 16 - 4(2b-22)=64,解得 b=5。 所以圆的方程为

2

(x+2) +(y-5) =41。 25.解:(1)证明:由直线 l 的方程可得, y ? 3 ? k ( x ? 4) ,则直线 l 恒通过点

2

2

(4,3) ,把 (4,3) 代入圆 C 的方程,得 (4 ? 3) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 2 ? 4 ,所以点 (4,3) 在圆的内部,又
因为直线 l 恒过点 (4,3) , 所以直线 l 与圆 C 总相交.(2)设圆心到直线 l 的距离为 d ,则

d?

| 3k ? 4 ? 4k ? 3 | 32 ? 4 2
L 2

L 2 L 2 (k ? 1) 2 | k ?1| 2 2 又设弦长为 L ,则 ( ) ? d ? r ,即 ( ) ? 4 ? . ? 2 2 25 5

2 ∴当 k ? ?1 时, ( ) min ? 4 ? Lmin ? 4 所以圆被直线截得最短的弦长为 4.

26. 解 : 设 点 P, Q 的 坐 标 分别 为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) . 由 OP ? OQ , 得 kOP ? kOQ ? ?1 , 即

y1 y 2 ? ? ?1, 从 而 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0????① x1 x2

( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) 是 方 程 组

?x ? 2 y ? 3 ? 0 2 ,的实数解,即 x1 , x 2 是方程 5x ? 10x ? 4m ? 27 ? 0 …… ② ? 2 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0
的两个实数根, ∴ x1 ? x2 ? ?2 , x1 ? x 2 ?

4m ? 27 又 P, Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,∴ 5

1 1 1 (3 ? x1 ) ? (3 ? x 2 ) ? [9 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ] 将 ③ 式 代 入 , 得 2 2 4 m ? 12 y1 ? y 2 ? ④又将③,④式代入①,解得 m ? 3 ,代入方程②,检验 ? ? 0 成立。 5 ∴m ? 3 y1 ? y 2 ?

-

9


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